复 数

1. 复 数 复数 主讲人： 镇江市实验高级中学 丁大江 审稿： 镇江市教研室 黄厚忠 庄志红

2. 复数 表示 运算 概念 代数表示 几何意义 代数运算 几何表示 知识结构图

3. 高考要求 • 1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义； • 2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算； • 3．了解从自然数到复数扩充的基本思想．

4. 复数知识梳理 1 联系类比 掌握复数 2 复数的高考考查形式 3 复数问题的思想方法 4 讲座内容目录 讲座内容

5. 知识梳理 1.定义:形如a+bi（a、b∈R）的数叫做复数,其中i是虚数单位； 注:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi（a、b∈R)可记作z =a+bi （a、b∈R），并把这一形式叫做复数的代数形式 ②全体复数所组成的集合叫复数集，记作C ③复数Z=a+bi (a、 b∈R )，我们把实数a，b分别叫做复数的实部和虚部．

6. 则 知识梳理 • 2.复数的分类： 复数a+bi （a∈R，b∈R） 3.复数相等： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：

7. 知识梳理 • 4 .复数的运算： （1）复数的加法 (a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i （2）复数的减法 (a+bi )－(c+di) = (a－c)+ (b－d)i （3）复数的乘法 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac－bd)+(bc+ad)i 类似于多项式的加法、减法、乘法运算

8. 知识梳理 • 4.复数的运算 • （4）复数的除法： 即分母实数化

9. 复数运算的常用结论： ① ② ③ ④

10. 知识梳理5. 复数的几何意义 有序实数对(a,b) 一一对应 复数z=a+bi（a∈R，b∈R） 直角坐标系中的点Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 y z=a+bi ------复平面 b Z(a,b) x轴------实轴 o x a y轴------虚轴

11. y z=a+bi Z(a,b) x O 复数的模的几何意义: 与复数z=a+bi（a∈R，b∈R）对应的向量 的模| |，叫做复数z=a+bi的模，即为复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离 | z| =

12. 知识梳理 6.复数加法运算的几何意义 OZ1 +OZ2 = OZ z1+ z2 y 符合向量加法的平行四边形法则 Z(a+c,b+d) Z2(c,d) Z1(a,b) x o

13. 复数z2－z1 向量Z1Z2 复数减法运算的几何意义 y Z2(c,d) 符合向量减法的三角形法则 Z1(a,b) x o |z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离

14. 联系类比，掌握复数 • 1.联系数集扩充到实数集，掌握数集扩充到复数集 • 数从自然数发展到实数的三次扩充历程都是因生产、科学发展的需要和数学本身发展的需要而逐步扩充的过程；但实系数一元二次方程 没有实数根，这促使我们将实数集进行扩充，使该问题能得到圆满解决；由此我们引入新数i，定义形如 的数叫做复数；从而把数集扩充到复数集.

15. 分析:本题是一道考查复数概念的题目，解题的关键是把复数化成z=分析:本题是一道考查复数概念的题目，解题的关键是把复数化成z= 联系类比，掌握复数 • 1.联系数集扩充到实数集，掌握数集扩充到复数集 【例1】 实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④共轭复数的虚部为12. 的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由它们满足的条件进行解题.

16. ①要使z为实数，必须 解得m=5或m=－3. 联系类比，掌握复数 【例1】 实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④共轭复数的虚部为12. • 解析：z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i • =(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i，(m∈R)， ②要使z为虚数，必须m2－2m－15≠0，解得m≠5且m≠－3.

17. ③要使z为纯虚数，必须 即 ∴m=－2. 联系类比，掌握复数 【例1】 实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④共轭复数的虚部为12. • 解：z =(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i，(m∈R)， ④要使z的共轭复数的虚部为12，必须－(m2－2m－15)=12，解得m=－1或m=3.

18. 点评：解决复数概念问题的方法是按照题设条件把复数整理成z=点评：解决复数概念问题的方法是按照题设条件把复数整理成z= 的形式，明确复数的实部与虚部，由实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的. 联系类比，掌握复数 【例1】 实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④共轭复数的虚部为12.

19. 【例2】若复数 其中 是虚数单位，则复数 的实部为. 解： 联系类比，掌握复数 • 2.类比多项式运算，掌握复数运算 • 两个复数相加、相减、相乘，类似于两个多项式相加、相减、相乘，只是在所得的结果中要把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并. －20 【点评】本题考查复数的减法、乘法运算，以及复数实部的概念；类比运算即可.

20. 为无理数时，有 都是有理数且 类似的，复数a+bi除以复数c+di的商 联系类比，掌握复数 3.类比分母有理化，掌握复数除法运算 在实数运算中，分母有无理数时，我们可以分子、分母同乘以分母的有理化因式进行分母有理化，即：

21. 可以分子、分母同乘以分母 的共轭复数进行“分母实数化”，即： 类似的，复数a+bi除以复数c+di的商 联系类比，掌握复数 3.类比分母有理化，掌握复数除法运算 .

22. =2+3i. 联系类比，掌握复数 3.类比分母有理化，掌握复数除法运算 【例3】 的值等于________. 分析：本题考查复数的除法运算，根据复数的除法运算法则即可解决. 解析： . 点评：掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则.

23. 【例4】复数 为虚数单位) 在复平面上对应的点不可能位于第象限. 解： 所以不可能同时有 联系类比，掌握复数 • 4.类比实数的几何意义，掌握复数的几何意义 • 实数与数轴上的点是一一对应的；类似的，复数 与复平面内的点 是一一对应的. . 故对应的点不可能位于第一象限.

24. 点评：本题考查复数的几何意义及复数运算的知识，每一个复数在复平面内都有一个点与之对应．先将复数变形为点评：本题考查复数的几何意义及复数运算的知识，每一个复数在复平面内都有一个点与之对应．先将复数变形为 【例4】复数 为虚数单位) 在复平面上对应的点不可能位于第象限. 所在的位置求解． 的形式，再根据 联系类比，掌握复数 • 4.类比实数的几何意义，掌握复数的几何意义 .

25. 高考考查形式 • 从近两年我省的高考试题看，高考对于复数的考查要求较低，试题难度不大，均在“较易”或“中档”的层次，相当数量的题源于教材，几乎都为填空题. 其中复数的代数运算是年年必考，其试题活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力.我们预测10年对复数的考查可能出现以下的一些形式： • 1．考查复数的基本概念与运算 ； • 2．考查复数的几何意义； • 下面我们举例说明

26. 解析：∵ ， ∴由已知得 ，∴ ． 高考考查形式1．考查复数的基本概念与运算 • 例1．若 （其中 是虚数单位， 是实数），则 ． 点评：对复数的基本问题不能放松要求，诸如复数是虚数、纯虚数的条件，复数相等的条件，复数模的几何性质等都要熟练掌握；对复数问题实数化的基本方法要清楚.

27. 高考考查形式2．考查复数的几何意义 • 例2．满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是． 解析：因为|z-i|=|3+4i|=5， ∴复数z对应的点Z与复数i对应的点(0,1)之间的距离为5， 由圆的定义知，复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是：以复数i对应的点(0,1)为圆心、5为半径的圆. 点评：本题直接利用复数的几何意义求解，对于复数模的问题，一般可化为复平面内两点间的距离来解决.

28. 复数问题的思想方法 • 通过前面的介绍我们知道：高考对于复数的考查要求较低，试题难度不大，均在“易”或“较易”的层次，相当数量的题源于教材，多为填空题. 但复数问题往往蕴含以下数学思想方法：①复数问题实数化思想，②坐标化思想，③向量化思想，④图形化思想；我们简称复数问题的“四化”——实数化、坐标化、向量化、图形化.

29. 1.实数化—根据复数相等的定义 • 解决复数问题，要注意复数问题实数化的方法，即利用复数相等的概念，把复数问题转化为实数问题，这是解决复数问题的最常用策略. • 【例1】设 (其中 表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是 ，则z2的虚部为. 分析：设出复数z1、z2，利用复数问题实数化的方法即可解决.

30. 解析：设 都是实数）， 则有 结合复数相等的概念得 由已知 ∴ ，即z2的虚部为1. 1.实数化—根据复数相等的定义 • 【例1】设 (其中 表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是 ，则z2的虚部为.

31. 1.实数化—根据复数相等的定义 • 【例1】设 (其中 表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是 ，则z2的虚部为. 点评：复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念、复数的几何意义、复数相等的充要条件等.

32. 分析：本题考查复数的几何意义，解题的关键是把复数化成z=分析：本题考查复数的几何意义，解题的关键是把复数化成z= 的形式，然后由其对应的点 满足的条件进行解题. 2.坐标化—根据复数与点的对应 • 实数与数轴上的点是一一对应的；类似的，复数与复平面内的点是一一对应的. • 【例2】 实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i对应的点： • ①在第三象限；②在直线x+y+4=0上.

33. ①要使z对应的点在第三象限，必须 ②要使z对应的点在直线x+y+4=0上，必须点的坐标(m2+5m+6，m2－2m－15)满足方程x+y+4=0，∴(m2+5m+6)+(m2－2m－15)+4=0，解得m=－ ∴－3<m<－2； 或m=1. 2.坐标化—根据复数与点的对应 • 解析：z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i • =(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i，∵m∈R， • ∴z对应的点为:（m2+5m+6，m2－2m－15）； • 【例2】 z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i对应的点：①在第三象限；②在x+y+4=0上.

34. 2.坐标化—根据复数与点的对应 • 【例2】 z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i对应的点：①在第三象限；②在x+y+4=0上. • 解析：z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i • =(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i，∵m∈R， • ∴z对应的点为:（m2+5m+6，m2－2m－15）； 点评：复数问题坐标化是解决复数对应点问题的最基本、最重要的思想方法，其依据是复数的概念、复数的几何意义等.

35. 3.向量化—根据复数与向量的对应 • 复数 与复平面内的点 是一一对应的，故与复平面内的向量 也是一一对应的，由此可理解复数加减运算的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则；复数的减法即向量的减法，满足三角形法则. • 由复数减法运算的几何意义还可得出以下性质：z1－z2对应的向量，是以z2的对应点为起点，z1的对应点为终点的向量.

36. 解析：∵复数z对应的点Z(x，－ ) 都在单位圆内， 即 解得 3.向量化—根据复数与向量的对应 • 【例3】复平面内，已知复数z = x－ i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是________. 分析：本题可根据复数与向量的对应关系，构造不等式，求未知数的范围. .

37. 解析：∵复数z对应的点Z(x，－ ) 都在单位圆内， 3.向量化—根据复数与向量的对应 • 【例3】复平面内，已知复数z = x－ i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是________. 点评：本题是复数几何意义的应用，从数形互相转换的角度上，介绍了数形结合这一思想方法，同学们在今后的实践中可进一步去体会与运用． .

38. ，求 的最值． 【例4】已知 4.图形化—根据复数的几何意义 • 由复数减法运算的几何意义可得出以下性质：|z1－z2|表示复平面内与z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 分析：考察已知等式与所求式子的几何意义，进行数形结合，转化为几何问题求解．

39. ∴与复数z对应的点Z的轨迹是 以原点O为圆心、半径为1的圆，即单位圆； 的距离， 表示单位圆上的点与点 ，求 的最值． 【例4】已知 的最大值为 即为 最小值为 ，即 4.图形化—根据复数的几何意义 解析： 由平面几何知识可得

40. ，求 的最值． 【例4】已知 4.图形化—根据复数的几何意义 点评：通过这个例题，我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析问题与解决问题中的重要作用；对于复数模的问题，一般可转化为复平面内两点间的距离来解决.

41. 小 结 • 高考对复数的考查，一般要求较低，难度不大，均在“易”或“较易”的层次，相当数量的题源于课本，几乎只考填空题. • 解决复数问题，要注意复数问题实数化的方法，即利用复数相等的概念，把复数问题转化为实数问题，这是解决复数问题的最常用策略；同时我们还要注意复数是虚数、复数是纯虚数的条件，注意共轭复数、复数模的几何意义的应用.

42. 祝同学们成功！ 再见！