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数 据 结 构

数 据 结 构. 刘家芬 Sept 2011. 第五章 数组和广义表. 数组是大家非常熟悉的数据结构，可以看成是一种特殊形式的线性表。 广义表是另一种特殊形式的线性表，在许多方面有广泛的应用。 数组和广义表的特殊性在于：表中的元素本身也是一种数据结构。. 本章目标. 5.1 数组的定义 5.2 数组的顺序表示和实现 5.3 矩阵的压缩存储 5.3.1 特殊矩阵 5.3.2 稀疏矩阵 5.4 广义表的定义 5.5 广义表的存储结构. 5.1 数组的定义. 数组的程序设计语言定义

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  1. 数 据 结 构 刘家芬 Sept 2011

  2. 第五章 数组和广义表 • 数组是大家非常熟悉的数据结构，可以看成是一种特殊形式的线性表。 • 广义表是另一种特殊形式的线性表，在许多方面有广泛的应用。 • 数组和广义表的特殊性在于：表中的元素本身也是一种数据结构。

  3. 本章目标 5.1 数组的定义 5.2 数组的顺序表示和实现 5.3 矩阵的压缩存储 5.3.1 特殊矩阵 5.3.2 稀疏矩阵 5.4 广义表的定义 5.5 广义表的存储结构

  4. 5.1 数组的定义 • 数组的程序设计语言定义 • int a[10]; int b[3][5]; • 数组是由n(n>1)个具有相同数据类型的数据元素a1，a2，…，an组成的有序序列，且该序列必须存储在一块地址连续的存储单元中。 • 数组中的数据元素具有相同数据类型。 • 数组是一种随机存取结构，给定一组下标，就可以访问与其对应的数据元素。 • 数组中的数据元素个数是固定的。 • 多维数组的抽象数据类型定义

  5. n维数组 • n维数组中有b1b2 … bn个数据元素，每个数据元素都受到n维关系的约束。 • 数组中的每个数据元素都对应于一组下标，每个下标的取值范围是0≤ji≤bi-1，称为第i维的长度。 • n=1时，n维数组是一个定长的线性表。

  6. a00 a01 … a0,n-1 a10 a11 … a1,n-1 … … … … … am-1,0 am-1,1 …am-1,n-1 A= n维数组的直观定义 • 设二维数组A=(aij)mn，则 A=(α0，α1，…，αp) (p=m-1或n-1) 其中每个数据元素αj是一个列向量(线性表) ： αj =(a0j ，a1j ，…，am-1,j) 1≦j≦n-1 或是一个行向量： αi =(ai0 ，ai0 ，…，ai,n-1) 1≦i≦m-1

  7. 5.2数组的顺序表示和实现 • 数组一般不做插入和删除操作，也就是说，数组一旦建立，结构中的元素个数和元素间的关系就不再发生变化。因此，一般都是采用顺序存储的方法来表示数组。 • 问题：计算机的内存结构是一维地址结构，对于多维数组，将其映射到一维结构时，有个次序约定问题。 • 即必须按某种次序将数组元素排成一列序列，然后将这个线性序列存放到内存中。

  8. 数组的顺序存储 通常有两种顺序存储方式： • 以行序为主序 (Row Major Order) ：将数组元素按行排列，第i+1个行向量紧接在第i个行向量后面。 • PASCAL、C是按行优先顺序存储的。 • 以列序为主序(Column Major Order) ：将数组元素按列向量排列，第j+1个列向量紧接在第j个列向量之后。 • FORTRAN是按列优先顺序存储的

  9. 数组的顺序存储 • 对n维数组A=(aj1 j2…jn) ，LOC[a0,0, …, 0]表示元素a0,0, …, 0的地址。假设每个数据元素占L个存储单元，若以行序为主序存储，n维数组中任一元素aj1 j2… jn的地址是： LOC[aj1j2…jn]=LOC[a0,0, …,0]+ [(b2…bn)j1+ (b3…bn)j2+ … + bn(jn-1-1) + (jn-1)] L

  10. 数组的顺序存储

  11. 矩阵的压缩存储 • 在科学与工程计算问题中，矩阵是一种常用的数学对象。 • 在高级语言编程时，通常将一个矩阵描述为二维数组。 • 对于高阶矩阵，若其中非零元素呈某种规律分布或者矩阵中有大量的零元素，若仍用常规方法存储，可能存储重复的非零元素或零元素，将造成存储空间的大量浪费。对这类矩阵进行压缩存储： • 多个相同的非零元素只分配一个存储空间。 • 零元素不分配空间。

  12. 1 5 1 3 7 a11 a21 a22 a31 a32 a33 … … … … an1 an2 … ann 5 0 8 0 0 A= A= 1 8 9 2 6 3 0 2 5 1 7 0 6 1 3 特殊矩阵 • 特殊矩阵：是指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵。 • 若一个n阶方阵A=(ai j)nn中的元素满足性质： ai j=aj i 1≦i, j≦n且i≠j 则称A为对称矩阵。

  13. 1 5 1 3 7 a11 a21 a22 a31 a32 a33 … … … … an1 an2 … ann 5 0 8 0 0 A= A= 1 8 9 2 6 3 0 2 5 1 7 0 6 1 3 对称矩阵的存储 • 对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素即可。 • 问：需存储多少个元素？ • 不失一般性，假设用一维数组sa[n(n+1)/2]以行序为主序存放下三角的元素：

  14. 对称矩阵的存储 • i≥j：aij 在下三角形中，直接保存在sa中。 • aij之前的i-1行共有元素个数:1+2+…+(i-1)=i(i-1)/2 • 第i行上，aij之前有j-1个元素 • 元素aij保存在向量sa中时的下标值k之间的对应关系： k=i(i-1)/2+j-1 i ≥ j • i<j：aij在上三角矩阵中 • aij=aji，在向量sa中保存的是aji。因此 • k=j(j-1)/2+i-1 i<j

  15. 其他矩阵 • 三角矩阵 • 对角矩阵

  16. 0 12 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 24 0 0 2 0 0 A= 0 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -7 0 0 0 0 -6 0 0 0 0 稀疏矩阵示例 稀疏矩阵 • 设矩阵A是一个nm的矩阵，其中有s个非零元素，设δ=s/(nm)，δ为稀疏因子。 • 矩阵的稀疏因子δ≦0.05时则称为稀疏矩阵

  17. 稀疏矩阵的压缩存储 • 由于非零元素的分布没有规律，存储非零元素的同时，还必须记下它所在的行和列的位置(i,j)。 • 因此稀疏矩阵可由表示非零元的值、及其行列数组成的三元组，以及矩阵行列数唯一确定。

  18. 三元组表示法 • 请写出矩阵M的三元组表示. • 稀疏矩阵M可由三元组表 ((1,2,12),(1,3,9),(3,1,-3),(3,6,14), (4,3,24),(5,2,18),(6,1,15),(6,4,-7)) 加上(6,7)这一对行、列值描述。

  19. 三元组顺序表

  20. 稀疏矩阵的转置 • 一个m×n的矩阵A，它的转置B是一个n×m的矩阵，且a[i][j]=b[j][i]，0≦i≦m，0≦j≦n，即A的行是B的列，A的列是B的行 • 如何进行转置？

  21. 矩阵转置 • 将矩阵的行、列下标值交换 • 将每个三元组中的i、j相互交换； • 重排三元组之间的顺序，使得交换后仍然按行优先顺序存储。

  22. 矩阵转置方法一 • 按照b.data中三元组的次序依次在a.data中找到相应的三元组进行转置。即按照矩阵的列序进行转置。 • 对A中的每一列，通过从头至尾扫描三元表a.data，找出所有列号等于col的那些三元组，将它们的行号和列号互换后依次放入b.data中，即可得到B的按行优先的压缩存储表示。

  23. 稀疏矩阵的转置算法

  24. 矩阵转置方法二 • 按照a.data中三元组的次序进行转置，并将转置后的三元组放到b中适当的位置。 • 若能预先确定原矩阵A中每一列的(即B中每一行)第一个非0元素在b.data中应有的位置，则在作转置时就可直接放在b.data中恰当的位置。因此，应先求得A中每一列的非0元素个数。 • 附设两个辅助向量num[ ]和cpot[ ] 。 • num[col]：统计A中第col列中非0元素的个数； • cpot[col] ：指示A中第一个非0元素在b.data中的恰当位置。

  25. 稀疏矩阵的转置算法

  26. 稀疏矩阵的另一种存储方式 • 为了便于快速存取任一行的非零元，需要知道每行的第一个非零元在三元组表中的位置。 • 在三元组表示法的基础上，将算法二中用来指示行信息的辅助矩阵cpot固定在存储结构中，就得到了稀疏矩阵的另一种顺序存储方式：带行链接信息的三元组表。

  27. 稀疏矩阵的乘法 • 矩阵相乘的经典算法 ：Q= M * N，其中M是m1*n1矩阵，N是m2*n2矩阵 并且n1=m2 • 稀疏矩阵相乘的思想 P101

  28. 稀疏矩阵的第三种存储方式 • 对于稀疏矩阵，当非0元素的个数和位置在操作过程中变化较大时，采用链式存储结构表示比三元组表更方便。

  29. row col value down right 十字链表存储法 • 矩阵中非0元素的结点所含的域有：行、列、非零元的值、行指针(指向同一行的下一个非0元)、列指针(指向同一列的下一个非0元)。其次，十字交叉链表还有一个头结点。 结点结构

  30. 十字链表存储法 • 十字链表存储法下的矩阵相加思想P105

  31. 广义表 • 广义表是线性表的推广和扩充。 • 线性表定义为：n个元素a1, a2 ,…, an的有穷序列，该序列中的所有元素具有相同的类型。 • 如果允许线性表的元素包含某种数据结构，就产生了广义表的概念。 • 广义表记做LS=(a1, a2 ,…, an)，线性表的定义中ai是单个元素，而广义表中ai可以是单个元素，也可以是广义表，分别成为广义表LS的原子和子表。

  32. 广义表相关的定义 • a1(表中第一个元素)称为表头； • 其余元素组成的子表 (a2, a3, …, an)称为表尾； • 广义表中所包含的元素(包括原子和子表)的个数称为表的长度。 • 广义表中括号的最大层数称为表的深度。

  33. 关于广义表 • 广义表是一个多层次的结构：广义表的元素可以是原子，也可以是子表；子表的元素又可以是子表。 • 广义表可以被其它广义表所共享，只需通过表名引用。 • 广义表本身可以是一个递归表。 • 根据对表头、表尾的定义，任何一个非空广义表的表头可以是原子，也可以是子表， 而表尾必定是广义表。

  34. 广义表的存储结构 • 顺序存储结构 • 链式存储结构 • 由于广义表中的数据元素具有不同的结构（或为原子，或为列表），无法用顺序结构存储，通常采用链式存储结构。每个元素用一个结点表示。 • 广义表中有两类结点： • 原子结点用来表示原子项，由标志域，值域组成。 • 表结点用来表示广义表项，由标志域，表头指针域，表尾指针域组成。

  35. 广义表的形式定义

  36. 广义表存储示例

  37. 广义表存储总结 • 若广义表为空，表头指针为空；否则，表头指针总是指向一个表结点，其中hp指向广义表的表头结点(或为原子结点，或为表结点) ，tp指向广义表的表尾(表尾为空时，指针为空，否则必为表结点)。 • 容易分清广义表中原子和列表所在层次。 • 最高层的表结点个数即为广义表的长度。

  38. Have FUN !

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