Побудова перерізів
Download
1 / 49

Побудова перерізів многогранників - PowerPoint PPT Presentation


  • 214 Views
  • Uploaded on

Побудова перерізів многогранників. Підготувала: Бабенко Оксана Анатоліївна, вчитель математики ЗОШ № 5 м. Черкаси, вища категорія;.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Побудова перерізів многогранників' - amiel


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Побудова перерізів

многогранників

Підготувала:

Бабенко Оксана Анатоліївна, вчитель математики ЗОШ № 5 м. Черкаси, вища категорія;


Мета: Повторити геометричні поняття і твердження; навчитися будувати перерізи різними способами; розвивати просторове уявлення та вміння логічно вибудовувати своє пояснення. Виховувати інтерес до технічних знань.


  • Геометричні твердження;

  • Основні поняття;

  • Побудови перерізів;

  • Методи побудови перерізів;

  • Довідковий матеріал;

  • Література;


Геометричні поняття.

вершина

  • Площина– грань

  • Пряма – ребро

  • Точка – вершина

грань

ребро


Многогранники

  • Тетраедр

  • Паралелепіпед


Геометричні твердження.

  • Якщо дві точки прямої лежать на одній площині, то і вся пряма належить даній площині.


Геометричні твердження.

  • Якщо дві паралельних площини перетинаються третьою площиною, то лінії їх перетину паралельні.


Основніпоняття.

  • Січною площиною многогранника називається така площина по обидві сторони від якої є точки даного многогранника.

  • Перерізом многогранника називається фігура, яка складається з усіх точок, які є спільними для многогранника і січної площини


Вид перерізу залежить від розміщення площини.


Площину перерізу можна задати:

1. Трьома точками, що не лежать на одній прямій;

2. Прямою і точкою, що не лежить на ній;

3. Двома прямими, що перетинаються;

4. Двома паралельними прямими;


Січна площина перетинає грані многогранника по відрізкам, тому перерізом многогранника є многокутник, що лежить в січній площині. Очевидно, що кількість сторін цього многокутника не може перевищувати кількості граней даного многогранника. Наприклад: в чотирикутній призмі (всього 6 граней) в перерізі можемо отримати трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник.

?


Які многокутники отримаємо в перерізі п'ятикутної призми площиною?


Які многокутники отримуються в перерізі паралелепіпеда?


Скільки площин можна провести через виділені елементи?


  • Що означає побудувати переріз? через виділені елементи?

  • Побудувати переріз многогранника площиною – означає:

  • в площині кожної перетнутої грані вказати дві точки, що належать перерізу;

  • з'єднати ці точки прямою;

  • знайти точки перетину прямої з ребрами многогранника.

Приклади


1. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.

С

А

Довідка

В


2. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.

В

АВ || СК

С

К

Довідка

А


3. Через ребро АВ і точку М ребра С паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.D тетраедра АВСD провести переріз.

D

М

А

С

Довідка

В


4. Побудувати переріз, що проходить через вершину C і точки М і N, що лежать на гранях ADC і АВС тетраедра АВCD

В

N

А

D

M

Довідка

С


5. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.

B

C

А

Довідка


6. Побудувати переріз, що проходить через вершину D і точки М і N тетраедра АВС

D

А

В

M

N

Довідка

С


Методи побудови перерізів многогранників.

Метод слідів.

Метод внутрішнього проектування або метод допоміжних перерізів

Комбінований метод


Метод слідів многогранників.

Якщо площина α перетинає площину β по прямій т, то пряму т називають слідом площини α на площину β.

α

т

β


Метод слідів многогранників.

B

  • Метод слідів включає три важливих пункти:

  • Будується лінія перетину (слід) січної площини з площиною основи многогранника.

  • знаходимо точки перетину січної площини з ребром многогранника.

  • Будуємо і заштриховуємо переріз.

К

C

А

Р

М

Довідка


Задачі на побудову перерізів методом сліду.

Поетапна побудова перерізів;

По заданій побудові записати етапи;

Складні приклади перерізів;


1. Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.

В

С

А


2. Побудуйте переріз піраміди АВС паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.D площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, P ребер AD, AB, DC відповідно, при умові, що MN не паралельна DP.

A

M

N

D

B

Побудова

P

C


A паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.

M

N

D

B

О

К

P

C

6) Чотирикутник MNKP – шуканий переріз


3. Побудуйте переріз піраміди АВС паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.D площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, P ребер AD, DC відповідно, і площини АВС.

D

М

А

В

N

Р

Побудова

С


D паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.

М

H

А

В

N

Р

G

8) ЧотирикутникMNGH – шуканий переріз.

С

K


4. Побудувати переріз куба АВС паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.DА1В1С1D1 площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, K ребер BB1, CC1, A1D1відповідно

D1

C1

K

А1

B1

N

D

C

M

Побудова

А

B


Е паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.

C1

D1

K

А1

B1

N

D

C

M

А

B


Е паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.

C1

F

D1

K

А1

B1

N

D

C

M

А

B


Е паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.

F

C1

D1

K

G

B1

N

А1

H

D

C

M

А

B


Многокутник паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.KFNMH – шуканий переріз.

F

Е

C1

D1

K

G

B1

N

А1

H

D

C

M

А

B


5. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди, заданої точками М, N і К.

Прослідкуйте за ходом побудови перерізу і запишіть його

K

M

N


6. Побудуйте переріз п'ятикутної призми, що проходить через точки M, N, K.

Прослідкуйте за ходом побудови перерізу і запишіть його.

N

M

K


7. Побудувати переріз куба АВС призми, що проходить через точки DА1В1С1D1 площиною, що проходить через вершину В1 і точки Р і Q, що лежать на ребрах AD і DC відповідно

В1

С1

D1

А1

В

С

Q

А

D

P


8. Побудувати переріз чотирикутної піраміди АВСDM в основі якої лежить трапеція. На ребрах МА і МВ, а також на грані МСD взяті відповідно точки Р, Q, R.

M

Q

R

C

P

B

D

A



Розглянемо більш складні приклади.

10.

N

K

M

Пам'ятаємо про те, що вершина піраміди – спільна точка для всіх бічних граней



Метод внутрішнього проектування приклади.

Це метод використовується при побудові перерізів в тих випадках, коли незручно знаходити слід січної площини, наприклад, слід знаходиться дуже далеко від заданої фігури

B

C

A

N

M

E

D

T

X

B1

C1

M1

N1

A1

D1=T1

Y

E1


Побудова перерізу п'ятикутної призми площиною, що проходить через точки M, N, K, які належать відповідно граням АА1В1, ЕDD1, CDD1.

B1

C1

A1

D1

M

E1

K

A2

B

C

M1

N

K1

A

D

E

N1


Комбінований метод. призми площиною, що проходить через точки

При побудові перерізу цим методом на яких етапах побудови використовуються прийоми методі слідів або метода внутрішнього проектування, а на інших етапах використовуються теореми вивченні в розділі “Паралельність прямих і площин!”


Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точку S паралельно площині PQR. P належить А1В1, Q належить(DCC1), R належить (АDD1)

B1

C1

P

D1

А1

S

Q

R

C

B

А

D

Побудова


1 паралелепіпеда площиною, що проходить через точку . Через три точки P, Q, R проводимо площину α. Побудуємо цю площину використовуючи метод слідів.

T

2. Використовуючи властивості і ознаки паралельності площин будуємо шуканий переріз.

B1

C1

P

U

V

D1

А1

S

Q

3. Чотирикутник SUTV – шуканий переріз.

R

C

B

А

D


Довідковий матеріал. паралелепіпеда площиною, що проходить через точку

  • Аксіома 1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій можна провести площину і до того ж тільки одну;

  • Аксіома 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то всі точки даної прямої належать площині;

  • Аксіома 3. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму на якій лежать спільні точки цих площин;

  • Наслідки з аксіом:

  • Через пряму і точку, що не належить даній прямій можна провести площину і до того ж тільки одну;

  • Через дві прямі, що перетинаються можна провести площину і до того ж тільки одну.

  • Теорема (ознака паралельності двох площин). Якщо дві прямі, що перетинаються однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються іншої площини, то ці площини паралельні;

  • Теорема (властивість паралельних площин). Якщо дві паралельні площини перетнуто третьою, то лінії їх перетину паралельні;

  • Теорема (ознака паралельності прямої і площини). Якщо пряма, що не належить даній площині, паралельна будь-які прямій цієї площини, то вона паралельна і даній площині.


Література. паралелепіпеда площиною, що проходить через точку

  • Е.К.Лейнартас “Математика. Перерізи многогранників”, Красноярск, 2006

  • http://www.freeware.ru/program_prog_id_1536.html (програма, для побудови перерізів основних просторових фігур)

  • http://mail.spb.fio.ru/archive/group14/c4wu5/tityl.html


ad