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Introduction à la programmation linéaire

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Introduction à la programmation linéaire. Inspiré de Cliff Ragsdale (Virginia Tech). La programmation linéaire peut être définie comme étant une méthode qui permet d’allouer de façon optimale des ressources disponibles en quantités limitées à des activités compétitrices. Buongiorno.

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introduction la programmation lin aire

Introduction à la programmation linéaire

Inspiré de Cliff Ragsdale (Virginia Tech)

slide2
La programmation linéaire peut être définie comme étant une méthode qui permet d’allouer de façon optimale des ressources disponibles en quantités limitées à des activités compétitrices.

Buongiorno

slide3
Caractéristiques de la PL
  • Décisions (Variables décisionnelles)
  • Qu’est-ce qu’on cherche à établir?
  • Contraintes
  • Viennent définir l’ensemble des solutions possibles.
  • Objectif
      • Maximisation - Minimisation
forme g n rale d un probl me d optimisation
Forme générale d’un problème d’optimisation

MAX (ou MIN): f0(X1, X2, …, Xn)

Sujet à: f1(X1, X2, …, Xn) <= b1

:

fk(X1, X2, …, Xn) >= bk

:

fm(X1, X2, …, Xn) = bm

Si toutes les fonctions sont linéaires, le problème en est un de programmation linéaire.

forme g n rale d un probl me en programmation lin aire
Forme générale d’un problème en programmation linéaire

MAX (ou MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn

Sujet à: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1

:

ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn <= bk

:

am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm

propri t s d un mod le de programmation lin aire
Propriétés d’un modèle de programmation linéaire
  • Linéarité
  • Équations polynômiales de degré 1
  • Divisibilité & continuité
  • Domaine des variables 
propri t s d un mod le de programmation lin aire suite
Propriétés d’un modèle de programmation linéaire (Suite)
  • Séparabilité & additivité
  • c1X1 + c2X2 + … + cnXn
  • Fonction objectif unique
  • Min coût, Max profit, …
  • Données considérées certaines
exemple
A B

Pompes 1 1

M-O 9 heures 6 heures

Tuyaux 12 m 16 m

Profit unitaire $350 $300

Exemple

Equipement inc. produit deux types de chargeuses: A et B

Il y a 200 pompes, 1566 heures en M-O, et 2880 mètres de tuyaux disponibles.

5 tapes pour la formulation du probl me lp
5 Étapes pour la formulation du problème LP
  • Comprendre le problème.

2. Identifier les variables décisionnelles.

X1 = nbre de chargeuses A produites

X2 = nbre de chargeuses B produites

3. Définir la fonction objectif en une combinaison linéaire de variables décisionnelles.

MAX: 350X1 + 300X2

5 tapes pour la formulation du probl me lp suite
5 Étapes pour la formulation du problème LP (Suite)

4. Définir les contraintes en une combinaison linéaire de variables décisionnelles.

1X1 + 1X2 <= 200 } pompes

9X1 + 6X2 <= 1566 } M.-O.

12X1 + 16X2 <= 2880 } tuyaux

5. Identifier limites supérieures ou inférieures sur les variables décisionnelles.

X1 >= 0

X2 >= 0

sommaire du mod le lp equipement inc
Sommaire du modèle LPEquipement inc.

MAX: 350X1 + 300X2

S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200

9X1 + 6X2 <= 1566

12X1 + 16X2 <= 2880

X1 >= 0

X2 >= 0

slide12
Résoudre un problème PL:Une approche intuitive
  • Idée: Chaque chargeuse A (X1) génère le profit unitaire le plus élevé (350$), faisons-en le plus possible!
  • Combien en fabriquer?
    • Posons X2 = 0
      • 1ère contrainte : 1X1 <= 200
      • 2è contrainte : 9X1 <=1566 ou X1 <=174
      • 3è contrainte : 12X1 <= 2880 ou X1 <= 240
slide13
Résoudre un problème PL:Une approche intuitive (Suite)

Si X2=0, la valeur maximale de X1 est 174 et le profit total est:

(350$ * 174) + (300$ * 0) = 60 900$

C’est une solution possible mais est-elle optimale?

  • Non!
r solution probl me pl une approche graphique
Résolution problème PL:Une approche graphique
  • Les contraintes d’un problème PL définissent la région de faisabilité.
  • Le meilleur point dans la zone de faisabilité correspond à la solution optimale.
  • Pour des problèmes à deux variables, il est facile de tracer la zone de faisabilité et de trouver la solution optimale.
slide15
Tracé de la première contrainte

X2

250

(0, 200)

200

Contrainte des pompes

X1 + X2 = 200

150

100

50

(200, 0)

0

100

0

150

X1

200

250

50

slide16
Tracé de la deuxième contrainte

X2

(0, 261)

250

Contrainte de main-d’oeuvre

9X1 + 6X2 = 1566

200

150

100

50

(174, 0)

0

100

0

150

X1

200

250

50

slide17
Tracé de la troisième contrainte

X2

250

(0, 180)

200

150

Contrainte des tuyaux

12X1 + 16X2 = 2880

100

Zone de faisabilité

50

(240, 0)

0

100

0

150

X1

200

250

50

slide18
X2

Tracé d’une droite de la fonction objectif

250

200

(0, 116.67)

Fonction objectif

150

350X1 + 300X2 = 35000

100

(100, 0)

50

0

100

0

150

X1

200

250

50

slide19
Un deuxième tracé de la fonction objectif

X2

250

(0, 175)

Fonction objectif

200

350X1 + 300X2 = 35000

Fonction objectif

150

350X1 + 300X2 = 52500

100

(150, 0)

50

0

100

0

150

X1

200

250

50

slide20
Tracé de la solution optimale

X2

250

Fonction objectif

200

350X1 + 300X2 = 35000

150

Solution optimale

100

Fonction objectif

350X1 + 300X2 = 52500

50

0

100

0

150

X1

200

250

50

slide21
Calcul de la solution optimale
  • La solution optimale se trouve à l’intersection des contraintes de pompes et de m-o.
  • Où:
    • X1 + X2 = 200 (1)
    • 9X1 + 6X2 = 1566 (2)
  • De (1) nous avons:
    • X2 = 200 -X1 (3)
slide22
Calcul de la solution optimale (Suite)
  • En substituant (3) pour X2 dans (2) nous avons:
    • 9X1 + 6 (200 -X1) = 1566
    • ce qui fait X1 = 122
  • La solution optimale est :
  • X1 = 122
  • X2 = 200-X1=78
    • Profit total = (350$*122) + (300$*78) = 66 100$
slide23
Situations spéciales avec problèmes PL
  • Plusieurs anomalies peuvent survenir:
    • Solutions optimales multiples
    • Contraintes redondantes
    • Problème non-contraint (“Unbounded Solutions”)
    • Infaisable
slide24
Exemple de solutions optimales multiples

X2

250

Tracé de la fonction objectif

450X1 + 300X2 = 78300

200

150

100

Solutions optimales équivalentes

50

0

100

0

150

X1

200

250

50

slide25
Example d’une contrainte redondante

X2

250

Contrainte des tuyaux

200

Contrainte des pompes

150

Contrainte de la M-O

100

Zone de faisabilité

50

0

100

0

150

X1

200

250

50

slide26
Exemple d’une solution “unbounded”

X2

1000

Fonction objectif

X1 + X2 = 600

-X1 + 2X2 = 400

800

Fonction objectif

X1 + X2 = 800

600

400

200

X1 + X2 = 400

0

400

0

600

X1

800

1000

200

slide27
X2

Exemple d’infaisabilité

250

200

X1 + X2 = 200

Zone de faisabilité de la deuxième contrainte

150

100

Zone de faisabilité de la première contrainte

50

X1 + X2 = 150

0

100

0

150

X1

200

250

50

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