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生命科学基礎論 (第9回)

生命科学基礎論 (第9回). 阿久津　達也. 京都大学　化学研究所 バイオインフォマティクスセンター. 内容. 最尤法、ベイズ推定、 MAP 推定 隠れマルコフモデルによる推定 文脈自由文法による RNA 二次構造予測. バイオインフォマティクスにおける確率統計. 重要なのはデータからのモデル（もしくはパラメータ）の推定 最尤法 ベイズ推定 最大事後確率推定（ MAP）. 最尤推定. P ( D | θ ) （ 尤度） モデルパラメータ θ のもとでのデータ D　 の出現確率 最尤法 P ( D | θ ) を最大化する θ を選ぶ 例

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生命科学基礎論 (第9回)

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Presentation Transcript

  1. 生命科学基礎論(第9回) 阿久津　達也 京都大学　化学研究所 バイオインフォマティクスセンター

  2. 内容 • 最尤法、ベイズ推定、MAP推定 • 隠れマルコフモデルによる推定 • 文脈自由文法によるRNA二次構造予測

  3. バイオインフォマティクスにおける確率統計 • 重要なのはデータからのモデル（もしくはパラメータ）の推定 • 最尤法 • ベイズ推定 • 最大事後確率推定（MAP）

  4. 最尤推定 • P(D|θ) （尤度） • モデルパラメータ θのもとでのデータ D　の出現確率 • 最尤法 • P(D|θ)を最大化する θを選ぶ • 例 • コインを5回投げて、表が3回出た後、裏が2回出た • p(表)=a, p(裏)=1-aとするとP(D|θ)=a3(1-a)2 • a=3/5の時、 P(D|θ)は最大 • 一般に表が出る頻度を f とすると a=fで尤度は最大

  5. ベイズ推定とMAP推定 • ベイズ推定：尤度とモデル（パラメータ）の事前確率から、ベイズの定理により、事後確率を推定 • 最大事後確率（MAP）推定 • P(D|θ)P(θ)を最大化するθを計算 • P(θ)が一様分布なら最尤推定と同じ

  6. 不正サイコロのベイズ推定 • 公正サイコロと不正サイコロ • 公正：P(i|公正)=1/6 • 不正：P(6|不正)=1/2,P(i|不正)=1/10 for i≠6 • P(公正)=0.99, P(不正)=0.01 • ６が３回続けて出た場合の事後確率

  7. 隠れマルコフモデル(HMM) • HMM≒有限オートマトン＋確率 • 定義 • 出力記号集合Σ • 状態集合 　　　S={1,2,…n} • 遷移確率(k→ｌ) akl • 出力確率 ek(b) • （開始状態= 終了状態= 0)

  8. HMMにおける基本アルゴリズム • Viterbiアルゴリズム • 出力記号列から状態列を推定 • Parsing（構文解析） • Baum-Welchアルゴリズム 　　(EMアルゴリズム） • 出力記号列からパラメータを推定 • Learning（学習）

  9. 時々いかさまをするカジノ • サイコロの出目だけが観測可能、どちらのサイコロを振っているかは観測不可能 • サイコロの出目から、どちらのサイコロを振っているかを推定 • 6,2,6,6,3,6,6,6, 4,6,5,3,6,6,1,2 →不正サイコロ • 6,1,5,3,2,4,6,3, 2,2,5,4,1,6,3,4 →公正サイコロ • 6,6,3,6,5,6,6,1, 5,4,2,3,6,1,5,2 →途中で公正サイ 　　　　コロに交換

  10. Viterbi アルゴリズム(1) • 観測列（出力配列データ） x=x1…xLと状態列π=π1…πLが与えられた時、その同時確率は P(x,π)=a0 π1Πeπi (xi)aπiπi+1 但し、πL+1=0 • xが与えられた時の、最も尤もらしい状態列は π*=argmaxπ　P(x,π) • 例：どちらのサイコロがいつ使われたかを推定

  11. Viterbiアルゴリズム(2) • xから、π*=argmaxπ　P(x,π)　を計算 • そのためにはx1…xiを出力し状態kに至る確率最大の状態列の確率 vk(i) を計算 • vk(i)は以下の式に基づき動的計画法で計算

  12. Viterbiアルゴリズム(3)

  13. EM(Expectation Maximization)アルゴリズム • 「欠けているデータ」のある場合の最尤推定のための一般的アルゴリズム • 最大化は困難であるので、反復により尤度を単調増加させる（θtよりθt+1を計算） • HMMの場合、「欠けているデータ」は状態列

  14. EMアルゴリズムの導出

  15. EMアルゴリズムの一般形 • 初期パラメータΘ0を決定。t=0とする。 • Q(θ|θt)=∑P(y|x, θt) log P(x,y|θ)　を計算。 • Q(θ|θt)を最大化するθ*を計算し、 θt+1 = θ* とする。t=t+1とする。 • Qが増大しなくなるまで、２，３を繰り返す。

  16. 前向きアルゴリズム • 配列xの生成確率 P(x)=∑P(x,π) を計算 • Viterbiアルゴリズムと類似 • fk(i)=P(x1…xi,πi=k) 　をDPにより計算

  17. 後向きアルゴリズム • bk(i)= P(xi+1…xL|πi=k) 　をDPにより計算 • P(πi=k|x) = fk(i)bk(i)/P(x)

  18. HMMに対するEMアルゴリズム（Baum-Welchアルゴリズム）HMMに対するEMアルゴリズム（Baum-Welchアルゴリズム）

  19. Baum-WelchのEMによる解釈

  20. 配列アライメント • ２個もしくは３個以上の配列の類似性の判定に利用 • ２個の場合：ペアワイズアライメント • ３個以上の場合：マルチプルアライメント • 文字間の最適な対応関係を求める（最適化問題） • 配列長を同じにするように、ギャップ記号（挿入、欠失に対応）を挿入 • 入力配列が定数個（実用上は３個まで）の場合は動的計画法で多項式時間で最適解を計算可能、それ以外の場合はNP困難

  21. プロファイルHMM(1) • 配列をアライメントするためのHMM • タンパク質配列分類やドメイン予測などに有用 • 例：ドメインの種類ごとにHMMを作る • PFAM(http://pfam.wustl.edu/) • 一致状態(M)、欠失状態(D)、挿入状態(I)を持つ

  22. プロファイルHMM(2) マルチプル アラインメント プロファイル HMM

  23. 参考文献 • 参考文献 • 阿久津、浅井、矢田　訳：　バイオインフォマティクス －確率モデルによる遺伝子配列解析―、医学出版 (2000) • レポート課題のための参考WWWページ • アミノ酸配列データ取得 • ゲノムネット（http://www.genome.ad.jp/dbget/dbget.links.html） • アミノ酸配列データ: SwissProt • タンパク質立体構造データ： PDB • 構造予測 • CAFASP３参照（http://www.cs.bgu.ac.il/~dfischer/CAFASP3/） • GTOP（http://spock.genes.nig.ac.jp/~genome/gtop-j.html） • PHD（http://www.embl-heidelberg.de/predictprotein/predictprotein.html）

  24. レポート課題 • インターネット上で利用可能な立体構造予測ソフト（２次構造予測でも可）を２種類以上利用し、得られた結果について比較、考察せよ。ただし、各サーバーに負荷をかけすぎないようにテストデータ（アミノ酸配列）は３種類以下とすること。 • 提出先：１０号館事務室のレポート提出ＢＯＸ • 提出期限：６月２０日(金)

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