第四章 Z 变换 §4-1 引言 - PowerPoint PPT Presentation

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  1. 第四章 Z变换§4-1 引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统: 信号的时域运算,时域分解,经典时域 分析法,近代时域分析法,卷积积分。 2.离散时间信号与系统: 序列的变换与运算,卷积和,差分方程 的求解。

  2. 二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统: 信号与系统的频域分析、复频域 分析。 2.离散时间信号与系统: Z变换,DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。

  3. §4-2 Z变换的定义及收敛域 一.Z变换定义: 序列的Z变换定义如下: *实际上,将x(n)展为z-1的幂级数。

  4. 二.收敛域 • 1.定义: • 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 • 集合称作X(z)的收敛域. 2.收敛条件: X(z)收敛的充要条件是绝对可和。

  5. 3.一些序列的收敛域 (1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 ,在 收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。

  6. 同样,对于级数 ,满足 • 的z,级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。

  7. (n) . . . n 0 n2 n1 (2).有限长序列

  8. x(n) ... . . n n1 0 1 3. 右边序列 *第一项为有限长序列,第二项为z的负幂级数,

  9. 第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数,由阿贝尔定理可知, 其收敛域为Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞; Rx-为最小收敛半径。 收敛域

  10. (4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为:

  11. x(n) 0 n n 2 (5)左边序列

  12. 第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数,根据阿贝尔定理, 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .

  13. x n 0 (6)双边序列 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列,即左边序列和右边序列之和。

  14. 第一项为右边序列(因果)其收敛域为: 第二项为左边序列,其收敛域为: 当Rx-<Rx+时,其收敛域为

  15. [例2-1] 求序列 的Z变换及收敛域。 解:这相当 时的有限长序列, 其收敛域应包括 即 充满整个Z平面。

  16. [例2-2] 求序列 的Z变换及收敛域。 解: 当 时,这是无穷递缩等比级数。

  17. 收敛域: *收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。

  18. [例2-3]求序列 变换及收敛域。 • 同样的,当|b|>|z|时,这是无穷递缩等比级数,收敛。 收敛域: *收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。

  19. §4-3 Z反变换 一.定义: 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。

  20. z变换公式: C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线. 0 c

  21. 二.求Z反变换的方法 1.留数法 由留数定理可知: 为c内的第k个极点, 为c外的第m个极点, Res[ ]表示极点处的留数。

  22. 留数的求法: 1、当Zr为一阶极点时的留数: 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数:

  23. [例2-4] 已知 ,求z反变换。 解: 1)当n≥-1时, 不会构成极点,所以这时C内只有一个一阶极点 因此

  24. 2)当n≤-2时,X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点:z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点;而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:

  25. 2.部分分式法 有理式:数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式:含字符的式子做分母的有理式,或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式:把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和,使各分式具有 或 的形式 ,其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式,而且k是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。

  26. 通常,X(z)可表成有理分式形式: 因此,X(z)可以展成以下部分分式形式 其中,M≥N时,才存在Bn;Zk为X(z)的各单极点, Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak,Ck 分别为:

  27. 分别求出各部分分式的z反变换(可查 P54 表2-1),然后相加即得X(z)的z反变换。 [例2-5]利用部分分式法,求 的z反变换。 解:

  28. 3.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1的幂级数,即 所以在给定的收敛域内,把X(z)展为幂级数,其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|>Rx+, x(n)为因果序列,则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列,主要展成 Z的正幂级数。