第二节可测函数的收敛性

第二节可测函数的收敛性 第四章可测函数主讲：胡努春

⑴点点收敛: 记作 ⑵一致收敛: fn(x)=xn ⒈函数列的几种收敛定义注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制

1-δ 例：函数列 fn(x)=xn , n=1,2,… 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合上一致收敛 fn(x)=xn

⑷几乎一致收敛:记作 (almost uniformly) ⑶几乎处处收敛: 记作 (almost everywhere）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛

⑸依测度收敛: 记作 注：从定义可看出， • 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外） • 依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何

依测度收敛 不依测度收敛

在R+上处处收敛于 f(x)=1 , n （1）处处收敛但不依测度收敛 ⒉几种收敛的区别说明：当n越大，取1的点越多，故{fn(x)}在R+上处处收敛于1 所以{fn(x)}在R+上不依测度收敛于1，另外{fn}不几乎一致收敛于1

几乎一致收敛:记作 (almost uniformly) fn不几乎一致收敛于f 小适当小即：去掉测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意（）即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛

不几乎一致收敛于f(x)=1 n fn不几乎一致收敛于f 即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛

f1 f2 f3 0 1 0 ½ 1 0 ½ 1 f4 f5 f6 0 1/4 ½ 3/4 1 0 1/4 ½ 3/4 1 0 1/4 ½ 3/4 1 f7 f8 0 1/8 1/4 ½ 1 0 1/4 ½ 3/4 1 （2）依测度收敛但处处不收敛

依测度收敛但处处不收敛 ⑵ 取E=(0,1], n=2k+i,0≤i<2k,k=0,1,2,3,… 说明：对任何x∈(0,1] , {fn(x)}有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以{fn(x)}在(0,1]上处处不收敛；

fn(x)=xn 1-δ 收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合上一致收敛

即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 ⑴几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测， ⒊三种收敛的联系（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）

引理：设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，引理：设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，证明：由于为零测度集，故不妨令 fn，f在E上处处有限，从而有：关于N 单调减小

设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测， 几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理）

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