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第 2章 MATLAB数值运算

第 2章 MATLAB数值运算. 本章目标. 掌握矩阵、向量、数组和多项式的构造和运算方法 能够使用常用的几种函数进行一般的数值问题求解. 主要内容. 2.1 矩阵 2.2 向量 2.3 数组 2.4 多项式. 2.1 矩阵. MATLAB = mat rix （矩阵） + lab oratory （实验室）. 2.1.1 矩阵的构造. 通过直接输入矩阵的元素构造矩阵： 用中括号 [ ] 把所有矩阵元素括起来 同一行的不同数据元素之间用空格或逗号间隔 用分号（；）指定一行结束 可分成几行进行输入，用回车符代替分号

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第 2章 MATLAB数值运算

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  1. 第2章 MATLAB数值运算

  2. 本章目标 • 掌握矩阵、向量、数组和多项式的构造和运算方法 • 能够使用常用的几种函数进行一般的数值问题求解

  3. 主要内容 • 2.1 矩阵 • 2.2 向量 • 2.3 数组 • 2.4 多项式

  4. 2.1 矩阵 MATLAB = matrix（矩阵）+ laboratory（实验室）

  5. 2.1.1 矩阵的构造 • 通过直接输入矩阵的元素构造矩阵： • 用中括号[ ]把所有矩阵元素括起来 • 同一行的不同数据元素之间用空格或逗号间隔 • 用分号（；）指定一行结束 • 可分成几行进行输入，用回车符代替分号 • 数据元素可以是表达式，系统将自动计算结果

  6. 例：输入矩阵A、B的值 >>A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16] >>B=[1,sqrt(25),9,132,6,10,7*2 3+sin(pi),7,11,15，4, abs(-8),12,16]

  7. 2.1.2 矩阵下标与子矩阵提取 • A(m, n) 提取第m行，第n列元素 • A(:, n) 提取第n列元素 • A(m, :) 提取第m行元素 • A(m1:m2, n1:n2) 提取第m1行到第m2行和第n1列到第n2 列的所有元素 • A(m:end, n) 提取从第m行到最末行和第n列的子块 • A(:) 得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩 阵的列进行排列

  8. 例：修改矩阵A中元素的数值 >>A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]; >>A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4)=cos(0); 则矩阵变为： A = 0 2 3 4 5 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1

  9. 2.1.3 矩阵的算术运算 • 1． 矩阵的加减运算：＋(加)、－(减) • 2． 矩阵乘法：*(乘) • 3． 矩阵除法：/ (右除)、\ (左除) • 4． 矩阵的乘方：^(乘方) • 5． 矩阵转置： ' (转置运算符)

  10. 2.1.4 矩阵的关系运算 • 关系运算符： <(小于)、<=(小于或等于)、>(大于) >=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。 • 关系运算符的运算法则： • 关系运算将对两个矩阵的对应元素进行比较。

  11. 2.1.5 矩阵的逻辑运算 • 必须是两个同维矩阵或其中一个矩阵为标量才能进行 • MATLAB提供了一些逻辑函数

  12. 2.1.6 矩阵函数

  13. 1． 求矩阵的行列式的值 >> X=[1 2 3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16]; >>det(X) ans = -5464

  14. 2． 求矩阵的秩 >> X=[1, 2, 3; 2, 3 -5; 4 7 1]; >> rank(X) ans = 2

  15. 3． 求逆矩阵 >> X=[1 2 3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16]; >> Y=inv(X) Y = 0.2299 0.0908 0.0351 -0.0717 0.1940 0.0798 -0.0659 0.0095 0.1274 -0.0835 0.0322 0.0176 -0.2892 0.0084 0.0275 0.0377 >>Y*X %矩阵与其逆阵相乘结果是单位矩阵 ans = 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 >> X*Y %矩阵的逆阵是唯一的 ans = 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000

  16. 4． 求特征值和特征向量 >> X=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3]; >> [V D]=eig(X) V= -0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015 D= -1 0 0 0 2 0 0 0 2

  17. 5． 矩阵分解 >> A=[2 -1 3;1 2 1;2 4 3]; >> [L, U]=lu(A) %三角分解 L = 1.0000 0 0 0.5000 0.5000 1.0000 1.0000 1.0000 0 U = 2.0000 -1.0000 3.0000 0 5.0000 0 0 0 -0.5000

  18. 6． 求解线形方程组

  19. 2.2 向量 • 向量是矢量运算的基础 • 行向量 • 列向量

  20. 2.2.1 向量的构造 • 1．逐个输入 >>a=[1 3 9 10 15 16] %采用空格和逗号分隔构成行向量 >>b=[1; 3; 9; 10; 15; 16] %采用分号隔开构成列向量 • 2．利用冒号表达式“:”生成向量 >>x=1:2:9 %初值=1，终值=9，步长=2 >>z=1:5 %初值=1，终值=5，默认步长=1 • 3．利用函数生成向量 >> x=linspace(1, 9, 5) %初值=1，终值=9，元素数目=5

  21. 2.2.2 向量的运算 • 1．点积：dot函数 • 2．叉积：cross函数 • 例 >> a = [1 2 3]; >> b = [4 5 6]; >> c = dot(a, b) >> d = cross(a, b) c = 32 d = -3 6 -3

  22. 2.3 数组 • 数组运算方式是一种元素对元素的运算（不按照线性代数的规则） ； • 除了加、减法的与矩阵相同以外，乘、除、幂的数组运算符都是通过在标准的运算符前面加一个圆点来生成。

  23. 数组运算 >> x=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> y=[9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]; >> x+y %数组和矩阵的加法规则相同 ans = 10 10 10 10 10 10 10 10 10 >> x.*y %数组乘法：对应元素相乘 ans = 9 16 21 24 25 24 21 16 9 >> x*y %矩阵乘法：按照线性代数理论进行 ans = 30 24 18 84 69 54 138 114 90

  24. 多维数组维间处理的函数 • 1．reshape • 2．size • 3．ndims • 4．cat • 5．permute • 6．ipermute • 7．shiftdim • 8．squeeze

  25. 2.4 多项式 多项式是形如 P(x) = a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的式子。 在MATLAB中，多项式用行向量表示： P=[ a0 a1 … an-1 an]

  26. 2.4.1 多项式的生成与表达 • 例：已知向量A=[1 –34 –80 0 0]，用此向量构造一多项式并显示结果。 (x-1)(x+34)(x+80)(x-0)(x-0) >>PA=poly(A) >>PAX=poly2str(PA,'X') X^5 + 113 X^4 + 2606 X^3 - 2720 X^2

  27. 2.4.2 多项式的运算 • 1. 多项式的算术运算 • 参加加减运算的多项式应该具有相同的阶次。 • 多项式乘法采用conv函数，除法由deconv函数完成。 • 2. 求根 • 求多项式的根采用roots函数。 • 3. 求值 • 函数polyval可以将某个特定数值代入多项式 • 函数polyvalm可以求出当多项式中的未知数为方阵时的值。 • 4. 求导 • 使用polyder函数对多项式求导。

  28. 扩展阅读 • 2.5 特殊矩阵 • 2.6稀疏矩阵

  29. 上机指导 • 2.7工作空间与内存变量 • 2.7.1变量的查看 • 2.7.2变量的文件保存与获取

  30. 应用举例

  31. 应用举例

  32. 应用举例 例2-31将表达式(x-4)(x+5)(x2-6x+9)展开为多项式形式，并求其对应的一元n次方程的根。 >>p=conv([1 -4],conv([1 5],[1 -6 9])) >>px=poly2str(p,’x’) >>x=roots(p)

  33. 结 束 语 • 学好计算机的唯一途径是 • 你的编程能力与你在计算机上投入的时间成 上机练习 正比

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