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第 5 章 点的合成运动

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第 5 章 点的合成运动

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  1. 第5章 点的合成运动

  2. 5.1 概述 5.1.1运动的合成与分解 在工程和实际生活中物体相对于不同参考系运动的例子很多, 如图所示,沿直线滚动的车轮,若在地面上观察轮边缘上点M 的运动轨迹是旋轮线,但在车厢上观察则是一个圆。如图所 示,车床车削工件时,车刀刀尖M相对于地面做直线运动,而 相对于旋转的工件却是沿圆柱面做螺旋运动,因此车刀在工件 的表面切出螺旋线。

  3. 从上面的两个例子看出物体相对于不同参考系的运动是不从上面的两个例子看出物体相对于不同参考系的运动是不 同的,它们之间存在运动的合成和分解的关系。在上述例 子中,车轮上的点M时沿螺旋线运动,若以车厢作为参考 体,则点M相对于车厢的运动时简单的圆周运动,车厢相 对于地面的运动时简单的平移。这样轮缘上一点的运动可 以看成两个简单运动的合成,即点M相对于车厢作圆周运 动,同时车厢相对于地面作平移运动。也就是说,轮缘上 一点实际上做螺旋线运动,可以分解成两个简单的运动, 这就是运动的合成与分解。

  4. 5.1.2 绝对运动、相对运动和牵连运动 两个坐标系 定参考坐标系(定系) 动参考坐标系(动系) 三种运动 绝对运动:动点相对于定系的运动。 相对运动:动点相对于动系的运动。 牵连运动:动系相对于定系的运动。

  5. 相对轨迹 相对速度 相对加速度 绝对轨迹 绝对速度 绝对加速度 牵连速度 和牵连加速度 在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。

  6. 动点:M动系: 5.1.3 利用坐标变换建立三种运动的关系 绝对运动运动方程 相对运动运动方程 由坐标变换关系有

  7. 例5-1 点M相对于动系 沿半径为r的圆周以速度v作匀速圆周运动(圆心为O1 ),动系  相对于定系  以匀角速度ω绕点O作定轴转动,如图所示。初始时  与  重合,点M与O重合。 求:点M的绝对运动方程。

  8. 已知:r,相对速度v, =ωt, 求:点M的绝对运动方程。 解: 相对运动方程 代入

  9. 已知:r,相对速度v, =ωt, 求:点M的绝对运动方程。 绝对运动方程

  10. 例5-2 用车刀切削工件的直径端面,车刀刀尖M沿水平轴x作往复运动,如图所示。设Oxy为定坐标系,刀尖的运动方程为 。工件以等角速度 逆时针转向转动。 求:车刀在工件圆端面上切出的痕迹。

  11. 求: 已知: 动点:M 动系:工件 解: 相对运动方程 相对运动轨迹

  12. 定系:Oxyz,动系:   ,动点:M 为牵连点 5.2 点的速度合成定理

  13. 导数上加“~”表示相对导数。

  14. 点的速度合成定理:动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。 点的相对速度、牵连速度、绝对速度三者之间满足平行四边形合成法则,即绝对速度由相对速度和牵连速度所构成平行四边形对角线所确定,这个平行四边形称为速度平行四边形。

  15. 应当注意: (1)三种速度有三个大小和三个方向共六个要素,必须已知其中四个要素,才能求出剩余的两个要素。因此只要正确地画出上面三种速度的平行四边形,即可求出剩余的两个要素。 (2)动点和动系的选择是关键,一般不能将动点和动系选在同一个参考体上。 (3)动系的运动是任意的运动,可以是平移、转动或者是较为复杂的运动。

  16. 例5-3汽车以速度沿直线的道路行驶,雨滴以速度铅直下落,如图所示,试求雨滴相对于汽车的速度。例5-3汽车以速度沿直线的道路行驶,雨滴以速度铅直下落,如图所示,试求雨滴相对于汽车的速度。

  17. 解: (1)建立两种坐标系 定系建立在地面上,动系建立在汽车上。 (2)分析三种运动 雨滴为动点,其绝对速度为 汽车的速度为牵连速度(牵连点的速度),因汽车作平移,各点的速度均相等。即 (3)作速度的平行四边形 由于绝对速度va和牵连速度ve的大小和方向都是已知的,如图所示,只需将速度va和ve矢量的端点连线便可确定雨滴相对于汽车的速度vr。故 雨滴相对于汽车的速度与铅直线的夹角为

  18. 例5-4如图所示曲柄滑道机构,T字形杆BC部分处于水平位置,DE部分处于铅直位置并放在套筒A中。已知曲柄OA以匀角速度ω=20rad/s绕O轴转动,OA=r=10cm,试求当曲柄OA与水平线的夹角φ=0°、30 ° 、60 ° 、90 °时,T形杆的速度。

  19. 解:选套筒A为动点,T字形杆为动系,地面为定系。动点的绝对运动为圆,绝对速度的大小为解:选套筒A为动点,T字形杆为动系,地面为定系。动点的绝对运动为圆,绝对速度的大小为 绝对速度的方向垂直于曲柄OA沿角速度ω的方向 由于T字形杆受水平约束,则牵连运动为水平方向;动点的相对速度为沿BC作直线运动,即为铅直向上,如图所示,作速度的平行四边形。故T字形杆的速度为 : 将已知条件代入得

  20. 例5-5曲柄OA以匀角速度绕O轴转动,其上套有小环M,而小环M又在固定的大圆环上运动,大圆环的半径为R,如图所示。试求当曲柄与水平线成的角φ=ωt时,小环M的绝对速度和相对曲柄OA的相对速度。例5-5曲柄OA以匀角速度绕O轴转动,其上套有小环M,而小环M又在固定的大圆环上运动,大圆环的半径为R,如图所示。试求当曲柄与水平线成的角φ=ωt时,小环M的绝对速度和相对曲柄OA的相对速度。

  21. 解:由题意,选小环M为动点,曲柄OA为动系,地面为定系。小环M的绝对运动是在大圆上的运动,因此小环M绝对速度垂直于大圆的半径R;小环M的相对运动是在曲柄OA上的直线运动,因此小环M相对速度沿曲柄OA并指向O点,牵连运动为曲柄OA的定轴转动,小环M的牵连速度垂直于曲柄OA,如图所示,作速度的平行四边形。即解:由题意,选小环M为动点,曲柄OA为动系,地面为定系。小环M的绝对运动是在大圆上的运动,因此小环M绝对速度垂直于大圆的半径R;小环M的相对运动是在曲柄OA上的直线运动,因此小环M相对速度沿曲柄OA并指向O点,牵连运动为曲柄OA的定轴转动,小环M的牵连速度垂直于曲柄OA,如图所示,作速度的平行四边形。即 小环M的牵连速度为 小环M的绝对速度为 小环M的相对速度为

  22. 例5-6 如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮,以角速度ω绕O轴转动,杆AB能在滑槽中上下平移,杆的端点A始终与凸轮接触,且OAB成一直线。 求:在图示位置时,杆AB的速度。

  23. 已知: 3、 √  √  √ 解:1、动点:AB杆上A动系:凸轮 2、绝对运动:直线运动(AB) 相对运动:圆周运动(半径R) 牵连运动:定轴运动(轴O)

  24. 应用点的速度合成定理解题步骤如下; (1)选取动点、动参考系和定参考系。 其动点和动系的选取原则为: 1)动点和动系不能选在同一个物体上; 2)动点的相对轨迹越简单越直观越好(通常是直线或圆); 3)通常选择固定接触点为动点; (2)分析三种运动和三种速度。各种运动的速度都有大小和方向两个要素,只有已知四个要素时才能画出速度平行四边形。 (3)应用速度合成定理,作出速度平行四边形。注意作图时要使绝对速度为速度平行四边形的对角线。 (4)利用速度平行四边形中的几何关系求解未知量。

  25. 5.3.1 牵连运动是平移时点的加速度合成定理 z' z M(m) r' r k' j' O' y' i' r'O O y x' x 5.3 点的加速度合成定理 动点M在定系和动系中的矢径分别用r和r′表示。 有关系式 上式在定系中对时间t 求二阶导数,有

  26. z' z M(m) r' r k' aO' j' O' y' i' r'O O y x' x ar ae 加速度合成定理——牵连运动为平移时,点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度的矢量和。

  27. 例5-7如图a所示,曲柄OA以匀角速度绕定轴O转动,T字形杆BC沿水平方向往复平动,滑块A在铅直槽DE内运动,OA=r,曲柄OA与水平线夹角为,试求图示瞬时,杆BC的速度及加速度。例5-7如图a所示,曲柄OA以匀角速度绕定轴O转动,T字形杆BC沿水平方向往复平动,滑块A在铅直槽DE内运动,OA=r,曲柄OA与水平线夹角为,试求图示瞬时,杆BC的速度及加速度。

  28. 解:滑块A为动点,T字形杆BC为动系,地面为定系。动点A的绝对运动是曲柄OA绕轴O的定轴转动;相对运动为滑块A在铅直槽DE内的直线运动;牵连速度为T字形杆BC沿水平方向的往复平移。解:滑块A为动点,T字形杆BC为动系,地面为定系。动点A的绝对运动是曲柄OA绕轴O的定轴转动;相对运动为滑块A在铅直槽DE内的直线运动;牵连速度为T字形杆BC沿水平方向的往复平移。 (1)求杆BC的速度 作速度的平行四边形,如图b所示。动点A的绝对速度为 杆BC的速度为 (2)求杆BC的加速度 作加速度的平行四边形,如图c所示。动点A的绝对加速度为 杆BC的加速度为

  29. 先分析 对时间的导数: 即 得 同理可得 5.3.2 牵连运动为定轴转动时时点的加速度合成定理 因为

  30. 因为 得 令 称为科氏加速度

  31. 其中科氏加速度 大小 方向垂直于 和 点的加速度合成定理:动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。 指向按右手法则确定

  32. 例5-9 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时,滑块在摇杆O1B上滑动,并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r,两轴间距离OO1=l。例5-9 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时,滑块在摇杆O1B上滑动,并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r,两轴间距离OO1=l。 求:摇杆O1B在 如图所示位置时的 角加速度。

  33. √ √ √ 解:1、 动点:滑块A动系:O1B杆 绝对运动:圆周运动 相对运动:直线运动(沿O1B) 牵连运动:定轴转动(绕O1轴) 2、速度

  34. √ √ √ √ √ 3、加速度

  35. 沿轴投影

  36. 例5-10如图所示平面机构中,曲柄OA=r,以匀角速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知:BC=DE,且BD=CE=l。 求:图示位置时,杆BD的角速度和角加速度。

  37. √ √ √ 解:1、动点:滑块A动系:BC杆 绝对运动:圆周运动(O点) 相对运动:直线运动(BC) 牵连运动:平移 2、速度

  38. √ √ √ √ 3、加速度 沿y轴投影

  39. 例5-11如图所示凸轮机构中,凸轮以匀角速度ω绕水平O轴转动,带动直杆AB沿铅直线上、下运动,且O,A,B共线。凸轮上与点A接触的为,图示瞬时凸轮上点 曲率半径为ρA,点 的法线与OA夹角为θ,OA=l。 求:该瞬时AB的速度及加速度。

  40. √ √ √ 解:1、动点(AB杆上A点) 动系 :凸轮O 绝对运动 :直线运动(AB) 相对运动 :曲线运动(凸轮外边缘) 牵连运动 :定轴转动(O轴) 2、 速度

  41. √ √ √ √ √ 沿 轴投影 3、加速度