Κυψελωτά αυτόματα και το παιχνίδι της ζωής

1. Κυψελωτά αυτόματα και το παιχνίδι της ζωής Κυψελωτό αυτόματο τύπου 110 Γεροχρήστος Γιάννης ΑΕΜ:2041 gerochri@csd.auth.gr

2. Κυψελωτά Αυτόματα (ορισμός) • Ένα κυψελωτό αυτόματο είναι ένα διακριτό μοντέλο υπολογισμού • Χρήσιμο στη Θεωρία Υπολογισμού, στα Μαθηματικά, στη Φυσική, στη Θεωρητική Βιολογία και στη Θεωρία Πολυπλοκότητας • Αποτελείται από ένα κανονικό “πλέγμα” (grid) κελιών, καθένα εκ των οποίων έχει έναν πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων (π.χ. μαύρο ή άσπρο). • Το “πλέγμα” μπορεί να είναι σε οποιονδήποτε αριθμό πεπερασμένων καταστάσεων (συνήθως 2 ή 3) • Για κάθε κελί, ένα σύνολο κελιών ορίζεται ως η γειτονιά του. • Επιλέγεται μια αρχική κατάσταση (t= 0), δίνοντας μια αρχική τιμή σε κάθε κελί. • Μια νέα γενιά παράγεται (αυξάνοντας τον διακριτό χρόνο t κατά 1), με βάση κάποιους συγκεκριμένους κανόνες (συνήθως κάποια μαθηματική εξίσωση) που καθορίζει τη νέα κατάσταση κάθε κελιού. • Η νέα κατάσταση είναι συνάρτηση της κατάστασης του τρέχοντος κελιού σε συνδυασμό με αυτή των γειτόνων του. • Συνήθως, ο κανόνας της ανανέωσης της κατάστασης των κελιών είναι ίδια για κάθε κελί, δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου και εφαρμόζεται σε όλο το πλέγμα ταυτόχρονα.

3. Επίσημος (πιο μαθηματικός!) ορισμός ενός Κυψελωτού Αυτομάτου Ένα d-διάστατο Κ.Α. Α είναι μια 4-άδα (Ζd, Σ, N, δ) όπου: • Ζδ, είναι η περιγραφή του χώρου που ορίζει το “πλέγμα” του αυτομάτου • Σ, είναι ένα πεπερασμένο σύνολο των πιθανών καταστάσεων των κελιών • Ν, είναι ένα ταξινομημένο υποσύνολο μεγέθους Ζd, που ονομάζεται γειτονιά του Κ.Α. Α. Για ένα κελί x Ζd, η γειτονιά του x ορίζονται να είναι τα κελιά στις θέσεις x + rj, για I = 0, 1,…, n, όπου rjείναι ένα διάνυσμα στον d-διάστατο χώρο (I = 0 αναπαριστά το ίδιο το κελί x). • δ: Σn+1Σ είναι μια συνάρτηση που ονομάζεται συνάρτηση μετάβασης του Α.

4. Κώδικας για 2-d Κυψελωτό Αυτόματο

5. Παράδειγμα! (1/7) Η πάνω σειρά σε κάθε κουτάκι δίνει κάθε φορά έναν από τους πιθανούς συνδυασμούς χρωμάτων για κάθε κελί και για τους άμεσους γείτονές του (το αριστερό και δεξί κελί). Η κάτω σειρά καθορίζει τι χρώμα πρέπει να έχει το κεντρικό κελί στο επόμενο βήμα σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις.

6. Παράδειγμα! (2/7) Βήμα 1 (αρχική κατάσταση)

7. Παράδειγμα! (3/7) Βήμα 2:

8. Παράδειγμα! (4/7) Βήμα 3:

9. Παράδειγμα! (5/7) Βήμα 4:

10. Παράδειγμα! (6/7) Βήμα 5:

11. Παράδειγμα! (7/7) Στο βήμα 10:

12. Άλλο παράδειγμα (συνέχεια) Ο κανόνας του συγκεκριμένου κυψελωτού αυτομάτου είναι ο εξής: Ένα συγκεκριμένο κελί γίνεται μαύρο αν οποιοσδήποτε από τους 2 γείτονες του ήταν μαύρος στο προηγούμενο βήμα, ενώ γίνεται λευκό αν και οι 2 γείτονές του ήταν λευκοί. Ξεκινώντας από ένα μοναδικό μαύρο κελί, προκύπτει το παραπάνω μοτίβο, που παραπέμπει σε σκακιέρα.

13. Άλλο παράδειγμα Αρχικές συνθήκες:

14. Αυτόματο κανόνα 90 Ένα κυψελωτό αυτόματο που παράγει ένα πολύπλοκο εμφωλευμένο (nested) μοτίβο. Ο κανόνας εδώ είναι ο εξής: Ένα κελί πρέπει να γίνει μαύρο αν οποιοσδήποτε από τους 2 γείτονές του στο προηγούμενο βήμα, αλλά όχι και οι 2, ήταν μαύροι. Ο κανόνας μπορεί να περιγραφεί και από τον τύπο: αι΄ = Mod [ai-1 + ai+1 ,2].

15. Αυτόματο κανόνα 30 Ένα κυψελωτό αυτόματο με έναν απλό κανόνα παραγωγής κελιών, που μοιάζει σε μεγάλο βαθμό τυχαίο. Το παραγόμενο μοτίβο έχει μεγάλη πολυπλοκότητα και δεν επιδεικνύει σχεδόν καμία κανονικότητα.

16. Κωδικοποίηση Κ.Α. κατά Wolfram Η κωδικοποίηση κατά Wolfram αποδίδει σε κάθε κανόνα ένα νούμερό: στα μαύρα κελιά αποδίδει το 1, ενώ στα λευκά το 0. Ο παρακάτω κανόνας μπορεί λοιπόν να διαβαστεί σαν ένας δυαδικός αριθμός (01011010). Ο ισοδύναμος δεκαδικός του είναι ο 90. Άρα μιλάμε για το Κ.Α. τύπου 90. 0 1 0 1 1 0 1 0 Εφόσον μιλάμε για μονοδιάστατα Κ.Α. και λαμβάνουμε υπόψη μόνο 2 γείτονές τους, υπάρχουν 8 δυνατοί γείτονες που πρέπει να αναπαρασταθούν από 0 και 1, δίνοντας ένα σύνολο από 28= 256 δυνατούς κανόνες. Ξεκινώντας από τυχαίες αρχικές συνθήκες, ο Wolfram ερεύνησε την συμπεριφορά κάθε κανόνα σε πολλές εξομοιώσεις. Ως αποτέλεσμα, κατηγοριοποίησε την ποιοτική συμπεριφορά κάθε κανόνα σε 4 διακριτές κλάσεις.

17. Ταξινόμηση Κυψελωτών Αυτομάτων κατά Wolfram O Wolfram, στο βιβλίο του “A new Kind of Science”, πρότεινε την κατηγοριοποίηση των Κ.Α. σε 4 κατηγορίες ανάλογα με την συμπεριφορά που επιδεικνύουν.

18. Τάξη 1 Κανόνες που οδηγούν σε ομογενείς καταστάσεις, όπου όλα τα κελιά καταλήγουν να έχουν την ίδια τιμή

19. Τάξη 2 Κανόνες που οδηγούν σε σταθερές δομές ή σε απλά περιοδικά μοτίβα

20. Τάξη 3 Κανόνες που οδηγούν σε φαινομενικώς χαοτική, μη-περιοδική συμπεριφορά

21. Τάξη 4 Κανόνες που οδηγούν σε περίπλοκη συμπεριφορά και σε δομές που πολλαπλασιάζονται τοπικά στο πλέγμα

22. Συνοπτικά για τις τάξεις ταξινόμησης • Τα Κ.Α. της 1ης τάξης περιλαμβάνουν κανόνες οι οποίοι οδηγούν σε ομοιόμορφες κατανομές. • Οι κανόνες της 2ηςτάξης παράγουν ένα καθολικό τελικό μοτίβο, ή μια εναλλαγή ανάμεσα σε τελικά μοτίβα, ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες. • Τα αποτελέσματα που παράγονται από τα μέλη της 3ης κλάσης μπορεί να μοιάζουν τυχαία, αλλά παρόλα αυτά είναι πιθανό να υπάρχουνε κάποια μοτίβα και δομές. • Τα Κ.Α. της 4ης τάξης ήταν αυτά που προσέλκυσαν το ενδιαφέρον του Wolfram. Αν παρατηρήσουμε προσεκτικά κάποιο Κ.Α. αυτής της κλάσης, μπορούμε να δούμε κάποια κανονικά μοτίβα, σε συνδυασμό με χαοτική συμπεριφορά

23. Παρατηρήσεις για τα Κ.Α. 4ης τάξης • Η μη-προβλεψιμότητα που παρατηρούμε στη συμπεριφορά των Κ.Α. της 4ης τάξης, οδήγησε στα εξής συμπεράσματα: • Σύμφωνα και με το Πρόβλημα Τερματισμού (Halting Problem) , ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό του Καθολικού Υπολογισμού είναι ότι κανείς δε μπορεί να προβλέψει αν ένας υπολογισμός θα τερματίσει κάποτε, με δεδομένη μια αρχική είσοδο. Αυτό οδήγησε τον Wolfram στην εικασία, πως τα Κ.Α. 4ης τάξης ήταν (τα μοναδικά) ικανά για καθολικούς υπολογισμούς. Με κατάλληλες μετατροπές, ένα καθολικό αυτόματο 4ης τάξης μπορεί στην πράξη να εκτελέσει οποιονδήποτε υπολογισμό, δηλαδή να εξομοιώσει μια καθολική Μηχανή Turing. • Ως αποτέλεσμα των παραπάνω, συμπεραίνουμε πως είναι χαρακτηριστικό των Κ.Α. 4ης κλάσης να μπορούν, με κατάλληλες αρχικές συνθήκες, να μιμηθούν την συμπεριφορά όλων των άλλων συστημάτων. Καταλήγουμε δηλαδή σε συστήματα, τα οποία αν και οι κανόνες οι οποίοι τα δημιουργούν είναι πολύ απλοί, εμφανίζουν μια πολυ-σύνθετη και πολύπλοκη συμπεριφορά.

24. Τυπικό παράδειγμα συμπεριφοράς του Κ.Α. κανόνα 110 με τυχαίες αρχικές συνθήκες

25. Το παιχνίδι της ζωής (The Game of Life) • Πρόκειται για ένα δισδιάστατο Κ.Α. • Κάθε κελί έχει 2 πιθανές καταστάσεις (άσπρο ή μαύρο). • Οι κανόνες είναι οι ακόλουθοι:

26. The Game of Life (Κανόνες) • Κανόνας Γέννησης: ένα νεκρό κελί με ακριβώς 3 γείτονες έρχεται στη ζωή. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση παραμένει νεκρό. • Κανόνας Επιβίωσης: ένα ζωντανό κελί με δύο ή τρεις ζωντανούς γείτονες, παραμένει ζωντανό. • Κανόνας Θανάτου: ένα ζωντανό κελί με τέσσερις ή περισσότερους ζωντανούς γείτονες πεθαίνει από υπερπληθυσμό. Ένα ζωντανό κελί με το πολύ έναν ζωντανό γείτονα πεθαίνει από μοναξία.

27. Παραδείγματα κατανόησης (1/3) Η γειτονιά του κάτω γκρι κελιού αποτελείται από 4 ζωντανούς γείτονες, οπότε θα πεθάνει στην επόμενη γενιά. Η γειτονιά του πάνω γκρι κελιού αποτελείται από 3 ζωντανά κελιά, οπότε εκεί θα γεννηθεί ένα ζωντανό κελί στην επόμενη γενιά.

28. Παράδειγμα κατανόησης (2/3) Η γειτονιά του γκρι κελιού αποτελείται από 2 ζωντανά κελιά, οπότε θα παραμείνει ζωντανό στην επόμενη γενιά.

29. Παράδειγμα κατανόησης (3/3) Η γειτονιά του γκρι κελιού αποτελείται από 3 ζωντανά κελιά, οπότε θα παραμείνει ζωντανό στην επόμενη γενιά.

30. Αρχικές συνθήκες που οδηγούν σε ενδιαφέρουσα συμπεριφορά Μπορούμε να μαντέψουμε την συμπεριφορά τους;

31. Σκοποί του Παιχνιδιού της Ζωής Ο σκοπός του Conway ήταν να βρει απλούς κανόνες για Κ.Α. με τις παρακάτω ιδιότητες: • Δε θα υπάρχουν αρχικές συνθήκες για τις οποίες θα είναι εύκολο να αποδειχτεί πως ο πληθυσμός των ζωντανών κελιών θα μεγαλώνει απεριόριστα. • Θα υπάρχουν αρχικές συνθήκες για τις οποίες θα φαίνεται πως ο πληθυσμός των ζωντανών κελιών μεγαλώνει δίχως όρια. • Μερικές αρχικές συνθήκες θα αλλάζουν κατά τη διάρκεια πολλών γενεών, αλλά τελικώς θα καταλήγουν σε μία από 3 καταστάσεις: • Αφανισμός (εξαιτίας υπερπληθυσμού ή μοναξιάς) • Περιοδική ταλάντωση ανάμεσα σε αρκετούς σχηματισμούς • Επίτευξη μιας σταθερής κατάστασης.

32. R-Pentomino Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα παραδείγματα είναι το λεγόμενο R-Pentomino, με μια, φαινομενικά, αθώα διάταξη 5 κελιών.

33. R-Pentomino • Απαιτούνται 1103 γενεές ώστε να σταθεροποιηθεί. • Είναι αδύνατον να προβλέψουμε τη συμπεριφορά ενός τέτοιου συστήματος. • Μπορεί να γίνει μόνο άμα τρέξουμε το “πρόγραμμα” μέχρι το τέλος. Συμπέρασμα: Το παιχνίδι της ζωής είναι ισοδύναμο με μια καθολική Τ.Μ. !

34. Απόδειξη Καθολικότητας για το Παιχνίδι της Ζωής (1/5) Πρέπει να αποδείξουμε: • Πως οποιαδήποτε Τ.Μ. μπορεί να εξομοιωθεί από το Παιχνίδι της Ζωής • Πως το παιχνίδι της Ζωής μπορεί να εξομοιωθεί από οποιαδήποτε Τ.Μ.

35. Απόδειξη Καθολικότητας για το Παιχνίδι της Ζωής (2/5) Το (2) είναι προφανές: Ενώ περιγράφουμε το παιχνίδι της Ζωής σαν ένα σύνολο κανόνων, στην πραγματικότητα το “τρέχουμε” χρησιμοποιώντας ένα συμβατικό πρόγραμμα που τρέχει σε έναν Η/Υ. Εφόσον όλα αυτά τα προγράμματα μπορούν να εκτελεσθούν σε Τ.Μ., είναι προφανές πως το Παιχνίδι της Ζωής μπορεί να εξομοιωθεί από μια Τ.Μ.

36. Απόδειξη Καθολικότητας για το Παιχνίδι της Ζωής (3/5) Το (1) θα αποδειχθεί με τον εξής τρόπο: Θα δείξουμε πώς είναι δυνατή η κατασκευή αρχικών συνθηκών που να συμπεριφέρονται σαν λογικά κυκλώματα που εκτελούν λογικές πράξεις. Θα χρησιμοποιήσουμε το “glider” (που είδαμε και προηγουμένως) για να κατασκευάσουμε τέτοια κυκλώματα, καθώς και κατασκευές που λέγονται “glider guns”, οι οποίες εκτοξεύουν τέτοια “gliders” ανά 30 γενεές.

37. Απόδειξη Καθολικότητας για το Παιχνίδι της Ζωής (4/5) Σαν παράδειγμα θα δείξουμε την υλοποίηση του λογικού τελεστή NOT. Η απόδειξη φαίνεται εποπτικά στο παρακάτω σχήμα:

38. Απόδειξη Καθολικότητας για το Παιχνίδι της Ζωής (5/5) Οι αρχικές συνθήκες που περιγράφουν τον τελεστή NOT σε συσχέτιση με την παρουσία ή την απουσία του glider. Οι gliders από το glider gun θα επιζήσουν μόνο αν υπάρχει κάποιο κενό στην είσοδο. Η έξοδος θα είναι το συμπλήρωμα της εισόδου.

39. Παραλλαγές των Κ.Α.

40. Αναστρέψιμο (reversible) Κ.Α. • Ένα Κ.Α. λέγεται αναστρέψιμο, αν για κάθε κατάστασή του, υπάρχει ακριβώς μία και μόνο μία παλιά κατάσταση (preimage) • Για Κ.Α. μιας διάστασης, υπάρχουν αλγόριθμοι που να αποφασίζουν αν ένας κανόνας είναι αναστρέψιμος ή όχι • Παρόλα αυτά, για Κ.Α. δύο ή περισσότερων διαστάσεων, το πρόβλημα είναι μη-διαγνώσιμο • Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή φυσικών φαινομένων όπως η δυναμικών των υγρών, καθώς υπακούνε στους νόμους της θερμοδυναμικής

41. Αναστρέψιμο (reversible) Κ.Α. Παραδείγματα συμπεριφοράς των 6 Κ.Α. βασικού τύπου που είναι αναστρέψιμα. Σε όλες τις περιπτώσεις οι μετασχηματισμοί που έχουν γίνει στις αρχικές συνθήκες είναι τόσο απλοί, έτσι ώστε να είναι πολύ απλό να μετακινηθεί κανείς τόσο προς το παρελθόν, όσο και προς το μέλλον κατά τη διάρκεια της εξέλιξης του αυτομάτου.

42. Ολοκληρωτικά (totalistic) Κ.Α. Η κατάσταση κάθε κελιού ενός ολοκληρωτικούΚ.Α. αναπαρίσταται από έναν αριθμό, και η τιμή ενός κελιού σε μια χρονική στιγμή t εξαρτάται μόνο από το άθροισμα των τιμών των κελιών που ανήκουν στη γειτονιά του τη χρονική στιγμή t-1. Το Παιχνίδι της Ζωής ανήκει σε αυτή την κατηγορία αυτομάτων.

43. ΟλοκληρωτικάΚ.Α. Παράδειγμα ενός ολοκληρωτικούΚ.Α. με 3 πιθανά χρώματα για κάθε κελί. Ο κανόνας είναι φτιαγμένος, έτσι ώστε το καινούριο χρώμα κάθε κελιού να είναι ίσο με το μέσο όρο του προηγούμενου χρώματος του κελιού και των αυτό των άμεσων γειτόνων του.

44. Παραδείγματα ολοκληρωτικώνΚ.Α. με 3 χρώματα, που φέρουν φαινομενικώς τυχαία χαρακτηριστικά. Τρεις χιλιάδες βήματα εξέλιξης φαίνονται σε κάθε περίπτωση

45. Πιθανοτικά (probabilistic) Κ.Α. Οι κανόνες εξέλιξης, εκτός από ντετερμινιστικοί ενδέχεται να είναι και πιθανοτικοί. Ένας πιθανοτικός κανόνας δίνει, για κάθε μοτίβο σε μια χρονική στιγμή t, τις δυνατές πιθανότητες μετακίνησης του κεντρικού κελιού σε κάθε δυνατή κατάσταση τη χρονική στιγμή t+1. Μερικές φορές εφαρμόζεται και ένας απλούστερος κανόνας, π.χ. “Θα ακολουθηθεί ο κανόνας του Παιχνιδιού της Ζωής, αλλά σε κάθε βήμα υπάρχει μια πιθανότητα π.χ. 1%, πως κάθε κελί θα μεταπηδήσει στο αντίθετο χρώμα από ότι θα έπρεπε (mutation).

46. Συνεχή Αυτόματα Τα συνεχή αυτόματα μοιάζουν με τα πιθανοτικά, αλλά αντί οι κανόνες και οι καταστάσεις να αντιστοιχούν σε διακριτούς αριθμούς (π.χ. [0,1,2]), χρησιμοποιούνται συνεχείς συναρτήσεις, και οι καταστάσεις γίνονται συνεχείς (συνήθως τιμές στο διάστημα [0,1]). Αυτόματα τέτοιου τύπου μπορούν να μοντελοποιήσουν το φαινόμενο της διάχυσης σε μοτίβα πάνω σε υγρές επιφάνειες.

47. Χρησιμότητα Κ.Α. Τα Κ.Α. έχουν ιδιότητες που τα καθιστούν πολύ χρήσιμα στη μοντελοποίηση συγκεκριμένων φαινομένων: • Εξ’ ορισμού, ο χρόνος προχωράει με διακριτό τρόπο στα Κ.Α., καθιστώντας τα κατάλληλα για την περιγραφή μοντέλων όπου ο χρόνος διαιρείται σε γενεές και όπου η εξέλιξη από μια γενεά στην επόμενη είναι ταυτόχρονη για όλα τα κελιά. • Σε ένα Κ.Α., η κατάσταση κάθε κελιού είναι μια συνάρτηση των κελιών της γειτονιάς του, και αυτό το χαρακτηριστικό είναι κατάλληλο για μοντέλα όπου τα κελιά της γειτονιάς επηρεάζουν τη συμπεριφορά και η αλληλεπίδραση ανάμεσα στα συστατικά του μοντέλου είναι τοπική. • Σε ένα Κ.Α. όλα τα κελιά υπακούουν στους ίδιους κανόνες, καθιστώντας τα κατάλληλα για την περιγραφή ομογενών συστημάτων. • Αντίθετα, τα Κ.Α. είναι λιγότερο χρήσιμα για τη μοντελοποίηση φαινομένων όπου ο χρόνος δεν είναι διακριτός, ή όταν η συμπεριφορά του κάθε κελιού είναι δύσκολο να περιγραφεί από διακριτές καταστάσεις.

48. Μερικά μοντέλα που μπορούν να περιγραφούν με τη βοήθεια των Κ.Α. • Το χρώμα της γούνας των θηλαστικών • Οικολογικά μοντέλα • Η τροφική αλυσίδα • Η ανάπτυξη των κρυστάλλων • Το σπάσιμο των υλικών • Η ροή των υγρών • Η ανάπτυξη των φυτών και των ζώων • Πρότυπα βιολογικού χρωματισμού • Οικονομικά συστήματα

49. Εφαρμογές των Κ.Α. στην Επιστήμη των Υπολογιστών • Επεξεργαστές Υπολογιστών: Οι επεξεργαστές Κ.Α. είναι φυσικές υλοποιήσεις των αρχών των Κ.Α. Τα υπό επεξεργασία στοιχεία διατάσσονται σε ένα κανονικό πλέγμα πανομοιότυπων κελιών. Οι καταστάσεις των κελιών εξαρτώνται μόνο από τις αλληλεπιδράσεις με τους κοντινούς γείτονες. • Κρυπτογραφία: Το Κ.Α. κανόνα 30 έχει προταθεί σαν ένα πιθανό Block cipher. Κ.Α. δύο διαστάσεων χρησιμοποιούνται σαν γεννήτριες τυχαίων αριθμών (το Κ.Α. κανόνα 30 χρησιμοποιείται για την παραγωγή τυχαίων αριθμών από το Wolfram Mathematica). Κ.Α. έχουν επίσης προταθεί για κρυπτογραφία δημοσίου κλειδιού (public-key cryptography). Η μονόδρομη συνάρτηση(one-way function) είναι η εξέλιξη ενός πεπερασμένου Κ.Α., του οποίου το αντίστροφο πιστεύεται πως είναι δύσκολο να βρεθεί. Με δεδομένο αυτό, είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστούν οι παλιότερες καταστάσεις του.

50. Κ.Α. και η φιλοσοφία του Υπολογισμού Τα Κ.Α. είναι υπολογιστικά συστήματα που εκτελούν πολύπλοκες λειτουργίες, με βάση τη συλλογική συμπεριφορά απλών αντικειμένων. Έχουν προταθεί διαφορετικά συμπεράσματα από διάφορους ειδικούς στον τομέα. Κάποιοι υποστηρίζουν πως είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε τις υπολογιστικές δυνατότητες των Κ.Α. και να συγκρίνουμε τα διάφορα κοινωνικά, βιολογικά και φυσικά συστήματα τα οποία μοντελοποιούνται από αυτά. Άλλοι όμως, με βάση τα Κ.Α., υποστηρίζουν την άποψη πως ο υπολογισμός και η επεξεργασία της πληροφορίας αποτελούν συστατικά στοιχεία της πραγματικότητάς μας.