בעיות תובלה

1. בעיות תובלה

2. בעיית תובלה - דוגמא חברת עבודות עפר מפעילה 3 מחצבות ו – 4 אתרי בניה. במחצבות A, B ו- C יש 100, 70 ו- 80 טון חצץ בהתאמה. באתרי הבניה 1, 2, 3 ו-4 צריכים 60, 40, 50 ו- 90 טון חצץ בהתאמה. עלויות ההובלה בש"ח לטון נתונות בטבלה הבאה: בכדי ליצור בעיה מאוזנת, נוסיף יעד פיקטיבי עם ביקוש של 10 טון חצץ ועלויות הובלה 0.

3. בעיית תובלה – ניסוח כללי כאשר נתון ש:

4. מציאת פתרון אפשרי – השיטה הצפון מערבית ערך פונקצית המטרה המתקבל הוא: 3240

5. מציאת פתרון אפשרי – שיטת המחיר המינימלי ערך פונקצית המטרה המתקבל הוא: 3070

6. מציאת פתרון אפשרי – שיטת הקנסות של Vogel ערך פונקצית המטרה המתקבל הוא:2830

7. בעיה דואלית לבעיית תובלה ע"י היפוך הסימן של אילוצי ההיצע מתקבלת הבעיה הדואלית הבאה: יש לשים לב שהמשתנים הדואליים מתאימים לאילוצי שוויון ולכן הם אינם מוגבלים בסימן! ניתן לפרש את המשתנים הדואליים כ"מחיר" המוצר אשר תלוי במקום המכירה. הפרש המחירים הוא לכל היותר עלות ההובלה. משתני העודף בבעיה הדואלית הם:

8. מציאת המשתנים הדואליים

9. איטרציית סימפלקס ערך פונקצית המטרה המתקבל הוא:2510

10. פתרון אופטימלי ערך פונקצית המטרה המתקבל הוא:2460

11. הערות בה"כ נניח שמוותרים על אילוץ ההיצע הראשון, ובוחרים את הערך של p1 באופן שרירותי. נתבונן בגרף הדו-צדדי על הקדקודים ui ו – vj עם צלעות [i,j]. מעגל שקול לתלות ליניארית בעמודות, לכן אינו יכול להופיע בבסיס. בכדי לקבוע את הפתרון הדואלי באופן יחיד חייב להיות מסלול בבסיס מ – u1 לכל קדקוד אחר, דהיינו הבסיס מייצג עץ פורש. כאשר מוסיפים משתנה לבסיס, דהיינו מוסיפים צלע לגרף, מתקבל מעגל יחיד. מעגל זה מייצג את הכיוון המתקבל מהוספת המשתנה לבסיס, כלומר את העמודה של המשתנה בטבלת הסימפלקס. אם הביקושים וההיצעים הם בשלמים, אזי הפתרונות הבסיסיים אף הם שלמים.