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• 小波变换作为分析信号频率分量的数学工具，是对人们熟悉的傅里叶变换与短时傅里叶变换的一个重大突破，已成功的应用于图像的去噪、边缘检测、分割及编码。本章从小波变换的基本原理入手，以小波在图像处理中的具体应用为线，介绍在MATLAB中的小波函数以及基于小波的图像去噪、压缩及融合的MATLAB实现方法。

• 本小节先介绍小波变换的数学基础，内容包括小波变换的基本定义以及小波变换的实现方法，为后续基于小波变换的图像处理提供理论基础。

• 1. 一维连续小波变换的定义
• 设为基本小波，为连续小波函数，对于，其连续小波变换(Continuous Wavelet transform，CWT）为：
• 其中 、、 ，、、均为连续变量，为的复共轭。
• 2. 一维离散小波与离散小波变换
• 对于连续变化的和，具有很大的相关性，从压缩数据、节约计算量的角度考虑，可将和限定在一些离散点上。首先将按幂级数进行离散，令 ， ，得：

• 1. 快速小波变换实现的理论依据
• 多分辨率分析是建立在函数空间概念上，为正交小波基的构造提供了一种简单方法，也为小波变换的快速算法提供了理论依据。
• 2. 快速小波变换的实现算法
• 法国学者MALLAT在多分辨率分析的基础上提出了小波变换的快速算法，在小波变换中的地位相当于快速傅里叶变换。
• 3. 二维Mallat算法
• 在进行图像处理时要用到二维小波变换，目前研究中主要以可分离小波为主，设，令是的可分离多分辨分析，并令是相应的二维尺度函数，是与尺度函数对应的一维标准正交小波。

• 在MATLAB中没有提供专门的小波图像处理工具箱，而是将与图像有关的小波变换函数及操作放在小波变换工具箱(Wavelet Toolbox 4.5)中。本小节主要介绍与图像有关的小波变换工具箱中的函数及相关知识。

• 从数学角度说，图像可以看成是离散的二元函数的取样，而在MATLAB中，它最基本的数据类型矩阵，也可以看做是二元函数，因此很自然将数值矩阵和图像建立关联。举例来说，如果一幅图像，用矩阵来表示，那么对于图像中某一个特定像素点来说，可以通过矩阵的下标来获取。如描述的图像的第行第列的像素对应的值。

• 对于同一图像，采用不同的母小波进行小波变换，其得到的结果差别很大。因此，如何选择母小波一直是小波变换工程应用领域的研究热点。MATLAB小波变换工具箱中提供了多个母小波族函数如表所列，这些母小波函数具有不同特点，用户应根据工程应用的需求，选择不同母小波函数。

• MATLAB小波变换工具箱中与图像处理有关的小波变换函数，大体上分三类：二维小波变换分解函数、二维小波变换重构函数和二维小波分解结构应用函数。

• 图像在生成或传输过程中常常因受到各种噪声的干扰和影响而使图像的质量下降，对后续的图像处理（如分割、理解等）产生不利影响，因此，图像去噪是图像处理中一个重要环节。对图像去噪的方法上可以分为两类：一种是在空间域内对图像进行去噪；一种是将图像变换到频域进行去噪的处理。小波变换属于在频域内对图像进行处理的一种方法，本小节主要介绍基于小波变换的图像去噪基本原理及其在MATLAB的实现方法。

• 在图像去噪领域，小波变换以其自身良好的时一频局部化特性，开辟了用非线性方法去噪的先河。目前，小波图像去噪的方法大概可以分为三大类:
• （1）基于小波变换模极大值原理。根据图像和噪声在小波变换各尺度上的不同传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点，保留图像所对应的模极大值点，然后利用所余模极大值点重构小波系数，进而恢复图像；
• （2）基于小波变换系数的相关性。根据图像和噪声小波变换后的系数相关性进行取舍，然后直接重构图像；
• （3）基于小波阈值的去噪方法。

• 在MATLAB中实现图像的小波去噪，首先要掌握相关的函数。在MATLAB中提供了两个和图像去噪相关的函数，它们的名称如下：
• 1. 图像去噪或压缩函数wdencmp( )
• 2. 获取图像去噪或压缩阈值选取函数ddencmp( )

• 图像压缩是将原来较大的图像用尽量少的字节表示和传输，并要求图像有较好的质量。通过图像压缩，可以减轻图像存储和传输的负担，提高信息传输和处理速度。小波变换已广泛应用到图像的各种处理环节中，本小节主要介绍基于小波变换的图像压缩基本原理及其在MATLAB的实现方法。

• 小波变换用于图像压缩的基本思想是：用二维小波变换算法对图像进行多分辨率分解，每次小波分解将当前图像分解成四块子图，其中一块对应平滑板块，另外三块对应细节板块。由于小波变换的减抽样性质，经若干次小波分解后，平滑板块系数和所有的细节板块系数生成的小波图像具有原图像不同的特性，能量主要集中在其中的低频部分的平滑板块，而细节所对应的水平、垂直和对角线的能量较少，它们表征了一些原图像的水平、垂直和对角线的边缘信息，具有的是方向特性。对于所得图像，根据人眼的敏感度不同，进行不同的量化和编码处理以达到对原图像的高压缩比，对于平滑板块大部分或者完全保留，对于高频信息根据压缩的倍数和效果要求来保留。系数编码是小波变换用于图像压缩的核心，压缩的实质是对系数的量化压缩。

• 1．对数据矩阵进行伪彩色编码函数wcodemat( )
• Y=wcodemat(X,NBCODES,OPT,ABSOL)：该函数返回数据矩阵X的编码矩阵Y，NBCODES表示伪编码的最大值，即编码范围0~NBCODES，OPT表示指定编码方式，取值可以是’row’、’col’及’mat’，它们分别表示按行编码、按列编码和按整个矩阵编码，默认方式是按整个矩阵进行编码；ABSOL为函数的控制参数，其取值为’0’返回编码矩阵，取值为’1’返回数据矩阵的绝对值ABS(X)，默认取值为1。
• Y=wcodemat(X)：该函数相当于Y=wcodemat(X,16,’mat’,’1’)。
• Y=wcodemat(X,NBCODES,OPT)：该函数相当于Y=wcodemat(X,NBCODES,’1’)。
• Y=wcodemat(X,NBCODES)：该函数相当于Y=wcodemat(X,NBCODES,’mat’,’1’)。

• 图像融合是综合两幅或多幅图像的信息，以获得对同一场景更为准确、更为全面、更为可靠的图像描述。按照处理层次由低到高一般可分为三级：像素级图像融合、特征级图像融合和决策级图像融合。它们有各自的优缺点，在实际应用中应根据具体需求来选择。但是，像素级图像融合是最基本、最重要的图像融合方法，它是最低层次的融合，也是后两级融合处理的基础。像素级图像融合方法大致可分为三类：简单的图像融合方法；基于塔形分解的图像融合方法；基于小波变换的图像融合方法。本节主要讨论基于小波变换的图像融合的基本原理及其在MATLAB的实现方法。

• 对一幅灰度图像进行N层的小波分解，形成3N+1个不同频带的数据，其中有3N个包含细节信息的高频带和一个包含近似分量的低频带。分解层数越多，越高层的数据尺寸越小，形成塔状结构，用小波对图像进行多尺度分解的过程，可以看作是对图像的多尺度边缘提取过程。小波变换具有空间和频域局部性，它可将图像分解到一系列频率通道中，这与人眼视网膜对图像理解的过程相当，因此基于小波分解的图像融合可能取得良好的视觉效果；图像的小波分解又具有方向性和塔状结构，那么在融合处理时，根据需要针对不同频率分量、不同方向、不同分解层或针对同一分解层的不同频率分量采用不同的融合规则进行融合处理，这样就可能充分利用图像的互补和冗余信息来达到良好的融合效果。

• MATLAB中并没有提供专门的图像融合函数，都是基于小波分解和重构函数、以及其他函数实现图像融合，具体实现图像融合的方法有三种：
• 1．利用图像小波分解和重构函数进行图像融合。
• 2．利用MATLAB中提供了实现图像融合的函数wfusing( )，实现简单图像融合
• 3．另外一种参数独立法，需要两个步骤实现图像融合

• 本章详细地讲解了小波变换在图像处理中的应用及其MATLAB实现。首先介绍了小波变换理论基础；然后介绍了在MATLAB中与图像处理相关的小波工具箱函数，最后针对小波在图像处理中的去噪、压缩及融合方面的应用。每种应用都是以函数和实例方式展开，讨论小波参数对图像处理的影响，以及同一种应用的不同的MATLAB实现方法。同时通过技巧说明总结各个实例的差异，从而帮助用户掌握在MATLAB中开展小波变换在图像处理中的方法。

• 13.1编写MATLAB程序，利用函数wavedec2对灰度图像进行变换分解，然后针对分解的结果对图像进行灰度调整。
• 13.2编写MATLAB程序，观察母小波coif4的尺度函数、小波函数及滤波器。
• 13.3 编写MATLAB程序，利用函数ddendmp、wdenemp对二维图像detfingr进行小波去噪。