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1. 坐标系 （ 1 ）理解坐标系的作用 . （ 2 ）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 . （ 3 ）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 . （ 4 ）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义 . （ 5 ）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别 ..
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1.坐标系 （1）理解坐标系的作用. （2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. （3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. （4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. （5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.
2.参数方程 （1）了解参数方程，了解参数的意义. （2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. （3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程. （4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
知识点复习 极坐标系 如右图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系. 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做 点M的极径，记为ρ；以极径Ox为始边，射线 OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ. 有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).
极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而极坐标系中，对于给定的有序数对（ρ,θ），可以确定平面上的一点．但是平面内的一点的极坐标，却不是惟一的.极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而极坐标系中，对于给定的有序数对（ρ,θ），可以确定平面上的一点．但是平面内的一点的极坐标，却不是惟一的. 一般地，若（ρ,θ）是点M的极坐标，则（ρ,θ+2kπ）（k∈Z）也都是点M的极坐标，总之点M（ρ,θ）的极坐标可以有(ρ,θ+2kπ)(k∈Z). 当规定ρ＞0，0≤θ＜2π以后，平面内的点（除极点外）与有序数对就可以一一对应了.
（3）柱坐标系 一般地，如右图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点.它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)（ρ≥0，0≤θ＜2π）表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)（z∈R）表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z).其中ρ≥0，0≤θ＜2π，z∈R.
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
（4）球坐标系 一般地，如右图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点.连接|OP|，记|OP|=r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.那么点P的位置可用有序数组(r，φ，θ)表示.这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为 需要说明的是新课标对于柱坐标系以及球坐标系要求很低，只要求有所了解即可.而直角坐标系，极坐标系是重点要掌握的两种坐标系.
2极坐标与直角坐标的互化 （1）设M是平面内任意一点，它的直角坐标〖JP〗是(x，y)，极坐标是(ρ，θ).从图可以得出它们之间的关系： 这就是极坐标与直角坐标的互化公式 （2）空间点P的直角坐标（x,y,z）与柱坐标（ρ,θ,z）之间的变换公式为: 柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的
（3）空间点P的直角坐标（x,y,z）与球坐标（r,φ,θ）之间的变换关系为（3）空间点P的直角坐标（x,y,z）与球坐标（r,φ,θ）之间的变换关系为 （4）平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
将点的直角坐标与极坐标互化 典型例题与方法 将点M的直角坐标(3，-3)化成极坐标. 分析：本题只需准确记忆公式和熟练进行运算即可. 解析： 因为点M在第四象限，所以 因此，点M的极坐标为
点评：本题常见的错误是： 这是因为没有明确点M所处的象限，导致出现增根致错.把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法（极角相差2π的整数倍）.由于极角的多样性，所以在确定点的极坐标时，必须首先确定点所在的象限以便确定极角.一般只要取θ∈［0,2π)就可以了.
分析：直接代入直角坐标与极坐标互化公式即得. 解析：直角坐标与极坐标互化公式 答案： 将点A的极坐标 化成直角坐标是_____
将点的柱坐标、球坐标化为直角坐标 （1）已知点P的柱坐标为 ，则P点的直角坐标是_______ （2）空间一点Q的球坐标为 ，则Q点的直角坐标是_______ 分析：利用公式 解析：（1）利用柱坐标与直角坐标公式的互化得（1,1,5）. （2）利用球坐标与直角坐标公式的互化得
答案：（1）（1，1，5） （2）
图形的伸缩变换问题 求将曲线y=1/2cos4x变为y=cosx的伸缩变换. 解析： 点评：求经过伸缩变换后所得到的曲线方程，只需将对应的伸缩变换公式代入原曲线方程即可.
在同一平面直角坐标系中，将曲线 变成曲线 ，求满足图象变换的伸缩变换
第二节 曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)=0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)=0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程. 2.直线的极坐标方程 （1）过极点且与极轴成α角的直线方程是：θ=α和θ=π-α； （2）与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)(a＞0)的直线方程为：ρcosθ=a； （3）与极轴平行且在x轴的上方，与极轴的距离为a的直线方程为：ρsinθ=a.
3.圆的极坐标方程 （1）以极点为圆心，半径为r的圆的方程为：ρ=r； （2）圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程上： ρ=2rcosθ； （3）圆心在过极点且与极轴成π/2的射线上，过极点，半径为r的圆的方程为：ρ=2rsinθ. 4.极坐标与直角坐标的互化公式
解析：化为普通方程，分别为： y=0, y= , x+y=1,画出三条直线的图象如右图，可求得 三角形AOB的面积为： 答案： (2009年上海卷）在极坐标系中，由三条直线θ=0, θ=π/3,ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是________
（2009年广州一模）在极坐标系中，直线ρsin(θ+π/4)=2被圆ρ=4截得的弦长为________（2009年广州一模）在极坐标系中，直线ρsin(θ+π/4)=2被圆ρ=4截得的弦长为________ 答案：
求圆的极坐标方程 已知圆C的圆心坐标为 半径为5，求圆C的极坐标方程. 解析： 设点P（ρ,θ）是圆C上的任意一点，如右图所示，由平面几知识可知，∠APO=90°, ∠PAO=θ,AO=10,∴sinθ=ρ/10,∴ρ=10sinθ. 即所求圆C的极坐标方程为：ρ=10sinθ
1.已知圆A的圆心坐标为（2，0），半径为2，则圆A的极坐标方程是________ 解析：由cosθ=ρ/4,得ρ=4cosθ. 答案：ρ=4cosθ
求直线的极坐标方程 设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，直线l过P且与极轴所成的角为α，求直线l的极坐标方程. 分析：用直接法求解 解析：如右图所示，设M(ρ,θ)为直线l上除点P外的任意一点，连接OM，则|OM|=ρ，∠xOM=θ.由点P的极坐标为(ρ1，θ1)知，|OP|=ρ1，∠xOP=θ1. 设直线l与极轴交于点A，已知直线l与极轴成α角，所以∠xAM=α.在△MOP中，∠OMP=α-θ，∠OPM=π-(α-θ1)，由正弦定理得
显然，点P的坐标(ρ1，θ1)是上述方程的解. 所以，上述方程就是直线l的极坐标方程. 点评：本例题很好地展示了求直线的极坐标方程的基本方法，注意与直角坐标方程的求解方法相互比较，仔细揣摩.
2.求过点A(a,0)(a＞0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程. 解析：如右图所示，设M(ρ,θ)为直线l上，除点A外的任意一点，连接OM，由Rt△MOA有 |OM|cos∠MOA=|OA|， 即ρcosθ=a.可以验证，点A(a,0)满足上式. 所以，ρcosθ=a.就是所求直线的极坐标方程。
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 把极坐标方程ρ=2cosθ-4sinθ化成直角坐标方程. 分析：直接运用极坐标与直角坐标的互化公式即可. 解析：把ρ=2cosθ-4sinθ两边同乘以ρ，得到 ρ2=2ρcosθ-4ρsinθ， 即 x2+y2=2x-4y， 所以，所求的直角坐标方程是(x-1) 2+(y-2) 2=5。 点评：熟悉极坐标与直角坐标的互化公式，熟练进行恒等变形是这个问题的目的所在.
3.把直角坐标方程2x-3y-1=0化成极坐标方程. 解析：把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入2x-3y-1=0，即得所求的极坐标方程是2ρcosθ-3ρsinθ-1=0
曲线的极坐标方程的应用 已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a,2b(a＞b＞0)，A,B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB. （1）求证： 为定值； （2）求△AOB面积的最大值和最小值. 分析：由于点的极坐标更加容易表示距离和角度，所以涉及到长度和角度问题，采用极坐标系往往能够简化思路、简便运算.
解析：（1）以椭圆中心O为直角坐标原点，长轴所在的直线为x轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为解析：（1）以椭圆中心O为直角坐标原点，长轴所在的直线为x轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为 将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程，得
（2009年辽宁卷）坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 （1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程. 解析：
（2009年安徽卷）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为 ,它与曲线 相交于两点A和B，则|AB|=_________ 解析：直线的普通方程为y=x,曲线的普通方程 答案：
第三节 参数方程 1.参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程（*）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.圆的参数方程 其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.
