GRUP FAKTOR ( LANJUTAN) - PowerPoint PPT Presentation

amena-dorsey
grup faktor lanjutan n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
GRUP FAKTOR ( LANJUTAN) PowerPoint Presentation
Download Presentation
GRUP FAKTOR ( LANJUTAN)

play fullscreen
1 / 17
Download Presentation
GRUP FAKTOR ( LANJUTAN)
146 Views
Download Presentation

GRUP FAKTOR ( LANJUTAN)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. GRUP FAKTOR ( LANJUTAN)

  2. Teorema IX.4 • Untuksebarang integer positifnberlaku (aS)n = an S. Bukti : • Akandibuktikandenganprinsipinduksi. • Untukn = 1 , berlaku (aS)1 = a1S. • Berartiteoremabenaruntukn = 1. • Dianggapbahwateoremabenaruntukn = k. Berarti (aS)k = ak S. • Untukn = k + 1, berlaku (aS)k+1 = (aS) (aS)k = (aS) (akS) = (a . ak)S = ak+1S. • Terbuktibahwateoremabenaruntuksemuabilanganbulatpositifn.■

  3. Teorema IX.5 • MisalkanG/Ssebaranggrupfaktor. • Jika G berhinggamakaordeG/Ssamadengan |G| / |S|. • JikaGsiklikmakaG/Ssiklik. • JikaamempunyaiordeberhinggamakaordedariaSdalamG/Smembagiordedaria. • JikaGAbelianmakaG/SAbelian.

  4. Teorema IX.6 • MisalkanG/Ssebaranggrupfaktor. Fungsif : GG/S yang didefinisikandenganaturanf(x) = xSmerupakanhomomorfismasurjektifdariGkeG/SdenganintinyaS. • PemetaanS yang didefinisikandalamteoremadiatasseringdikenaldengannamahomomorfismaalam (natural homorphism) atauhomomorfismakannonik (canonical homomorphism).

  5. Teorema IX.7 • JikaG/SsiklikdansetiapanggotaSkomutatifdengansemuaanggotaGmakaGAbelian.

  6. Teorema IX.8 (Teorema Fundamental dariHomomorfismaGrup). • Jikaf : GHhomomorfismagrupdenganintiKdanpetaf(G) makaG/Sisomorfisdenganf(G). Bukti: • Definisikanfungsig : G/Kf(G) dengang(aK) = f(a). • Telahdibuktikanbahwagbijektifsehinggatinggalmembuktikanbahwaghomomorfisma. Padasatusisi, g(aKbK) = g(abK) = f (ab) = f(a) f(b) danpadasisi lain, g(aK) g(bK) = f(a) . f(b) sehinggag(aKbK) = g(aK) g(bK) untuksemuakosetaKdanbK. ■

  7. Contoh IX.6 : • MisalkanT = { xdalamC* | Abs(x) = 1 }. • Mudahdibuktikanbahwafungsi Abs : C* R* merupakanhomomorfisma. • Karena 1 identitasdalamR* danT = Ker(Abs) makadenganmenggunakanteorema fundamental homorfismadiperolehbahwaC*/Tisomorfisdenganpetadarifungsi Abs yaituR+. • OlehkarenaituC*/TsehinggaC*/Tjugamempunyaisifat-sifat yang dimilikiR+. • JadiR+grupabeliantidaksiklik, ordenyatakhinggadanmempunyaianggotadenganorde 1 atau .■

  8. Isomorfisma • Suatugrup yang nampaknyaberbedasecaraesensidapatsama. Secaraintuisiidebahwaduagrupsecaraesensisamaakanmenujupadapemikirantentangkonsepisomorfisma. Definisi IX.3 • Misalkan < G, * > dan < H, . > grup. GrupG isomorfisdenganHjikaterdapatfungsi f : GHsehingga • finjektif, • fsurjektif, • fhomomorfisma • makafdikatakanisomorfisma.

  9. Teorema IX.9 • MisalkangrupGdanHisomorfis. Sifat-sifatberikutiniberlaku : • GrupGdanHmempunyaiorde yang sama. • GrupGdanHkeduanyaabelianatautidakabelian. • GrupGdanHkeduanyasiklikatautidaksiklik.

  10. Contoh IX.7 : • DiketahuiGrupZ4danZ8*. • Keduagrupmempunyaiorde 4 danabeliantetapiZ4 = (1) sikliksedangkanZ8* tidaksiklikkarenatidakadaanggotanya yang mempunyaiorde 4. • OlehkarenaituZ4tidakisomorfisdenganZ8*.

  11. Teorema IX.10 • SebaranggrupsikliktakberhinggaisomorfisdenganZ. • SebaranggrupsiklikberhinggaordenisomorfisdenganZn.

  12. LATIHAN • MisalkanS = { (1), (2) } dananggapbahwasemuakosetaSuntukadalamZ4. • BerikancontohkhususuntukmenunjukkanbahwapergandaankosetaS . bS = ab Stidakterdefinisikandenganbaik. • Tunjukanbahwatidakadaduadarihimpunan-himpunanini yang isomorfis : R*, R+danC*. • Buktibahwafungsi-fungsiberikutsuatuisomorfisma. • f : Z100Z100denganf(x) = 3x. • h : Z10* Z10* denganh(x) = x3.

  13. Tunjukkanbahwafungsiberikutmengawetkanoperasitetapitidaksurjektifmaupuninjektif.Tunjukkanbahwafungsiberikutmengawetkanoperasitetapitidaksurjektifmaupuninjektif. • f : Z100Z100denganf(x) = 2x. • h : Z10* Z10* denganh(x) = x2. • Didefinisikanf : RRdenganf(x) = -3x. BuktikanbahwafsuatuautomorfismaRyaituisomorfismadariRkeR. • MisalkanGsebaranggrupdanbanggotaG. • Didefinisikanfb : GGdenganaturanfb(x) = b-1xb. • TunjukkanbahwafbsuatuautomorfismadariG.

  14. DiketahuigrupfaktorZ6/S dengan S = { 0,3 }. Tentukan order darigrupfaktordan order darielemen-elemendalamZ6/S. ApakahZ6/S siklik ? • Diketahuigrupfaktorf : Z7* Z7* dengan f(x) = x2. TentukanIm(f) dan K=Ker(f). ApakahZ7*/K isomorfisdenganf(Z7*) = Im(f) ? • MisalkanS = { AM22* | det(A) = 1 }. BuktikanbahwaSgrupbagian normal dariM22*.

  15. TERIMA KASIH