第二章行列式

第二章行列式 第一节二阶、三阶行列式

一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组

方程组的解为 由方程组的四个系数确定.

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的矩阵：定义

二阶行列式的计算 对角线法则主对角线副对角线对于二元线性方程组若记系数行列式

则二元线性方程组的解为 注意分母都为原方程组的系数行列式.

二、三阶行列式 定义记（7）式称为矩阵（6）所确定的三阶行列式.

.列标 行标三阶行列式的计算

二阶与三阶行列式的计算 对角线等法则三、小结二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.

思考题

思考题解答 解

第二章行列式 第二节 n 阶行列式

n阶行列式的定义 定义

在阶行列式中，把元素所在的第 行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．一、余子式与代数余子式

例如对

二、行列式按行（列）展开法则 定理1n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

例2计算行列式 解

例3计算上三角行列式 解 =

例 4

同理可得下三角行列式

三、小结 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.

第二章行列式 第三节行列式的性质

行列式称为行列式的转置行列式. 一、行列式的性质记性质1行列式与它的转置行列式相等即，说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

同样用数学归纳法可证： 性质2如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 性质3如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即

例如则D等于下列两个行列式之和：

性质4（行列式的“初等变换”）若将初等行（列）变换用于 n阶行列式：（1）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.

（2）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 k 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．从等号右端看，利用性质3、性质4 的（1）及性质2即得等号左端。例如

（3）互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明设行列式写成分块形式，则

推论2　对 n阶行列式及数 k,有 ．推论1　某一行（列）元素全为零的行列式等于零．

推论3　若有两行（列）元素对应成比例，则行列推论3　若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零，即

计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。例1 计算4阶行列式

性质5行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即性质5行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证

相同同理

关于代数余子式的重要性质

性质6 设 U是有如下分块形式的 ( n + p ) 阶矩阵：矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积！

二、应用举例 解将第二列加到第一列，由性质4、性质2可得

第二章 行列式