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水平線

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水平線 - PowerPoint PPT Presentation


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一、角度、方位與簡易測量. 1. 仰角與俯角:. 物體與地心的連線稱做 鉛垂線 ,. 和鉛垂線垂直的線稱為 水平線 ,. 觀測高處或低處目標時,. 視線與水平線所形成的夾角,分別稱作 仰角 和 俯角 。. 視線. 仰角. 眼睛. 水平線. 俯角. 視線. 本段結束. 2. 範例: 欲觀測某大樓高度,在地面上的 A 點測得樓頂 P 的. 仰角為 45  ,面向大樓的方向前進 100 公尺到達 B 點. 再測得樓頂 P 的仰角為 60  ,求此大樓的高度 ?. 解: 設過 P 的垂直線交地面於 H ,. P. 30 .

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

一、角度、方位與簡易測量

1.仰角與俯角:

物體與地心的連線稱做鉛垂線,

和鉛垂線垂直的線稱為水平線,

觀測高處或低處目標時,

視線與水平線所形成的夾角,分別稱作仰角和俯角。

視線

仰角

眼睛

水平線

俯角

視線

本段結束

slide2

2. 範例:欲觀測某大樓高度,在地面上的 A 點測得樓頂 P 的

仰角為 45,面向大樓的方向前進 100 公尺到達 B 點

再測得樓頂 P 的仰角為 60,求此大樓的高度?

解:設過 P 的垂直線交地面於 H,

P

30

60

45

H

A

x

100

B

Let’s do an exercise !

slide3

馬上練習.小新從家裡頂樓的窗口測得對面一棵大樹樹頂的俯角為 30,

又樹底的俯角為 60,已知大樹的高度為 14 公尺,

求小新眼睛與地面的距離是多少?

解:設小新眼睛在 A 點,樹頂為 P,樹底為 H,

A

30

x

60

P

B

2x

14

60

C

H

slide4

3. 範例:假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。

兩條筆直的公路交於丁鎮,其中之一通過甲、乙兩鎮

而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路

的夾角為4 5,試求丙、丁兩鎮間的距離。

D(丁)

解:

45

A(甲)

120

20

20

B(乙)

C(丙)

Let’s do an exercise !

20

slide5

馬上練習. 如右圖,A、B 兩點分別位於一河口的兩岸邊。

距離 A 點 50 公尺的 C 點與距離 A 點 200 公尺的 D 點,

某人在通往 A 點的筆直公路上,分別

測得 ACB  60, ADB  30,

求 A 與 B 的距離。

解:CBD CDB 30

B

30

= 5021502  250150cos 60

150

 17500,

60

30

A

D

50

C

150

slide6

4.方位:地理上常用方位來描述物體所在的位置或方向,4.方位:地理上常用方位來描述物體所在的位置或方向,

除了東南西北四個主要方位之外,若要更精確則需配合角度,

例如:A點的位於 O點的北 30東

A

(或東 60 北),

B點的位於 O點的北 70西

30

B

(或西 20 北),

70

60

20

西

O

45

50

C點的位於 O點的南 40西

40

45

(或西 50 南),

C

D

D點的位於 O點的東 45南

(或東南方),

本段結束

slide7

5. 範例:氣象局測出在 20 小時期間,颱風中心的位置

由恆春東南方 400 公里直線移動到恆春南15西的200公里處,

試求颱風移動的平均速度(四捨五入取整數)。

O

解:設恆春為 O,則AOB 60,

45

200

400

15

B

 4002  2002  2400200cos60

A

 2002 (4  1  2)

20023,

 2001.732 346.4

所求平均速度 = 346.4  20  17.32  17 (km / hr)。

Let’s do an exercise !

slide8

馬上練習. 一汽艇在湖上沿直線前進,有人用儀器在岸上先測得

汽艇在正前方偏左 50,距離為 200 公尺。一分鐘後,

於原地再測,知汽艇駛到正前方偏右 70,距離為 300 公尺。

那麼此汽艇在這一分鐘內行駛了多少公尺?

解:

A

B

50

70

200

300

O

slide9

6. 範例:如右圖所示,有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公里 A 處,

直朝位於港口的東方 2 公里北方 3 公里 B 處的航標駛去,

到達航標後即修正航向以便直線駛入港口。

試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度?

解:

A(27,8)

5

B(2,3)

25

F

所求為左轉 45。

3

3

25

13

2

C

E

D

O(0,0)

slide10

二、三角函數值的求法

1.查表:常用的三角函數值表最左邊一行為介於 0到 45之間的

銳角度數,由上而下遞增,由最上一列查出對應這些角的函數值;

表的右一列為介於 45到 90 之間的銳角度數,

由下而上遞增,其所對應的函數值由最下一列查出。

cos

sin

tan

1

.0175

.9998

.0175

57.29

89

.0349

.9994

.0349

28.64

2

88

.6947

1.036

46

44

.7193

.9657

.7071

1.000

.7071

1.000

45

45

cos

sin

tan

1 分再分成 60 秒,

為了使測量更精密,我們將 1 度分成 60 分,

即 1 度 = 60 分 , 1 分 = 60 秒。

以符號表示為 1 = 60' , 1' = 60" 。

To be continued  查 表

slide11

cos

sin

tan

1

.0175

.9998

.0175

57.29

89

.0349

.9994

.0349

28.64

2

88

.6947

1.036

46

44

.7193

.9657

.7071

1.000

.7071

1.000

45

45

cos

sin

tan

例如:欲查 sin44之值,得 sin440.6947。

而查 cos46之值時,亦得 cos460.6947。

發現 sin44和 cos46的值是一樣的,

因為此兩角互為餘角的關係。

欲查 sin4420'之值,得 sin4420'0.6988。

本段結束

而查 cos4540'之值時,亦得 cos4620'0.6988。

slide12

2. 範例:在與水平面成 10 的東西向山坡上,鉛直 (即與水平面垂直)

立起一根旗竿。當陽光從正西方以俯角 60 平行投射在山坡上時,

旗竿的影子長為 11 公尺,如右圖所示

(其中箭頭表示陽光投射的方向,

而粗黑線段表示旗竿的影子)。

請問旗竿的長度最接近以下哪一選項?

(1) 19.1 (2) 19.8 (3) 20.7 (4) 21.1

(5) 21.7 公尺。

C

解:

60

30

H

60

B

20

A

西

故選(3)。

10

10

slide13

3.內插法:若要查的三角函數值無法由查表求得,3.內插法:若要查的三角函數值無法由查表求得,

可仿照對數表的線性內插法來估算。

範例:(1) 利用查表,求出 sin3540與 sin3550的值。

(2) 利用(1)的結果,以內插法求sin3543的近似值。

解:(1) 查表得 sin3540 0.5831 ,

y = sinx

sin35500.5854。

B (3550, 0.5854)

P(3543 , y )

C(3543 , k )

A (3540, 0.5831)

Let’s do an exercise !

故所求 y = sin3543k

 0.5838 。

slide14

馬上練習. 利用查表與內插法,求 cos = 0.7817 的銳角 的近似值。

解:(1) 查表得 cos3830 0.7826 ,

cos3840 0.7808。

y = cosx

A(3830, 0.7826)

P(  , 0.7817)

C(  , k )

B(3840, 0.7808)

slide15

三、三角測量

1. 範例:自塔的正東方 A 點測得塔頂仰角為 30;

而在塔的東 30南 B 點測得塔頂仰角為 45。

已知 A 與 B 相距 50 公尺,求塔高。

P

解:設塔高 h,

h

ABH 中,

30

H

A

30

h

45

50

B

Let’s do an exercise !

slide16

馬上練習. 某人隔河測一山高,在 A 點觀測山時,

山的方位為東偏北 60,山頂的仰角為 45,

某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點,

山的方位變成在西偏北 60,則山有多高﹖

P

解:如圖,

PAH為等腰直角,

45

600

ABH為正,

H

60

600

600

45

60

60

A

B

600

slide17

2. 範例:小明發現正北方仰角 60處有一架飛機,

且此架飛機正保持

等速朝東方飛行,經過 10 秒後

再測得飛機的仰角只有45,問飛機的速度每秒多少公尺﹖

A

B

解:

O

D

1000

60

45

C

slide18

3. 範例:有人於山麓測得山頂的仰角為 45,

由此山麓循 30斜坡上行 200 公尺,

C

再測得山頂的仰角為 75。求山的高度。

300

100

解:

B

75

D

200

100

100

15

45

30

A

H

slide19

馬上練習. 在坐標平面的 x 軸上有 A(2 , 0),B(  4 , 0) 兩觀測站,

同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點,

測得 BAC 及 ABC 之值後,此兩個角的正切值

y

求砲臺 D 至目標 C 的距離。

C(x, y)

解:

x

C較靠近B。

O

A(2, 0)

(x,0)

B(4, 0)

slide20

4. 範例:根據氣象局發布的颱風消息,颱風目前的中心位置在鵝鑾鼻

正南方 300 公里處,以每小時 50 公里的速度朝北 30西等速直線

前進,暴風半徑為 250 公里。如果此颱風的速度方向及暴風半徑

都不變,那麼鵝鑾鼻在暴風圈內前後共計多少小時﹖

解:

C

250

O

200

150

H

250

200

300

B

300

Let’s do an exercise !

A

slide21

馬上練習. 某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動。

開始時該物位置在 P 點,一分鐘後,其位置在 Q 點,

且∠POQ=90。再過一分鐘後,該物位置在 R 點,

且∠QOR=30。請以最簡分數表示 tan2(∠OPQ)=_____。

y

解:因作等速直線運動,

R

過 R 作垂線交 x 軸於 H,

k

Q

2t

k

30

P

60

x

t

t

O

H

slide22

5. 範例:一船在湖面上直線前進,若船的行進方向與飯店不共線,

且起初測得湖邊飯店頂的仰角為 30,

前進 30 公尺後測得飯店頂的仰角為 45,

再前進 20 公尺後測得飯店頂的仰角為 60,求飯店的高度。

解:設飯店高 h,

P

A

30

h

30

H

45

B

60

20

C

slide23

6. 範例:自地面上 A、B、C 三點,分別測得空中一氣球的仰角

皆為 60。

求此氣球的高度。

解:設汽球高 h,

P

h

60

A

60

C

30

50

O

60

B

本 章 結 束

slide24

Let’s do an exercise !

總複習 第九章 結束

本段結束

To be continued  範 例

To be continued  注 意