第四章地下水向完整井的非稳定运动

第四章地下水向完整井的非稳定运动 Distorted scale!! MULTIPLE AQUIFERS 1 肖长来, 水工203，电话88502287 吉林大学环境与资源学院 2009-11

第四章地下水向完整井的非稳定运动 • §4-1 承压含水层中的完整井流 • §4-2 有越流补给的完整井流 • §4-3 有弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流 • §4-4 潜水完整井流 • 天地不可一日无和气， • 人心不可一日无喜神。

著名科学家 Jules Dupuit (1804-1866) Oscar Edward Meinzer (1876-1948) Henry Darcy (1803-1858) Karl Terzaghi (1883-1963) Charles Edward Jacob (1914-1970) M. King Hubbert (1903-1989) Charles Vernon Theis (1900-1987) Jacob Bear

§4-1承压含水层中的完整井流 当承压含水层侧向边界离井很远，边界对研究区的水头分布没有明显影响时，可以把它看作是无外界补给的无限含水层。 4.1.1 定流量抽水时的Theis公式承压含水层中单井定流量抽水的数学模型是在下列假设条件下建立的： (1) 含水层均质各向同性，等厚，侧向无限延伸，产状水平； (2) 抽水前天然状态下水力坡度为零； (3) 完整井定流量抽水，井径无限小； (4) 含水层中水流服从Darcy定律； (5) 水头下降引起的地下水从贮存量中的释放是瞬时完成的。

The Theis solution assumes the following: • The aquifer is confined and has an "apparent" infinite extent; • The aquifer is homogeneous, isotropic, and of uniform thickness over the area influenced by pumping; • The piezometric surface was horizontal prior to pumping; • The well is fully penetrating and pumped at a constant rate; The well diameter is small, so well storage is negligible； • Water removed from storage is discharged instantaneously with a decline in head。 • Data requirements: Drawdown vs. time at an observation well Finite distance from the pumping well to observation well Pumping rate (constant)

在上述假设条件下，抽水后将形成以井轴为对称轴的下降漏斗，将坐标原点放在含水层底板抽水井的井轴处，井轴为Z轴，如图4-1所示。在上述假设条件下，抽水后将形成以井轴为对称轴的下降漏斗，将坐标原点放在含水层底板抽水井的井轴处，井轴为Z轴，如图4-1所示。图4-1 承压水完整井流

t>0，0<r>∞ (4-1) 单井定流量的承压完整井流，有如下的数学模型：式中，s=H0-H。下边研究如何求降深函数s (r, t)。为此，利用Hankel变换，将方程式(4-1)两端同乘以rJ0(βr)，并在(0,∞)内对r积分。 s(r，0)=0 0<r<∞ （4-2） s(∞，t)=0， t>0 （4-3）（4-4）第一类零阶Bsessel函数

设导压系数，则有： 方程式右端方程式左端，利用分部积分，同时注意到边界条件式（4-3）与式(4-4)，有：按Bessel函数的性质，有：

因此，有： 上述定解问题，经过Hankel变换，消去了变量r，转变为常微分方程的初值问题，即：其解为：再通过Hankel逆变换由求s，即：（4-5）

（4-6） 先计算方括号内的积分，为此设：将(4-6)式对r求导数，有：根据（4-6）式，有：

两边积分得： , 令C1=lnC ，则有：故：利用r=0时的F(r) 值，由（4-6）可以确定C值：由(4-7)式，有：把上式代入(4-5)式，有：（4-7）（4-8）

为计算方便，对（4-8）式进行变量代换，令： 同时更换积分上下限，当τ=0 时， ; 当τ=t时，y=∞ , 于是，其中， (4-9)式为无补给的承压水完整井定流量非稳定流计算公式，也就是著名的Theis公式。（4-9）（4-10）

在地下水动力学中，采用井函数W(u)代替(4-9)式中的指数在地下水动力学中，采用井函数W(u)代替(4-9)式中的指数积分式：则(4-9)式可改写成：式中，s——抽水影响范围内，任一点任一时刻的水位降深(m)； Q——抽水井的流量(m3/d, m3/h)； T——导水系数(m2/d, m2/h)； t——自抽水开始到计算时刻的时间(d, h)； r——计算点到抽水井的距离(m)； µ*——含水层的贮水系数。（4-11）

为了计算方便，通常将W(u)展开成级数形式： 并制成数值表（表4-1），只要求出u值，从表4-1中就可查出相应的W（u）值；反之亦然。

4.1.2 流量变化时的计算公式 Theis公式是在假定流量固定不变的情况下导出的。这种情况通常只有在抽水试验时才能做到。实际上，很多生产井的流量是季节性变化的。如农用井在灌溉季节抽水量大，非灌溉季节抽水量小。工业用水也有类似情况，常随需水量而变化。在这种情况下，怎样应用Theis公式? 首先需要绘出生产井的Q=f(t)关系曲线，即流量过程线。然后将流量过程线概化，用阶梯形折线代替原曲线，坐标选择如图4-2所示。概化原则是矩形面积等于曲线于横坐标所围成的面积。其中，每一个阶梯都可视为定流量，应用Theis公式。把各阶梯流量产生的降深，按叠加原理叠加起来，即得流量变化时水位降深的计算公式。当0<t<t1时，水位降深为：

图4-2 流量概化呈阶梯状变化图

当时，阶梯流量抽水的水位降深为： t时刻经历若干个阶梯流量后所产生的总水位降深为：式中，设t0=0，相应的Q0=0。 (4-12)式为流量变化时，经概化呈阶梯状变化后的计算公式。（4-12）

4.1.3 Theis公式的近似表达式 如前述，Theis公式中的井函数，可以展开成无穷级数形式，即：前三项之后的级数是一个交错级数。根据交错级数的性质可知，这个级数之和不超过u。也就是说，当u很小，井函数W(u)用级数前两项(-0.577216-lnu)代替时，其舍掉部分不超过2u。

当u ≤0.01(即 )井函数用级数前两项代替时，其相对误差不超过0.25%； • 当u≤0.05时(即 )，相对误差不超过2%； • 当u ≤0.1时（即），相对误差不超过5%。一般生产上允许相对误差在2%左右。因此，当u≤0.01或u ≤ 0.05时，井函数可用级数的前两项代替，即：

于是，Theis公式可以近似地表示为下列形式： (4-13)式称为Jacob公式(1946年)。流量阶梯状变化时，当ui≤0.01时，即 (4-12)式可近似地表示为： (4-13) (4-14)

4.1.4 对Theis公式和与之有关的几个问题的讨论 1) Theis公式反映的降深变化规律将（4-11）式改写成无量纲降深形式，即，并给出曲线[图4-3(a)]。曲线表明，同一时刻随径向距离r增大，降深s变小，当r→∞时，s→0，这一点符合假设条件。同一断面(即r固定)，s随t的增大而增大，当t=0时，s=0，符合实际情况。当t→∞时，实际上s不能趋向无穷大。因此，降落漏斗随时间的延长，逐渐向远处扩展。这种永不稳定的规律是符和实际的，恰好反映了抽水时在没有外界补给而完全消耗贮存量时的典型动态.图4-3反映了上述结论。

从（4-11）或（4-13）式还可以看出：同一时刻的径向距离r相同的地点，降深相同。这说明抽水后形成的等水头线(s=常数)是一些同心圆，圆心在井轴。当u≤0.05时,可直接由(4-13)式导出描述它们的方程式为：从（4-11）或（4-13）式还可以看出：同一时刻的径向距离r相同的地点，降深相同。这说明抽水后形成的等水头线(s=常数)是一些同心圆，圆心在井轴。当u≤0.05时,可直接由(4-13)式导出描述它们的方程式为：图4-3 （a）曲线；（b）承压含水层中的降深s（r，t） (4-15)

2) Theis公式反映的水头下降速度的变化规律 将(4-9)式对t求导数，得：式(4-16)表明，抽水初期随着r的增大，值减小。因此，近处水头下降速度大，远处下降速度小。当 r 一定时，(4-16)式又表明，不同时刻的水头下降速度，由于和两个因素起着增、减两个方向相反的作用，所以不是t 的单调函数； s-t曲线(图4-3b)不能沿着同一斜率变化，存在着拐点。可以利用，找出拐点的位置。为此有： (4-16)

所以拐点出现的时间(此时u=1)为：图4-3的曲线也反映了上述结论，即每个断面的水头下降速度初期由小逐渐增大，当 1/u =1时达到最大；而后下降速度由大变小，最后趋近于等速下降。式(4-17)还表明不同断面拐点出现的时间ti不同。将 (4-17)式代入(4-11)式，得拐点处降深si为：（4-17）（4-18）

式(4-18)还反映出拐点处降深与r无关。说明任一断面都式(4-18)还反映出拐点处降深与r无关。说明任一断面都经历着一个相同的过程，当s=si 时，出现最大下降速度,即：当抽水时间足够长时， (4-16)式变为：上式意味着：t足够大时，在抽水井一定范围内，下降基本上是相同的，与r无关。换言之，经过一定时间抽水后，下降速度变慢，在一定范围内产生大致等幅的下降。（4-19）

3) Theis公式反映出的流量和渗流速度变化规律 将(4-9)式对r求导数，得：又根据Darcy定律，可些导出r处过水断面的流量为：将(4-20)式代入上式，得：（4-20）（4-21）

因为恒取正值，所以 ，因而Qr<Q，当r →0时，Qr→Q 。式（4-21）说明，通过不同过水断面的流量是不等的，r值越小，即离抽水井越近的过水断面，流量越大。这一点是和稳定流理论无垂向水量交换条件下通过任何断面的流量都是相等的结论不同。它反映了地下水在流向抽水井的过程中，不断得到贮存量的补给。当抽水延续时间t大到一定程度以后则Qr≈Q。换言之，这时在该断面范围内释放出的水量（ Q-Qr）就微不足道了。由（4-20）式还可知，水井抽水时地下水渗流速度为：

式中负号表示速度与r的正方向相反。式中 为抽水达到稳定时的渗流速度。由于沿途含水层的释放作用，使得渗流速度小于稳定状态的渗流速度。但随着时间的增加，逐渐趋于1，又接近稳定渗流速度。当 =0.01时，与稳定流速相差只有1%了。这时可以认为达到相对稳定（似稳定）。在距离r处，似稳定出现的时间为：

4) 关于“影响半径”的问题 Theis公式本身不包含“影响半径”的概念。因此，理论上讲，在无限延伸的无越流补给的承压含水层中是不存在“影响半径”的。但把（4-13）式稍加改变，即可改写为：和Dupuit公式比较，有人定义影响半径为：它能近似地说明某一时刻的相对影响范围。

（4-22） 实际上，由（4-21）式可以得到：若a=0.1，；若a=0.05，若a=0.01，；若a=0.005, 若a=0.001，则。 R的扩展速度为：

经过长时间抽水后 ，由（4-13）式可得某一时刻离井r1和r2两点的降深分别为： • 两式相减得： • 上式和稳定流的Thiem公式(3-6)完全相同。取 r1=rw，r2=r，则可得(3-5)式。

上式说明，在无越流补给且侧向无限延伸的承压含水层中抽水时，理论上不可能出现稳定状态。上式说明，在无越流补给且侧向无限延伸的承压含水层中抽水时，理论上不可能出现稳定状态。 • 但随着抽水时间的增加，降落漏斗范围不断向外扩展，自含水层四周向水井汇流的面积不断增大，水井附近地下水测压水头的变化渐渐趋于缓慢，在一定的范围内，接近稳定状态(似稳定流)，和稳定流的降落曲线形状相同。 • 要注意，这不能说明地下水头降落以达稳定。

5) 关于假设井径rw→0和天然水力坡度为零的问题要求rw→0是为了不必考虑井筒中的水量，可以把井当作汇点或源点来处理。实际上，井径rw总是个有限值。这样一个假设条件对Theis公式的应用有什么限制? 由(4-20)式可以直接看出，在边界条件式（4-4）中使用这个假设，是为了使即，我们知道e-0.01=0.99，可近似地等于1，误差不超过1%，所以只要

上述假设所引起的误差不超过1%。实际上，要满足上述要求并不困难，在抽水早期就能满足。上述假设所引起的误差不超过1%。实际上，要满足上述要求并不困难，在抽水早期就能满足。在推导Theis公式的过程中，假设初始的承压水头面是水平的，这一假设是否会影响公式的使用? 从实际资料看来，承压水头面一般坡度很小，尤其在平原区，通常为千分之几到万分之几。从实用观点看来，这种假设不影响Theis公式的实际使用。

第四章 地下水向完整井的非稳定运动