STEREOMETRIA

1. STEREOMETRIA STEREOS: SOLIDO METRIA: MISURAZIONE

2. Postulati di appartenenza • A1 : una retta r contiene almeno due punti • A2 : tre punti appartengono ad uno e un solo piano • A3 : Se due punti appartengono ad un piano, l’intera retta passante per tali punti appartiene al piano • A4 : Non tutti i punti appartengono allo stesso piano GEOMETRIA SOLIDA

3. Mutua posizione di rette nello spazio Rette incidenti: hanno un punto in comune. Due rette incidenti sono complanari e il loro piano è unico. Rette parallele: appartenenti allo stesso piano e ivi parallele Rette sghembe: quattro punti non complanari individuano rette sghembe, cioè rette non aventi punti in comune e non appartenenti al medesimo piano.

4. Mutua posizione di piani Piani incidenti: hanno in comune una retta che è detta intersezione dei due piani Piani paralleli: non hanno alcun punto in comune o sono coincidenti

5. FASCIO DI PIANI: INSIEME DI PIANI PASSANTI PER UNA STESSA RETTA STELLA DI RETTE : INSIEMI DI RETTE PASSANTIPER UN PUNTO

6. Perpendicolarità tra rette e piani Teorema Se una retta (r) è perpendicolare a altre due (t e s), passanti per un medesimo punto P, allora essa è perpendicolare ad ogni altra retta del loro fascio (p), ma a nessun altra retta della loro stella (d). r d π s P t p

7. Definizioni Una retta è perpendicolare ad un piano quando incontrandolo è perpendicolare ad ogni retta passante per quel punto e appartenente al piano(r perpendicolare a π) Una retta che incontra il piano senza essergli perpendicolare si dice obliqua rispetto al piano (d obliqua a π) Si dice distanza di un punto da un piano il segmento di perpendicolare condotto dal punto al piano r d π s P t p

8. Teorema delle tre perpendicolari Se una retta r è perpendicolare ad un piano α in un punto P e da questo si conduce una retta s perpendicolare ad una retta t di α, questa è perpendicolare al piano β individuato da r e da s. r β A C P t H B s α • H intersezione tra s e t • Prendiamo A su r • Prendiamo B e C su t tali che HB = HC • PHB e PHC congruenti  PB=PC • APB e APC congruenti  AB=AC • ABC isoscele • AH mediana  AH altezza • t è perpendicolare a AH e PH, ovvero a β generato da esse

9. Angolo diedro L’angolo diedro è ciascuna delle due parti nelle quali lo spazio viene diviso da due semipiani aventi l’origine in comune Angolo diedro convesso Spigolo Faccia

10. Sezione normale Angolo piano ottenuto intersecando un angolo diedro con un piano perpendicolare allo spigolo

11. Le sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti Due angoli diedri si dicono congruenti quando sono congruenti le loro sezioni normali Si può definire ampiezza di un angolo diedro l’ampiezza dell’angolo piano , sua sezione normale

12. Due piani si dicono perpendicolari quando incontrandosi formano angoli diedri retti Se due piani sono perpendicolari , ogni retta dell’uno, che sia perpendicolare alla loro intersezione, è perpendicolare anche all’altro Se una retta è perpendicolare ad un piano α,tutti i piani che la contengono sono perpendicolari al piano α

13. ANGOLOIDI • Definizione: Si consideri un poligono p e un punto V non appartenente ad esso. • Si definisce angoloide la figura determinata da tutte le semirette aventi origine in V e passanti per i punti del poligono. • V si chiama vertice • Le semirette passanti per i vertici del poligono si dicono spigoli • Gli angoli formati da due spigoli consecutivi si chiamano facce Si può pensare come intersezione di più diedri V p

14. V Esempio: Triedro E’ un angoloide con tre facce Triedro è l’intersezione tra tre diedri a c b Faccia

15. In un angoloide la somma delle facce è minore di un angolo giro B A V C

16. POLIEDRI Definizione Un poliedro è una figura intersezione di più semispazi. Il suo confine è rappresentato da almeno quattro poligoni, detti facce. Ogni spigolo individua un diedro e un vertice un angoloide ( Può essere pensato come l’intersezione di più angoloidi)

17. Un poliedro prende il nome dal numero di facce • 4 Tetraedro • 5 Pentaedro • Esaedro • Ottaedro • 12 dodecaedro • 20 icosaedro Formula di Eulero f = numero facce s = numero spigoli v = numero vertici f + v = s + 2 Esempio: pentaedro f = 5 s = 8 v = 5

18. Classificazione POLIEDRI POLIEDRI REGOLARI PRISMI PIRAMIDI TETRAEDRI REGOLARI CUBI

19. POLIEDRI REGOLARI Definizione: Solido convesso avente come facce poligoni regolari tutti uguali fra loro TETRAEDRO OTTAEDRO ESAEDRO (CUBO) DODECAEDRO ICOSAEDRO

20. PIRAMIDI Definizione: Consideriamo un angoloide di vertice V ed un piano π non passante per V che incontra tutti i suoi spigoli. Si dice piramide l’intersezione del semispazio individuato dal piano π e contenente V con l’angoloide. Base: poligono intersezione tra angoloide e piano Altezza: distanza vertice V dal piano della base

21. Piramide retta: ha per base un poligono circoscrittibile ad una circonferenza il cui centro è il piede dell’altezza Piramide retta regolare: la base è un poligono regolare Apotema di una piramide retta: altezza di una faccia. Congiunge V con i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenza. E’ uguale in tutte le facce. Tetraedro regolare : poliedro regolare

22. PRISMI Superficie prismatica: insieme delle rette aventi la direzione fissata passanti per i punti dei lati di un poligono fissato. Prisma indefinito: parte di spazio delimitato da una superficie prismatica Prisma è la parte di prisma indefinito delimitato da una coppia di piani paralleli

23. Basi : poligoni individuati dai due piani paralleli Facce laterali : parallelogrammi che delimitano il prisma Altezza: distanza tra i piani delle basi Prisma retto: gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi Prisma retto regolare: i poligoni di base sono poligoni regolari. Cubo: Poliedro regolare

24. SOLIDI di ROTAZIONE • Sono i solidi che si ottengono dalla rotazione di 360° di una figura piana attorno ad una retta • CILINDRO – rotazione di un rettangolo • CONO – rotazione di un triangolo rettangolo • SFERA – rotazione di una semicirconferenza Le sezioni ottenute tagliando il solido con un piano perpendicolare alla figura piana che ha dato origine al solido stesso sono tutte circonferenze.