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§1 点的投影

第四章 点、直线和平面的投影. §1 点的投影. §2 直线的投影. §3 平面的投影. §1 点的投影. 基本要求. 1.1 两投影面体系中点的投影. 1.2 三投影面体系中点的投影. 1.3 两点的相对位置和重影点. 1.4 各种位置点的投影. 基本要求：. 熟练掌握点在第一分角中各种位置的投影特性及作图方法； 熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系； 掌握两点的相对位置及重影点可减刑的判别。. 1.1 两投影面体系中点的投影. 1.1.1 两投影面体系的建立. 1.1.2 两投影面体系中点的投影.

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§1 点的投影

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Presentation Transcript

  1. 第四章 点、直线和平面的投影 §1 点的投影 §2 直线的投影 §3 平面的投影

  2. §1 点的投影 基本要求 1.1 两投影面体系中点的投影 1.2 三投影面体系中点的投影 1.3 两点的相对位置和重影点 1.4 各种位置点的投影

  3. 基本要求： • 熟练掌握点在第一分角中各种位置的投影特性及作图方法； • 熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系； • 掌握两点的相对位置及重影点可减刑的判别。

  4. 1.1 两投影面体系中点的投影 1.1.1 两投影面体系的建立 1.1.2 两投影面体系中点的投影 1.1.3 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置 1.1.4 两面投影图的画法 1.1.5 两面投影图的性质

  5. 1.1.1 两投影面体系的建立 V O X 水平投影面 ——H 正面投影面 ——V 投 影 轴 ——OX

  6. V a O a 1.1.2 两投影面体系中点的投影 A Z X Y 点A的水平投影 ——a 点A的正面投影 ——a

  7. 1.1.3 点的两个投影唯一确定该点的空间位置

  8. V a z ax x O X y a a H H 1.1.4 两面投影图的画法

  9. 1.1.5 两面投影图的性质 1) aaOX 2) aax =Aa , aax=Aa

  10. 点在两面投影体系中的投影规律 ① aa⊥OX轴 ② aax =Aa（A到V面的距离） aax =Aa（A到H面的距离）

  11. 1.2 三投影面体系中点的投影 a 点A的正面投影 a 点A的水平投影 a 点A的侧面投影 1.2.1 三个投影之间的位置关系 规定：空间点用大写字母表示， 点的三个投影都用 同一个小写字母表示， 其中：H 投影不加撇，V 投影加一撇，W 投影加两撇

  12. 将投影面展开得点的正投影图

  13. 1.2.2 点的投影和坐标的关系 点的每个投影反映两个坐标：V 投影反映高标和横标，H 投影反映纵标和横标，W 投影反映高标和纵标。

  14. 小结:点的投影规律 aa⊥OZ轴 ① aa⊥OX轴 =y ② aax= aaz =Aa（A到V面的距离） aaz =x =Aa（A到W面的距离） aay= aay aax= =z =Aa（A到H面的距离）

  15. a ● Z az a ● 40 O YW ax X 20 a ● YH 例：已知点A(30,20,40)，求作三投影。 作图步骤 30

  16. 1.3 两点的相对位置和重影点 1.3.1 两点的相对位置 根据两点相对于投影面的距离(坐标)不同，即可确定两点的相对位置。 图中A 点的横标小于B 点的横标，点A 在点B 的右方。 同样，可以判断点A 在点B上方；点A 在点B 前方(规定距 V 面远为前，距V 面近为后)。

  17. ［例1］如图，已知点A 的三投影，另一点B 在点A上方8mm，左方12mm，前方10mm处，求点B的三个投影。 作图步骤： 1）在a′左方12mm，上方8mm处确定b′； 2）作b′b⊥OX，且在a前10mm处确定b； 3）按投影关系求得b″。

  18. ［例2］试比较如图所示三棱锥四个顶点 S、A、B、C的相对位置。

  19. 1.3.2 重影点 当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。 点A、B 称为对H面的重影点。而点C、D 则称为对V 面的重影点。

  20. 1.4 各种位置点的投影 1.4.1 四分角中的点 二 一 三 四

  21. 第一分角中的点A; 第二分角中的点B; 第三分角中的点C; 第四分角中的点D;

  22. 一般位置点: 空间点的三个坐标值X、Y、Z均不为零，称该点为一般位置点。 一般位置点（X、Y、Z ）

  23. 1.4.2 特殊位置点: 1.投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。 V 面上点（X、0、Z） H 面上点（X、Y、0） W 面上点（0、Y、Z） 2.投影轴上点:空间点的坐标值有两个为零。 X轴上点 （X、0、0） Y轴上点 （0、Y、0） Z 轴上点 （0、0、Z） 3.原点上的点: （0、0、0） 注意:点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。

  24. 特殊位置点的投影

  25. X 特殊位置点的投影

  26. §2 直线的投影2.1 各种位置直线 ⒈ 一般位置直线 ⒉ 投影面平行线 ⒊ 投影面垂直线

  27. 2.1.1 一般位置直线 直线与H、V 和W三投影面的夹角分别用α、β、γ表示。 一般位置直线投影特性 各投影的长度均小于直线本身的实长 ab=ABcos α a’b’=ABcos β a”b”=ABcos γ 直线的各投影均 不平行于各投影轴

  28. 2.1.2 投影面平行线 水平线 实长 实长 Z Z Z a a a b a YW a b a YW X YW X b β γ X b α α b b a YH YH a YH β a b γ 实长 b b 正平线 侧平线 与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ 投 影 特 性： 1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。 2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

  29. 名称 立体图 投影图 投影特性 (1)ab∥OX,ab∥OYW；(2)ab=AB；(3)反映夹角、大小 水平线 （∥H） (1)ab∥OX,ab∥OZ；(2)ab=AB；(3)反映夹角、大小 正平线 （∥V） (1)ab∥OYH,ab∥OZ；(2)ab=AB；(3)反映夹角、大小 侧平线 （∥W） 投影面平行线

  30. 正垂线 侧垂线 铅垂线 Z Z Z ● c(d) c d e(f) ● f e a a o YW X o YW b b X d X o YW ● e f YH c a(b) YH YH 2.1.3 投影面垂直线 投 影 特 性: （1） 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 （2） 另外两个投影, 反映线段实长， 且垂直于相应的投影轴。

  31. 名称 立体图 投影图 投影特性 (1)H投影为一点，有积聚性；(2)abOX,abOYW ；(3)ab=ab =AB 铅垂线 （H ） (1)V投影为一点，有积聚性；(2)abOX,abOZ；(3)ab=ab=AB 正垂线 （V ） (1)W投影为一点，有积聚性；(2)abOYH,abOZ；(3)ab=ab =AB 侧垂线 （W ） 投影面垂直线

  32. AB、BC为水平线；AC为侧垂线； SB为侧平线；SA、SC为一般位置直线 。

  33. AB为正平线； AC为正垂线； AD为铅垂线 。

  34. 2.2 求线段的实长和倾角 本节介绍用直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。

  35. AB V b ΔZ  B ab a X O ΔZ A b C  a H 2.2.1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 分析：过A点作AC∥ab，则得到直角三角形ABC。 在该三角形中AC＝ab， BC＝Bb－Aa＝ ΔZ ΔZ(A、B两点的Z坐标差)， 而∠BAC即α角， 斜边即AB实长。

  36. AB V b ΔZ  B ab  AB a X O ab ΔZ ΔZ A b C   a H AB 作图步骤： b ΔZ a X b ΔZ a

  37. 方法二 方法一 作图步骤： 方法一：以ab为一直角边，以ΔZ为另一直角边，作出直角三角形aB1b，则在该直角三角形中，aB1边长为线段AB的实长，∠baB1为线段AB的α角 。 方法二：略

  38. AB ΔZ  ΔY ΔX ab   ab  ΔY ab ab 2.2.2 小 结： 注意对应关系! 直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。 知二求二:任何一个直角三角形都可以找出四个条件, 只要知道其中两个条件,就能求出另外两个条件。 实长AB---H 投影长（ab) ----Z 坐标差|zA-zB| ---  角 实长AB---V 投影长（ab） ----Y 坐标差|yA-yB| ---  角 实长AB---W 投影长（ab）----X 坐标差|xA-xB|--- 角

  39. ΔY ab AB  例： 求直线的实长及对正面投影面的夹角角。 方法一 方法二

  40. ΔY b AB ab ΔY a  X ab b ΔY AB AB a  例： 求直线的实长及对正面投影面的夹角角。 方法一 方法二

  41. ΔY ΔY 25 25 ΔY ［例］已知线段AB＝25mm及其投影ab和a′， 试求该线段的V 投影a′b′。 ab ab ab ΔY 解： 利用ab和AB＝25mm，确定A、B两点的高标差bB1，从而求出b′(有两解) ，或利用ΔY和AB＝25mm，确定a′b′的长度，求出b′。

  42. 2.3直线上的点 2.3.1 直线上的点 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如图所示，C∈AB。 反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。 在图中，D、E两点均不满足上述条件，所以，都不在AB直线上。

  43. 注 意: a k ● b Z 对于一般位置直线,只要观察两个投影即可确定。 但对于投影面平行线,则应察看直线所平行的那个投影面上的投影。 a k ● b o X YW a k ● b YH

  44. b V c B a C X A O b c a H 2.3.2 点分割线段成定比 直线上的点分割线段之比等于其投影之比。即： AC/CB =ac/cb = ac / cb

  45. ［例1］试在AB线段上取一点C，使AC∶CB＝1∶2，［例1］试在AB线段上取一点C，使AC∶CB＝1∶2， 求:分点C的投影。 作图步骤： 1）过a(或b)任作一直线aB1（或bB1) ； b c 2）在aB1上取C1，使aC1∶C1B1＝1∶2； a 3）连接B1、b； X b 4）过C1作C1c∥B1b，与ab交于c； c a 5）过c作X轴的垂线与a′b′交于c′。 则c、c′即所求分点C的投影。 C1 B1 分析：分点C的投影，必在AB 线段的同面投影上， 　　　且ac∶cb＝a′c′∶c′b′＝1∶2 　　　可用比例作图法作图。

  46. [例2] 已知直线AB及点K 的二投影， 试判断点K是否在直线AB 线上。 a 应用简单比定理 k 作图步骤： 1）在H 投影上，过b（或a）任作一条直线bA1; 2) 在bA1上取bK1=bk,K1A1= ka; 3) 连接A1a，过K1作直线平行于A1a，与ab交于k1； b X a K1。 A1 。 K1 K K1 因为已知投影k与k1不重合， 所以点K 不在直线AB 上。 b

  47. 2.3.3 直线的迹点 直线与投影面的交点，称为直线的迹点。 直线与水平投影面的交点称为水平面迹点， 用M标注。 与正面投影面的交点称为正面迹点， 用N标注。 与侧面投影面的交点称为侧面迹点， 用S标注。

  48. 迹点投影特点： 1）因迹点是直线上的点，所以迹点的投影必在直线的同面投影上。 2）因迹点是投影面上的点，所以迹点的一个投影必在投影轴上。

  49. ［例］试求直线AB的M、N迹点。 1）延长a′b′，使之与X 轴交于点m′； 2）由m′引X 轴的垂线，与ab的延长线交于m ； 3）延长ab，使其与X 轴交于点n ； 4）由n 引X 轴的垂线，与a′b′的延长线交于n′。

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