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Tema 2. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL b) La formalización del lenguaje natural

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Tema 2. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL b) La formalización del lenguaje natural. Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0. (i) Identificar los enunciados simples (ii) Asignar a cada enunciado simple una constante proposicional

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tema 2 el lenguaje de la l gica proposicional b la formalizaci n del lenguaje natural

Tema 2. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONALb) La formalización del lenguaje natural

c mo formalizar el lenguaje natural en l 0
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0
  • (i) Identificar los enunciados simples
  • (ii) Asignar a cada enunciado simple una constante proposicional
  • (iii) Identificar las partículas lógicas: negación, condicional, disyunción, etc
  • (iv) Reconstruir los enunciados complejos a partir de los simples y las partículas lógicas
algunas formalizaciones sencillas
Algunas formalizaciones sencillas

-Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas

Hume canta  p

Kant baila  q

Hegel da palmas  r

p  q  r

algunas formalizaciones sencillas1
Algunas formalizaciones sencillas

-Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas

Hume canta  p

Kant baila  q

Hegel da palmas  r

p  q  r

algunas formalizaciones sencillas2
Algunas formalizaciones sencillas

-Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas

Hume canta  p

Kant baila  q

Hegel da palmas  r

p  (q  r)

algunas formalizaciones sencillas3
Algunas formalizaciones sencillas

-Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas

Hume canta  p

Kant baila  q

Hegel da palmas  r

(p  q)  r

algunas formalizaciones sencillas4
Algunas formalizaciones sencillas

-Si Hume canta, Kant baila

Hume canta  p

Kant baila  q

Hegel da palmas  r

p  q

algunas formalizaciones sencillas5
Algunas formalizaciones sencillas

-Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas

Hume canta  p

Kant baila  q

Hegel da palmas  r

(p q)  r

algunas formalizaciones sencillas6
Algunas formalizaciones sencillas

-Hume canta, y, si Kant baila, Hegel da palmas

Hume canta  p

Kant baila  q

Hegel da palmas  r

p  (q  r)

algunas formalizaciones sencillas7
Algunas formalizaciones sencillas

-Hume canta si y sólo si Hegel da palmas

Hume canta  p

Kant baila  q

Hegel da palmas  r

p  r

algunas formalizaciones sencillas8
Algunas formalizaciones sencillas

-Hume no canta si y sólo si Hegel no da palmas

Hume canta  p

Kant baila  q

Hegel da palmas  r

¬p  ¬r

algunas formalizaciones sencillas9
Algunas formalizaciones sencillas

- Si Hume canta, entonces Kant baila si Hegel no da palmas

Hume canta  p

Kant baila  q

Hegel da palmas  r

p  (¬r  q)

algunas formalizaciones sencillas10
Algunas formalizaciones sencillas

- Hume canta, si y sólo si Kant no baila si Hegel da palmas

Hume canta  p

Kant baila  q

Hegel da palmas  r

p  (r  ¬q)

c mo formalizar el lenguaje natural en l 01
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0
  • (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

Sólo formalizamos las oraciones declarativas, las que afirman o niegan algo:

Kant baila

Hume no canta demasiado bien

Hegel cree que dar palmas es la principal tarea de un filósofo que se precie de serlo

pero no

¿Bailaría Kant con Heidegger?

¡Hume, arráncate por soleare!

c mo formalizar el lenguaje natural en l 02
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

Con frecuencia hay que considerar idénticas a oraciones con distinto tiempo verbal:

Kant baila  Kant bailará  Kant bailaría

Kant ama a Hume  Hume es amado por Kant

c mo formalizar el lenguaje natural en l 03
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

  • Hay que completar aquello que está elíptico, PERO NO MÁS

Kant baila y silba  Kant baila y Kant silba

PERO:

Kant tiene un loro ≠ Kant tiene un ave

c mo formalizar el lenguaje natural en l 04
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

  • Hay que fijarse en qué palabras se refieren al mismo objeto, como los pronombres:

Hume nació en Escocia. Si él nació allí, no nació en Lanjarón.

Aquí sólo hay 2 proposiciones:

p  Hume nació en Escocia

q  Hume nació en Lanjarón

c mo formalizar el lenguaje natural en l 05
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

  • A veces hay que desechar ciertos elementos irrelevantes, como los adverbios:

1. Hegel discute acaloradamente. Si Hegel discute, le sube la tensión

Aquí sólo cuentan 2 proposiciones:

p  Hegel discute

q  a Hegel le sube la tensión

c mo formalizar el lenguaje natural en l 06
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

  • Pero contrástese con la siguiente:

2. Hegel discute. Si Hegel discute acaloradamente, le sube la tensión

Aquí podría ser razonable contar 3 proposiciones:

p  Hegel discute

q  Hegel discute acaloradamente

r  a Hegel le sube la tensión

c mo formalizar el lenguaje natural en l 07
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

1. Hegel discute acaloradamente. Si Hegel discute, le sube la tensión

2. Hegel discute. Si Hegel discute acaloradamente, le sube la tensión

La razón es que del argumento 1 parece seguirse que a Hegel le sube la tensión, mientras que del argumento 2 no parece seguirse.

En general no tomaremos en cuenta detalles de este tipo

c mo formalizar el lenguaje natural en l 08
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

Otros casos problemáticos:

  • Hume es inocente. Si no es culpable, debe ser absuelto

¿Cuántas proposiciones hay aquí?

Presumiblemente, sólo 2:

p  Hume es inocente

q  Hume debe ser absuelto

Hume es inocente  Hume no es culpable

En general asumimos que inocente es lo contrario de culpable

c mo formalizar el lenguaje natural en l 09
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

Pero hay que tener cuidado:

  • Hume es escocés. Si no es británico, le gusta la rumba

¿Cuántas proposiciones hay aquí?

En este caso hay 3:

p  Hume es escocés

q  Hume es británico

r  a Hume le gusta la rumba

Hume es escocés ≠ Hume no es británico

c mo formalizar el lenguaje natural en l 010
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas

  • Las cinco partículas NO, Y, O, SI, SI Y SÓLO SI son las más evidentes.
  • Pero hay expresiones del lenguaje natural que cumplen la misma función lógica, aunque no tengan la misma función pragmática.
  • Cuando una expresión tenga la misma función lógica que una de esas 5 partículas, la formalizamos usando la misma conectiva.
c mo formalizar el lenguaje natural en l 011
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas

Expresiones equivalentes a Y

Peano habla Y Quine duerme

Peano habla, PERO Quine duerme

Peano habla AUNQUE Quine duerme

Peano habla, SIN EMBARGO, Quine duerme

Peano habla, Quine duerme

A PESAR DE QUE Peano habla, Quine duerme

p  q

c mo formalizar el lenguaje natural en l 012
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas

Expresiones equivalentes a O

Peano habla O Quine duerme

Peano habla, A MENOS QUE Quine duerma

p  q

c mo formalizar el lenguaje natural en l 013
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas

Expresiones equivalentes a NO

Peano NO habla

NO ES EL CASO QUE Peano hable

NO OCURRE QUE Peano hable

NO ES CIERTO QUE Peano habla

¬p

c mo formalizar el lenguaje natural en l 014
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas

Expresiones equivalentes a SI…(ENTONCES)

SI Peano habla, (ENTONCES) Quine duerme

CUANDO Peano habla, Quine duerme

Que Peano hable ES SUFICIENTE PARA que Quine duerma

Que Peano hable IMPLICA QUE Quine duerma

SIEMPRE QUE Peano habla, Quine duerme

Quine duerme, SI Peano habla

Quine duerme EN CASO DE QUE Peano hable

Quine duerme SUPUESTO QUE Peano hable

p  q

c mo formalizar el lenguaje natural en l 015
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

NECESARIO / SUFICIENTE

Compara 2 universidades:

U1: Es suficiente sacar un 9 para tener Matrícula

U2: Es necesario sacar un 9 para tener Matrícula

Si sueles sacar 9 y te interesa tener Matrículas,

¿qué universidad te lo pone más fácil?

¡La U1! SI sacas un 9, tienes Matrícula. En la U2 sacar 9 no implica tener Matrícula.

En la U2 ocurre que SI NO sacas 9, NO tienes MH. Por tanto, SI tienes MH, es que tienes un 9

c mo formalizar el lenguaje natural en l 016
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

Por tanto, si nos encontramos:

 es suficiente para ß

 es necesario para ß

 ß

ß 

¬   ¬ß

c mo formalizar el lenguaje natural en l 017
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0
  • Caso peculiar (i): SÓLO SI
  • Me mareo si voy en coche
  • Me mareo sólo si voy en coche

¿dicen lo mismo 1 y 2?

  • Me mareo si voy en bus

la oración 3 ¿contradice a 1, a 2, a ambas, a ninguna?

Contradice a 2, pero no a 1.

1 y 3 son compatibles (o consistentes): las dos pueden ser verdaderas a la vez.

Pero 2 y 3 son incompatibles (o contradictorias): las dos no pueden ser verdaderas a la vez.

c mo formalizar el lenguaje natural en l 018
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0
  • Caso peculiar (i): SÓLO SI
  • Me mareo si voy en coche
  • Me mareo sólo si voy en coche

¿dicen lo mismo 1 y 2?

1 y 2 no dicen lo mismo:

En 1, que vaya en coche es condición suficiente para que me maree (pero puedo marearme por más razones)

me mareo  p voy en coche  q (1)  (q  p)

En 2 que vaya en coche es condición necesaria para que me maree (si no voy en coche no me mareo)

me mareo  p voy en coche  q (2)  (p  q)

c mo formalizar el lenguaje natural en l 019
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0
  • Caso peculiar (ii): IMPERATIVO + y

“Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo”

¿cuál es su forma lógica?

  • Intento #1: desechamos el imperativo

levantar el mundo  p

formalización: p

Pero ¿se limita Arquímedes a afirmar que va a levantar el mundo?

c mo formalizar el lenguaje natural en l 020
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0
  • Caso peculiar (ii): IMPERATIVO + y

“Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo”

¿cuál es su forma lógica?

  • Intento #2: interpretamos la ‘y’ como conyuntor

dar un punto de apoyo  p levantar el mundo  q

formalización: p  q

Pero ¿afirma entonces Arquímedes que le damos un punto de apoyo?

c mo formalizar el lenguaje natural en l 021
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0
  • Caso peculiar (ii): IMPERATIVO + y

“Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo”

¿cuál es su forma lógica?

  • Intento #3: sospechamos que no todo es lo que parece

Arquímedes está estableciendo una condición: SI le damos un punto de apoyo, él levanta el mundo

dar un punto de apoyo  p levantar el mundo  q

formalización correcta: p  q !!

c mo formalizar el lenguaje natural en l 022
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0
  • Caso peculiar (iii): IMPERATIVO + o

1. “Dame un vaso de agua o me muero”

2. “Dame un vaso de agua o una gaseosa”

¿tienen la misma forma lógica?

  • NO.
  • establece una condición que, caso de no cumplirse, acarrea una consecuencia: “si no me das un vaso de agua, me muero”: ¬p  q
  • es una disyunción de dos imperativos, y no se puede formalizar
c mo formalizar el lenguaje natural en l 023
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas

Expresiones equivalentes a SI Y SÓLO SI

Peano habla SI Y SÓLO SI Quine duerme

Peano habla CUANDO Y SÓLO CUANDO Quine duerme

Que Peano hable EQUIVALE A que Quine duerma

Que Peano hable ES NECESARIO Y SUFICIENTE PARA que Quine duerma

Peano habla, EN EL CASO, Y SÓLO EN EL CASO, DE QUE Quine duerma

p  q

c mo formalizar el lenguaje natural en l 024

p  q

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas

Formalizaciones equivalentes:

1. Iré al cine o al teatro

2. Iré al cine a menos que vaya al teatro

Hemos visto que estas dos expresiones se formalizan igual

c mo formalizar el lenguaje natural en l 025

¬q  p

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas

Formalizaciones equivalentes:

2. Iré al cine a menos que vaya al teatro

3. Si no voy al teatro, voy al cine

Pero cabe pensar que 2 viene a decir lo mismo que 3

c mo formalizar el lenguaje natural en l 026

¬p q

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas

Formalizaciones equivalentes:

2. Iré al cine a menos que vaya al teatro

4. Si no voy al cine, voy al teatro

Y también puede parecernos que 2 viene a decir lo mismo que 4

c mo formalizar el lenguaje natural en l 027
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas

Formalizaciones equivalentes:

1. Iré al cine o al teatro

2. Iré al cine a menos que vaya al teatro

3. Si no voy al teatro, voy al cine

4. Si no voy al cine, voy al teatro

p  q

¬q  p

¬p q

Veremos que en el fondo todas son lógicamente equivalentes

c mo formalizar el lenguaje natural en l 028
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

Otras expresiones:

NI  NI ß es lo mismo que NO  Y NO ß

“Ni tomo leche ni tomo harina”

p  tomar leche q  tomar harina

¬p  ¬q

“No tomo leche y harina”

La idea es que no los tomo conjuntamente

¬(p  q)

OJO! ¬p  ¬q NO EQUIVALE a ¬(p  q)

c mo formalizar el lenguaje natural en l 029
Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iv) Reconstruir los enunciados complejos

  • Lo fundamental en los casos que plantean “dudas razonables” es aplicar el sentido común y mantener un CRITERIO HOMOGÉNEO.
  • Hay que tener mucho cuidado en no añadir nada que no venga realmente dado en la oración
  • La lógica proposicional no permite muchas florituras: lo fundamental es mantener la forma lógica con las conectivas y evitar ambigüedades
  • La formalización tiene un poco de arte y, como tal, requiere práctica.
ejercicios de formalizaci n en l 0
Ejercicios de formalización en L0
  • Cuando el ventero está en la puerta, el diablo está en la venta, pero cuando no está en la puerta, el diablo sigue estando en la venta

p  el ventero está en la puerta

q  el diablo está en la venta

(p  q)  (¬p  q)

ejercicios de formalizaci n en l 01
Ejercicios de formalización en L0
  • Supongamos que una figura sólo puede ser cuadrada o triangular, pequeña o grande, y roja o azul. Interpretemos las expresiones del tipo ‘X es un cuadrado azul’ como ‘X es un cuadrado’ y ‘X es azul’.

p  es pequeña q  es cuadrada

r  es roja s  es grande

t  es triangular u  es azul

ejercicios de formalizaci n en l 02
Ejercicios de formalización en L0
  • Si es grande, también es azul; es un triángulo azul o es roja y pequeña; si es roja, no es un cuadrado pequeño; si es triángulo, es rojo y pequeño.

p  es pequeña q  es cuadrada r  es roja

s  es grande t  es triangular u  es azul

(s  u) ; (t  u)  (r  p) ; r  ¬(q  p) ; t  (r p)

Obsérvese que podemos sustituir los ; por conyuntores y obtener así una sola fórmula compleja:

(s  u)  [(t  u)  (r  p)]  [r  ¬(q  p)]  [t  (r p)]

ejercicios de formalizaci n en l 03
Ejercicios de formalización en L0
  • Si es un cuadrado pequeño, es rojo; ni es un cuadrado grande ni es un cuadrado rojo; es un triángulo sólo si es rojo

p  es pequeña q  es cuadrada r  es roja

s  es grande t  es triangular u  es azul

[(q  p) r]  [¬(q  s)  ¬(q  r)]  (t  r)

ejercicios de formalizaci n en l 04
Ejercicios de formalización en L0
  • No es un cuadrado grande; no es un triángulo azul; es roja si y sólo si es pequeña

p  es pequeña q  es cuadrada r  es roja

s  es grande t  es triangular u  es azul

¬(q  s) ¬(t  u)  (r  p)

ejercicios de formalizaci n en l 05
Ejercicios de formalización en L0
  • Si es un cuadrado o es roja, es grande; es grande si y sólo si es azul; sólo es un cuadrado si es roja

p  es pequeña q  es cuadrada r  es roja

s  es grande t  es triangular u  es azul

[(q  r)  s] (s  u)  (q  r)

ejercicios de formalizaci n en l 06
Ejercicios de formalización en L0
  • Aprobaré lógica, si Dios quiere. Aprobaré lógica si y sólo si estudio y hago todos los ejercicios. Sin embargo, no he hecho los ejercicios. Por tanto, Dios no quiere que apruebe lógica.

p  apruebo lógica q  D quiere que apruebe

r  estudio s  hago los ejercicios

¿hay algún modo de marcar la diferencia de ese ‘por tanto’?

SÍ: es la conclusión de un argumento. Vamos a marcarla con el símbolo 

(q  p)  [p  (r  s)]  s

 ¬q

ejercicios de formalizaci n en l 07
Ejercicios de formalización en L0

Si la señora White lo hizo, lo hizo con la llave inglesa o con la cuerda. Pero lo hizo con la cuerda si y sólo si el asesinato se cometió en el vestíbulo. El asesinato se cometió en la cocina. Por lo tanto, si la señora White lo hizo, lo hizo con la llave inglesa.

p  W lo hizo q  W lo hizo con llave r  W lo hizo con cuerda s  asesinato en vestíbulo t  asesinato en cocina

[p  (q  r)]  (r  s)  t

 (p q)

ejercicios de formalizaci n en l 08
Ejercicios de formalización en L0

Una condición necesaria para que la humanidad sea libre es que los seres humanos no estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los humanos, entonces estamos ligados a una esencia. Claramente, los humanos somos libres. Por tanto, Dios no creó a los humanos.

p  humanos son libres q  humanos ligados a esencia

r  D crea humanos

(p  ¬q)  (r  q)  p

 ¬r

ejercicios de formalizaci n en l 09

(¬q ¬p)  (¬r  ¬q)  (¬s  ¬r)

 (p  s)

(p q)  (q  r)  (r  s)

 (p  s)

Ejercicios de formalización en L0

No hay vida en Marte a menos que haya oxígeno allí, y no hay oxígeno allí a menos que haya allí alguna planta, y no hay plantas allí a menos que haya agua. Por tanto, si hay vida en Marte, allí hay agua.

p  hay vida en M q  hay O2 en M r  hay plantas en M

s  hay agua en M

(¬p  q)  (¬q  r)  ( ¬r  s)

 (p  s)