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第四章 二元关系和函数

第四章 二元关系和函数. 本章主要内容 :. 集合的笛卡尔积与二元关系 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数. 4.1 集合的笛卡儿积与二元关系. 定义 4.1 由两个元素 x 和 y ( 允许 x = y ) 按一定的 顺序 排列成的 二元组 叫做一个 有序对 ( 也称 序偶 ), 记作 < x , y >, 其中 x 是它的第一元素 , y 是它的第二元素。

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第四章 二元关系和函数

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  1. 第四章 二元关系和函数

  2. 本章主要内容: • 集合的笛卡尔积与二元关系 • 关系的运算 • 关系的性质 • 关系的闭包 • 等价关系和偏序关系 • 函数的定义和性质 • 函数的复合和反函数

  3. 4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 定义4.1 由两个元素x和y(允许x=y)按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序偶),记作<x,y >,其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。 平面直角坐标系中点的坐标就是有序对,例如,<1,－1 >,<2,0>,(1,1), (－1,1) ,…都代表坐标系中不同的点。

  4. 有序对的特点： 1.当xy时,<x,y><y,x>。 2.两个有序对相等,即 <x,y>＝<u, v> 的充分必要条件是x＝u且y＝v。

  5. 定义4.2 一个有序n元组(n≥3)是一个有序对,其中第一个元素是一个有序n－1元组,一个有序n元组记作<x1,x2,…, xn>,即 <x1,x2,…, xn>＝ < <x1,x2,…, xn-1>, xn> 例如,空间直角坐标系中点的坐标 <1,－1,3>,<2,4.5,0>等 都是有序3元组。 n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。

  6. 定义4.3 设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积,记作A×B。符号化表示为 A×B＝{(x,y)|x∈A∧y∈B}. 例如,A＝{a,b},B＝{0,1,2},则 A×B ＝{<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}； B×A ＝{<0,a>,<0,b>, <1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}。

  7. 如果A中有m个元素,B中有n个元素, 则A×B和B×A中都有多少个元素? mn个 若<x,y>A×B,则有 x∈A和y∈B。 若<x,y>A×B,则有 xA或者y B.

  8. 笛卡儿积运算的性质: 1.若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集, 即 B＝B×＝ 2.当A≠B且A,B都不是空集时,有 A×B≠B×A。 所以,笛卡儿积运算不适合交换律。 3.当A,B,C都不是空集时,有 (A×B)×C≠A×(B×C). 所以,笛卡儿积运算不适合结合律。

  9. 4.笛卡儿积运算对∪或∩运算满足分配律即 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)； (B∪C)×A ＝(B×A)∪(C×A)； A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)； (B∩C)×A ＝(B×A)∩(C×A)。

  10. 证明 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C) 证明 对于任意的<x,y>, <x,y>A×(B∪C)  x∈A∧y∈B∪C  x∈A∧(yB∨y∈C)  (x∈A∧yB)∨(x∈A∧y∈C)  <x,y>A×B∨<x,y>∈A×C  (x,y)∈(A×B)∪(A×C). 所以 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)。

  11. 例4.1设A={1,2},求P(A)×A 解 P(A)×A ＝{,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ＝{<,1>,<,2>,<{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>,<{1,2},1>,<{1,2},2>}

  12. 例4.2设A,B,C,D为任意集合,判断以下等式是否成立,说明为什么。 (1) (A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)； (2) (A∪B)×(C∪D)＝(A×C)∪(B×D)； (3) (A—B)×(C—D)＝(A×C)－(B×D)； (4) (AB) ×(CD) ＝(A×C)  (B×D)。

  13. 解.(1)成立.因为对于任意的<x,y>, <x,y>(A∩B)×(C∩D)  xA∩B∧yC∩D  xA∧xB ∧yC∧yD  <x,y>A×C∧<x,y> B×D  <x,y>(A×C)∩(B×D) (2)不成立。 举一反例如下：若A＝D＝,B＝C＝{1} 则有： (A∪B)×(C∪D)＝B×C＝{<1,1>}, (A×C)∪(B×D)＝∪＝。 (3)和(4)都不成立

  14. 例4.3设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题的真假. (1)若AC且BD,则有A×BC×D。 (2)若A×BC×D,则有AC且BD. 解(1)命题为真。请思考：为什么？ (2)命题为假.当A＝B＝时,或者A≠且B≠时,该命题的结论是成立的。但是当A和B之中仅有一个为时,结论不一定成立,例如,令A＝C＝D＝,B＝｛1｝,这时A×BC×D,但BD。

  15. 定义4.4 设A1,A2, … , An是集合(n≥2),它们的n阶笛卡儿积,记作A1×A2×…×An,其中 Al×A2×…×An＝{<x1,x2,…xn>|x1∈Al∧x2∈A2∧…xn∈An}。 例如: A={a,b},则 A3= {<a,a,a>,<a,a,b>, <a,b,a>,<a,b,b>, <b,a,a>,<b,a,b>, <b,b,a>,<b,b,b>}

  16. 二元关系Relation 所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相关性. 例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果任何两个人之间都要赛一场,那么共要赛三场。假设三场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙,这个结果可以记作 {<乙,甲>,<甲,丙>,<乙,丙>},其中<x,y>表示x胜y。它表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关系.

  17. 例子.有A,B,C三个人和四项工作α,,,,已知A可以从事工作α,δ,B可以从事工作,C可以从事工作α,。那么人和工作之间的对应关系可以记作例子.有A,B,C三个人和四项工作α,,,,已知A可以从事工作α,δ,B可以从事工作,C可以从事工作α,。那么人和工作之间的对应关系可以记作 R＝{<A,α>,<A,δ>,<B,>,<C,α>,<C,>}。 这是人的集合{A,B,C}到工作的集合{α,,,}之间的关系。

  18. 定义4.5 如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对, 则称这个集合是一个二元关系,一般记作R。 对于二元关系R, 如果<x,y>∈R,则记作xRy； 如果<x,y>R,则记作

  19. 定义4.6 设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系,特别当A＝B时,则叫做A上的二元关系。 关系RAB, R is a relation from A to B. RAA, R is a relation on A. A上有多少个不同的二元关系? |A|=n |A×A|=n2 |P(A×A)|=2n2 每一个子集代表一个A上的关系,共2n2个关系.

  20. 对于任何集合A都有3种特殊的关系: 其中之一就是空集,称做空关系。 另外两种就是全域关系EA和恒等关系IA。 定义4.7 对任何集合A, EA＝{<x,y>｜x∈A∧y∈A}＝A×A。 IA＝{<x,x>｜x∈A}。 例如：A={0,1,2},则 EA＝{<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>｝ IA＝{<0,0>,<1,1>,<2,2)}。

  21. 常用的关系:小于等于关系、整除关系 例如: 设A为实数集R的某个子集,则A上的小于等于关系定义为 LA＝{<x,y>｜x,y∈A∧x≤y｝ 设B为正整数集Z＋的某个子集,则B上的整除关系定义为 DB＝{<x,y>｜x,y∈B∧xy}.

  22. 例如: A={4,0.5,-1},B={1,2,3,6},则 LA＝ {<-1.-1>,<-1.0.5>, <-1,4>.<0.5,0.5>, <0.5,4>,<4,4>｝ DB＝ {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,6>, <2,2>,<2,6>, <3,3>,<3,6>, <6,6>}.

  23. 例4.4设A＝{a,b},R是P(A)上的包含关系, R＝{<x,y>|x,y∈P(A)∧xy>, 则有 P(A)＝{,{a},{b},A}。 R＝ {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,A>,<{a},{a}>,<{a},A>,<{b},{b}>,< {b},A>,<A,A>}.

  24. 有穷集A上的关系R, 可用关系矩阵和关系图给出。 设A＝{1,2,3,4}, A上的关系 R＝{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>} 。 R的关系矩阵和关系图如图 关系矩阵和关系图

  25. 关系矩阵和关系图 设V是顶点的集合,E是有向边的集合,令V＝A＝{x1,x2,···,xn},如果xiRxj,则有向边<xi,xj>∈E.那么G＝<V,E>就是R的关系图。 设A＝{x1,x2,···,xn},R是A上的关系, 则R的关系矩阵可表示为：

  26. 4.2 关系的运算 • 关系R的定义域,值域和域 • 关系F的逆 • 关系F与G的合成 • 关系F在集合A上的限制 • 集合A在关系F下的象 • 关系R的n次幂

  27. 定义4.8 关系R的定义域 domR,值域ranR和域fldR分别是 domR＝{xy(<x,y>∈R)} ranR＝{y| x(<x,y>∈R)} fldR＝domR∪ranR。 domR就是R的所有有序对的第一个元素构成的集合,ranR就是R的所有有序对的第二个元素构成的集合. 例:实数集R上的关系 S={<x,y>|x,y∈R∧x2+y2=1}, domS=ranS=fldS=[－1,1］.

  28. 例4.5下列关系都是整数集Z上的关系,分别求出它们的定义域和值域, (1)R1＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x≤y}； (2)R2＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x2+y2=1}； (3)R3＝{<x,y>｜x,y∈Z∧y＝2x}； (4)R4＝{<x,y>｜x,y∈Z∧ x＝y=3}。 解 (1) domR1＝ranR1＝Z. (2) R2＝{<0,1 >,<0,－1>,<1,0>,<－1,0>} domR2＝ranR2＝{0,1,－1}. (3) domR3＝Z ranR3＝{2z|z∈Z},即偶数集 (4) domR4＝ranR4＝{-3,3}.

  29. 从A到B的某些关系R的图解方法(不是R的关系图) 1.用封闭的曲线表示R的定义域(或集合A)和值域(或集合B). 2.从x到y画一个箭头,如果<x,y>∈R

  30. 逆、合成、限制和象 定义4.9 设F,G为任意的关系,A为集合,则 (1)F的逆记作F-1 F-1＝{<x,y>|yFx}. (2)F与G的合成记作F◦G, F◦G,＝{<x,y>｜z(xGz∧zFy)} (3)F在A上的限制记作 F A F A＝{<x,y>|xFy∧x∈A}. (4)A在F下的象记作F[A], F[A]＝ran (F A)

  31. 例4.6设F,G是N上的关系,其定义为 F＝{<x,y>｜x,y∈N∧y＝x2 } G＝{<x,y>｜x,y∈N∧y＝x＋1}。 解：1) 2)对任何的x∈N有 则 所以

  32. 由这个例子不难看出,合成运算不是可 交换的,即对任何关系F,G,一般说来 F◦G≠G◦F.

  33. 关系的基本运算的主要性质 定理4.1设F,G,H是任意的关系,则有 • (3)(F◦G) ◦H＝F◦ (G◦H) • (4) • 怎样证明?

  34. 定理4.2设F,G,H为任意的关系,则有 (1)F◦ (GH)=F◦GF◦H (2) (GH)◦F=G◦F  H◦F (3) F◦ (GH) F◦GF◦H (4) (GH)◦F  G◦F  H◦F 怎样证明?

  35. 定义4.10 设R为A上的关系,n为自然数,则R的n次幂规定如下： R0=IA R1=R0◦R=R ◦ R0

  36. 在有穷集A上给定了关系R和自然数n,求Rn的方法:在有穷集A上给定了关系R和自然数n,求Rn的方法: • 1.集合运算:依据定义 • 2.关系矩阵:用关系矩阵M表示关系R,计算M·M,在两个矩阵相乘时,第i行第j列的元素rij满足下式(i,j=1,2,3,4) rij = ri1 · r1j + ri2 · r2j + ri3 · r3j + ri4 · r4j 这里的加法+是逻辑加,即 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1 3.关系图:对R的关系图G中的任何一个结点x,考虑从x出发的长为n的路径,如果路径的终点是y,则在Rn的关系图中有一条从x到y的有向边.

  37. 定理4.3 设R为A上的关系,m,n是自然数,则下面的等式成立.

  38. 4.3 关系的性质 • 设R是A上的关系,R的性质主要有以下5种： • 自反性、 • 反自反性、 • 对称性、 • 反对称性 • 传递性。

  39. 判断下列关系的性质 • 集合A上的全域关系: 自反的、对称的和传递的 • 恒等关系 自反的、对称的和传递的. • 整除关系 自反的、反对称的和传递的 • 小于等于关系 自反的、反对称的和传递的 • 幂集上的包含关系 自反的、反对称的和传递的

  40. 设A为非空集合: • 1.A上的关系可以是①自反的, ②反自反的,或者③既不是自反的也不是反自反的. • 例如:Q={1,2,3},令 • A={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} IQ R • B={<2,3>,<3,2>} IQR= • C={<1,1>,<2,2>} IQR≠且IQR

  41. 2. A上的关系可以是①对称的, ②反对称的,或者③既是对称的又是反对称的, ④既不是对称的也不是反对称的. • 例如:Q={1,2,3},令 • A={<1,2>,<2,1>,<3,3>} R-1=R • B={<1,2>,<1,3>} RR-1 IQ • C={<1,1>} RIQ • D= {<1,2>,<2,1>,<1,3>} • R◦RR是什么关系?

  42. 例4.9 试判断图4.5中关系的性质。

  43. 设R1,R2是A上的关系,如果经过某种运算后仍保持原来的性质,则在相对应的格内划√,否则划×。设R1,R2是A上的关系,如果经过某种运算后仍保持原来的性质,则在相对应的格内划√,否则划×。

  44. 例：设R1,R2为A上的对称关系,证明R1∩R2也是A上的对称关系。例：设R1,R2为A上的对称关系,证明R1∩R2也是A上的对称关系。 证明：对于任意的<x,y> <x,y> R1∩R2  <x,y>  R1<x,y>  R2  <y,x>  R1<y,x> R2  <y,x> R1 R2 所以, R1R2在A上是对称的。 例: R1, R2是A上的反对称关系, A={x1, x2}, R1={< x1, x2 >}, R2 ={< x2, x1 >},R1∪ R2 ={< x1, x2 >, < x2, x1 >}不是A上的反对称关系.

  45. 作业 • 证明表4.2的反对称性和传递性 • P105 4.1 4.2 4.3 4.4

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