Побудова перерізів многогранників

1. Побудова перерізів многогранників Підготувала: Бабенко Оксана Анатоліївна, вчитель математики ЗОШ № 5 м. Черкаси, вища категорія;

2. Мета: Повторити геометричні поняття і твердження; навчитися будувати перерізи різними способами; розвивати просторове уявлення та вміння логічно вибудовувати своє пояснення. Виховувати інтерес до технічних знань.

3. Геометричні поняття; • Геометричні твердження; • Основні поняття; • Побудови перерізів; • Методи побудови перерізів; • Довідковий матеріал; • Література;

4. Геометричні поняття. вершина • Площина– грань • Пряма – ребро • Точка – вершина грань ребро

5. Многогранники • Тетраедр • Паралелепіпед

6. Геометричні твердження. • Якщо дві точки прямої лежать на одній площині, то і вся пряма належить даній площині.

7. Геометричні твердження. • Якщо дві паралельних площини перетинаються третьою площиною, то лінії їх перетину паралельні.

8. Основніпоняття. • Січною площиною многогранника називається така площина по обидві сторони від якої є точки даного многогранника. • Перерізом многогранника називається фігура, яка складається з усіх точок, які є спільними для многогранника і січної площини

9. Вид перерізу залежить від розміщення площини.

10. Площину перерізу можна задати: 1. Трьома точками, що не лежать на одній прямій; 2. Прямою і точкою, що не лежить на ній; 3. Двома прямими, що перетинаються; 4. Двома паралельними прямими;

11. Січна площина перетинає грані многогранника по відрізкам, тому перерізом многогранника є многокутник, що лежить в січній площині. Очевидно, що кількість сторін цього многокутника не може перевищувати кількості граней даного многогранника. Наприклад: в чотирикутній призмі (всього 6 граней) в перерізі можемо отримати трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник. ?

12. Які многокутники отримаємо в перерізі п'ятикутної призми площиною?

13. Які многокутники отримуються в перерізі паралелепіпеда?

14. Скільки площин можна провести через виділені елементи?

15. Що означає побудувати переріз? • Побудувати переріз многогранника площиною – означає: • в площині кожної перетнутої грані вказати дві точки, що належать перерізу; • з'єднати ці точки прямою; • знайти точки перетину прямої з ребрами многогранника. Приклади

16. 1. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. С А Довідка В

17. 2. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. В АВ || СК С К Довідка А

18. 3. Через ребро АВ і точку М ребра СD тетраедра АВСD провести переріз. D М А С Довідка В

19. 4. Побудувати переріз, що проходить через вершину C і точки М і N, що лежать на гранях ADC і АВС тетраедра АВCD В N А D M Довідка С

20. 5. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. B C А Довідка

21. 6. Побудувати переріз, що проходить через вершину D і точки М і N тетраедра АВС D А В M N Довідка С

22. Методи побудови перерізів многогранників. Метод слідів. Метод внутрішнього проектування або метод допоміжних перерізів Комбінований метод

23. Метод слідів Якщо площина α перетинає площину β по прямій т, то пряму т називають слідом площини α на площину β. α т β

24. Метод слідів B • Метод слідів включає три важливих пункти: • Будується лінія перетину (слід) січної площини з площиною основи многогранника. • знаходимо точки перетину січної площини з ребром многогранника. • Будуємо і заштриховуємо переріз. К C А Р М Довідка

25. Задачі на побудову перерізів методом сліду. Поетапна побудова перерізів; По заданій побудові записати етапи; Складні приклади перерізів;

26. 1. Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С. В С А

27. 2. Побудуйте переріз піраміди АВСD площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, P ребер AD, AB, DC відповідно, при умові, що MN не паралельна DP. A M N D B Побудова P C

28. A M N D B О К P C 6) Чотирикутник MNKP – шуканий переріз

29. 3. Побудуйте переріз піраміди АВСD площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, P ребер AD, DC відповідно, і площини АВС. D М А В N Р Побудова С

30. D М H А В N Р G 8) ЧотирикутникMNGH – шуканий переріз. С K

31. 4. Побудувати переріз куба АВСDА1В1С1D1 площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, K ребер BB1, CC1, A1D1відповідно D1 C1 K А1 B1 N D C M Побудова А B

32. Е C1 D1 K А1 B1 N D C M А B

33. Е C1 F D1 K А1 B1 N D C M А B

34. Е F C1 D1 K G B1 N А1 H D C M А B

35. Многокутник KFNMH – шуканий переріз. F Е C1 D1 K G B1 N А1 H D C M А B

36. 5. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди, заданої точками М, N і К. Прослідкуйте за ходом побудови перерізу і запишіть його K M N

37. 6. Побудуйте переріз п'ятикутної призми, що проходить через точки M, N, K. Прослідкуйте за ходом побудови перерізу і запишіть його. N M K

38. 7. Побудувати переріз куба АВСDА1В1С1D1 площиною, що проходить через вершину В1 і точки Р і Q, що лежать на ребрах AD і DC відповідно В1 С1 D1 А1 В С Q А D P

39. 8. Побудувати переріз чотирикутної піраміди АВСDM в основі якої лежить трапеція. На ребрах МА і МВ, а також на грані МСD взяті відповідно точки Р, Q, R. M Q R C P B D A

40. Розглянемо більш складні приклади. 9. N M K

41. Розглянемо більш складні приклади. 10. N K M Пам'ятаємо про те, що вершина піраміди – спільна точка для всіх бічних граней

42. Розглянемо більш складні приклади. 11. K N M

43. Метод внутрішнього проектування Це метод використовується при побудові перерізів в тих випадках, коли незручно знаходити слід січної площини, наприклад, слід знаходиться дуже далеко від заданої фігури B C A N M E D T X B1 C1 M1 N1 A1 D1=T1 Y E1

44. Побудова перерізу п'ятикутної призми площиною, що проходить через точки M, N, K, які належать відповідно граням АА1В1, ЕDD1, CDD1. B1 C1 A1 D1 M E1 K A2 B C M1 N K1 A D E N1

45. Комбінований метод. При побудові перерізу цим методом на яких етапах побудови використовуються прийоми методі слідів або метода внутрішнього проектування, а на інших етапах використовуються теореми вивченні в розділі “Паралельність прямих і площин!”

46. Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точку S паралельно площині PQR. P належить А1В1, Q належить(DCC1), R належить (АDD1) B1 C1 P D1 А1 S Q R C B А D Побудова

47. 1. Через три точки P, Q, R проводимо площину α. Побудуємо цю площину використовуючи метод слідів. T 2. Використовуючи властивості і ознаки паралельності площин будуємо шуканий переріз. B1 C1 P U V D1 А1 S Q 3. Чотирикутник SUTV – шуканий переріз. R C B А D

48. Довідковий матеріал. • Аксіома 1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій можна провести площину і до того ж тільки одну; • Аксіома 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то всі точки даної прямої належать площині; • Аксіома 3. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму на якій лежать спільні точки цих площин; • Наслідки з аксіом: • Через пряму і точку, що не належить даній прямій можна провести площину і до того ж тільки одну; • Через дві прямі, що перетинаються можна провести площину і до того ж тільки одну. • Теорема (ознака паралельності двох площин). Якщо дві прямі, що перетинаються однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються іншої площини, то ці площини паралельні; • Теорема (властивість паралельних площин). Якщо дві паралельні площини перетнуто третьою, то лінії їх перетину паралельні; • Теорема (ознака паралельності прямої і площини). Якщо пряма, що не належить даній площині, паралельна будь-які прямій цієї площини, то вона паралельна і даній площині.

49. Література. • Е.К.Лейнартас “Математика. Перерізи многогранників”, Красноярск, 2006 • http://www.freeware.ru/program_prog_id_1536.html (програма, для побудови перерізів основних просторових фігур) • http://mail.spb.fio.ru/archive/group14/c4wu5/tityl.html