积分变换第 4 讲

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卷积定理与相关函数

卷积的概念若已知函数f1(t), f2(t), 则积分 • 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t)

卷积的图示 f1(t) f2(t) t O f2(-t) O t f2(t-t) t t O

在积分 • 中, 令u=t-t, 则t=t-u, du=-dt, 则即卷积满足交换律.

下证卷积满足结合律, 即[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]为此, 令 • 则

交换二重积分的次序, 得 • 令v=t-u, 则u=t-v,

例1 证明f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)证 根据卷积的定义

任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为 因此, 单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.

在近世代数中, 代数(algebra)一词表示两个元素到一个元素的映射规则. 比如数的加减乘除, 向量的加, 内积, 矩阵的加和乘, 向量或者矩阵乘数, 等等,都是代数运算.如果一个代数运算满足类似加法的性质, 如有0元素, 有负元素, 满足交换律和结合律, 则相应的集合叫做加法群, 简称群.如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运算, 满足交换律和结合律, 有1元素, 且同相应的加法运算满足分配律, 此集合就叫做乘法环, 简称环.如果乘法除0元素外都有逆, 则被称作域了.

例2 若 f1(t) 1 t O • 求f1(t)*f2(t) f2(t-t) 1 t O t

由卷积的定义有 1-e-t 1 O t

卷积定理假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如f1(t)  F1(w)f2(t)  F2(w)则f1(t)*f2(t)  F1(w)F2(w)以及

证按傅氏变换的定义, 有

相关函数对两个不同的函数f1(t)和f2(t), 则积分 • 称为两个函数的互相关函数, 记为R12(t), 即

当f1(t)=f2(t)=f(t)时, 积分 • 称为f(t)的自相关函数(简称相关函数). 用记号R(t)表示, 即

根据R(t)的定义, 自相关函数是一个偶函数, R(-t)=R(t)事实上, • 令t=u+t, 可得关于互相关函数, 有如下的性质: R21(t)=R12(-t)

前面已经证明过 • 令f1(t)=f(t), f2(t)=f(t+t), 设f(t)F(w), 则

假设f1(t)F1(w), f2(t)F2(w), 称S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度. 则f2(t+t)F2(w)ejwt可得 • 即R12(t)S12(w), 且易证S21(w)= S12(w)

例3 求指数衰减函数 的自相关函数和能量谱密度 f(t) 1 O t f(t+t) f(t+t) 1 1 -t -t O O t t

当t>0时, 积分区间为[0,+) • 当t<0时, 积分区间为[-t, +)

因此, 当<t<时, 自相关函数可合写为 • 并求得能量谱密度为

例4利用傅氏变换的性质, 求d(t-t0),

例5若f(t)=cosw0t u(t), 求F [f(t)]

例6若F(w)=F [f(t)], 证明

奈奎斯特采样率

假设时间函数f(t)在区间[-a, a]之外全为零, 并假设f(t)F(w) f(t) -a a O t F(w) w O

现将f(t)进行周期化, 产生fT(t), T=2a, 然后用傅氏级数表示. fT(t) -a a O t

fT(t) -a a O t FT(w) ... w1 w2 w O

根据对称原理有FT(t)2pfT(-w) FT(t) ... i1 t2 t O fT(-w) -a a w O

假设时间函数f(t)的频谱函数F(w)在[-2pB,2pB]之外为0.B称为f(t)的带宽.假设时间函数f(t)的频谱函数F(w)在[-2pB,2pB]之外为0.B称为f(t)的带宽. f(t) O t F(w) 2pB -2pB w O

现对f(t)进行间隔为Dt的采样得g(t)

如图所示: g(t) ... i1 t2 t O G(w) w/2 w -w/2 O

作业习题四 第51页第1题第(3)(4)小题第5题第(1),(2),(3)小题今天学号大于2004111111的同学交作业

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