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第二章 控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型. 2.1 数学模型基础. 2.2 线性系统的微分方程. 2.3 线性系统的传递函数. 2.4 系统的结构图. 2.5 信号流图及梅逊公式. 本章作业. End. 2.1 数学模型基础. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 1. 定义 ： 数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。. 2. 建立数学模型的目的 ● 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。

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第二章 控制系统的数学模型

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  1. 第二章 控制系统的数学模型 2.1 数学模型基础 2.2 线性系统的微分方程 2.3 线性系统的传递函数 2.4 系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式 本章作业 End

  2. 2.1 数学模型基础 2.2 2.3 2.4 2.5 1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。 2.建立数学模型的目的 ●建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。 ●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。

  3. 求解 观察 时间响应 性能指标 线性微分方程 傅氏变换 拉氏反变换 拉氏变换 估算 估算 传递函数 S=jω 计算 频率特性 频率响应 机理建模（分析法）－－本课程介绍 辨识建模（实验法）－－系统辨识课程介绍 3.建模方法 4.常用数学模型 微分方程（或差分方程） 传递函数（或结构图） 频率特性 状态空间表达式（或状态模型）        5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径

  4. R1 i1 (t) uc(t) C1 ur(t) 2.1 2.2 控制系统时域数学模型（机理建模） 2.3 2.4 2.2.3 2.2.2 2.2.4 2.5 2.2.1 微分方程的列写 • 微分方程的列写步骤 1）确定系统的输入、输出变量； 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程； 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 4）变换成标准形式。

  5. k F m f y(t) L R i(t) ur(t) uc(t) C 例2.1图为机械位移系统。 • 解:阻尼器的阻尼力: • 弹簧弹性力: • 试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。 整理得: • 例2.2如图RLC电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程。 • 解: 返回

  6. Qi H Qo A 例２.３液位系统----单容水箱 已知: 流入量 Qi, 流出量 Qo, 截面 A; 液位 H 求: 以 Qi 为输入，H 为输出的系统动态方程式. 解: 根据物质守恒定律 消中间变量Qo, 根据流量公式： 线性关系：　

  7. 线性关系： 非线性关系： 在工作点（H,Q）附近，对微小变化可用线性方程近似，即微小变化之间的关系是线性关系，线性化。

  8. 负载 SM 例２.４机电系统微分方程：电枢电压控制直流电动机 原理：ua ia Mm ωm 运动方程 定子转子电磁作用 电枢回路 电枢回路电压平衡方程

  9. 若以角速度 为输出量、电枢电压 为输入量，消去中间变量Ea 、Mm 、ia(t)，可得到直流电动机的微分方程。 原理：ua ia Mm ωm 运动方程 定子转子电磁作用 电枢回路 电枢回路电压平衡方程 电磁转矩方程 电动机轴上转矩平衡方程

  10. 将方程（2）代入方程（4）得ia(t) 将方程（3）、（5）带入方程（1）得 与 关系

  11. 当电枢回路的电感可以忽略不计，即La= 0 若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，即Ra = 0 ，则上式可进一步简化。

  12. 例２.５速度控制系统的微分方程 控制系统方块图？

  13. 系统输出 系统输入参考量 控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机 运放1 运放2 功放 直流电动机 消去中间变量 减速器（齿轮系） 测速发电机

  14. 控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为

  15. 2.2.1 2.2.3 2.2.4 2.2.2微分方程的类型 • 非线性系统：用非线性微分方程描述。 • 线性系统：用线性微分方程描述。 • 线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。 • 线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。 • 线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即： • 如果输入r1(t)—>输出y1(t)，输入r2(t)—>输出y2(t) • 则输入a r1(t)+b r2(t) —>输出a y1(t)+by2(t)

  16. 2.2.1 2.2.2 2.2.4 2.2.3 非线性元件微分方程的线性化 • 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。 • 小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。 • 一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即 • x=x0+△x, y=y0+△y 二、近似处理 三、数学方法 略去高阶无穷小项

  17. R1 i 1(t) uc(t) C1 ur(t) 2.2.2 2.2.3 2.2.1 2.2.4线性定常微分方程的求解 拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。 • 求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。 例2.3已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t)，求 uc(t) 解： 零初始条件下取拉氏变换：

  18. 2.3 传递函数 2.1 2.4 2.5 2.2 2.3.3 2.3.2 2.3.4 2.3.1传递函数的定义 • 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数 。

  19. L R i(t) ur(t) uc(t) C Ls R I(s) Ur(s) Uc(s) 1/sC 例2.4如图RLC电路， 参见 解:1) 零初始条件下取拉氏变换： 试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s). 传递函数： 2) 变换到复频域来求。 2.3.2、传递函数的性质 1) 传递函数是复变量S的有理真分式函数，分子多项式的次数m 低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数； 2) 传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关； 3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。 5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。

  20. R1 i1 (t) uc(t) C1 ur(t) 例2.5已知R1=1，C1=1F， 1） 解: 1） 求零状态条件下阶跃响应uc(t) ； 2) uc(0)=0.1v， ur(t)=1(t)，求 uc(t) ; 3）求脉冲响应g(t)。 对上式进行拉氏反变换： 2） 3）

  21. j S平面  0 2.3.3 2.3.4 2.3.1 2.3.2传递函数的零点和极点 • 传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式： • 传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分母多项式的根pj称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。 • 零、极点分布图。 • 传递函数分子多项式与分母多 • 项式也可分解为如下形式： • K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。

  22. 2.3.1 2.3.2 2.3.4 2.3.3传递函数的零点和极点对输出的影响 极点决定系统响应形式（模态），零点影响各模态在响应中 所占比重。 • 例2.6具有相同极点不同零点的两个系统 • ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为

  23. 2.3.2 2.3.1 2.3.4典型环节的传递函数 2.3.3 • 比例环节: G(s)=K • 积分环节: G(s)=1/s • 微分环节G(s)=s • 惯性环节: • 一阶微分环节: • 振荡环节 :

  24. R(s) E(s) C(s) G(s) (-) H(s) 2.1 2.2 2.4 系统的结构图 2.5 2.3 例 2.4.2 2.4.1结构图的组成和绘制 结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包括： 信号线：表示信号传递通路与方向。 方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。 比较点：对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。 引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。

  25. R1 i1 (t) uc(t) C1 ur(t) I1(s) Uc(s) Ur(s) 1/sC1 1/R1 (-) 2.4 系统的结构图 • 例2.7绘出RC电路的结构图。 原理：ur i1 uc

  26. R1 R2 i1 i2 ic ui uo u C2 C1 ui i1 ic u i2 uc 2.19 Ui(s) I1(s) I2(s) IC(s) I2(s) U(s) U(s) (-) IC(s) I1(s) (-) (-) U(s) Uo(s) (c) (b) (d) (a) I2(s) Uo(s) I1(s) Ui(s) U(s) Uo(s) (-) IC(s) I2(s) (-) (-) (e) (f) 返回 例2.8绘出图示双RC网络的结构图。 解：由因果关系直接绘出网络对应的复频域图。

  27. 2.4.2 结构图的等效变换和简化 1984年，人类实现了首次太空自由行走，依靠的是一个充着氮气的推进器来控制他的行走。

  28. C(s) R(s) K1 K3 1/IS 1/S 预期位置 实际位置 R(s) K1K3 C(s) 预期位置 实际位置 (-) (-) K2 IS2+K1K2K3S+K1K3 氮气推进器的控制结构图 等效变换的原则：对输入输出变量等效。 表示信号流向 表示传递函数 等效变换

  29. K1 K3 1/IS 1/S (-) (-) R(s) V(s) C(s) G1(s) G2(s) K2 C(s) R(s) R(s) V(s) C(s) 氮气推进器的控制结构图 预期位置 实际位置 G1(s) G2(s) 串联等效 C(s)=V(s)G2(s) =R(s)G1(s)G2(s) 结论：串联结构传函相乘

  30. R(s) C(s) G(s) 1±G(s)H(s) R(s) C(s) E(s) G(s)  B(s) E(s)=R(s) B(s) C(s) R(s) H(s) 预期位置 实际位置 + 前向通路传递函数 1± 开环传递函数 C(s)=[R(s) C(s)H(s)]G(s) 请记住！ + K1K3/IS K1 K3 1/Is 1/S (-) (-) K2 现在大家可以写出串联等效的结果吗？ 氮气推进器的控制结构图 反馈等效 C(s)=E(s)G(s) 记忆： B(s)=C(s)H(s) C(s)±C(s)H(s)=R(s)G(s)

  31. 1+ (-) C(s) R(s) 预期位置 实际位置 K1K3/IS 1+K1K2K3/IS 大家看到这个反馈能否直接写出结果？ K1K3/IS 1/S K1K3/IS (-) K2 氮气推进器的控制结构图 请问，接下来应该如何化简呢？

  32. R(s) C(s) G2(s) G1(s) G6(s) (-) G3(s) (-) G4(s) R(s) C1(s) G5(s) C(s) G2(s) C2(s) G3(s) R(s) C1(s) C(s) G2(s) C2(s) G3(s) 再看一个例子 并联等效 G2(s)+ G3(s) C(s)= C1(s)+ C2(s) = [G2(s)+ G3(s)] R(s) 结论：并联结构传函相加

  33. R(s) C(s) G2(s) G1(s) G6(s) (-) G3(s) (-) G4(s) G5(s) R(s) C(s) G1(s) (G2+G3)G6 (-) (-) C(s) G4(s) R(s) (G2+G3)G6 (G2+G3)G6G1 G1(s) G5(s) 1+(G2+G3)G6(G5-G4) 1+(G2+G3)G6(G5-G4) R(s) C(s) G1(s) (G2+G3)G6 (-) G5－G4

  34. R(s) V(s) C(s) R(s) C(s) G2(s)G1(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) C1(s) G(s) 1±G(s)H(s) C(s) C2(s) R(s) G2(s) (-) C3(s) G3(s) C(s) R(s) G1(s)+G2(s)-G3(s) R(s) E(s) C(s) G(s)  H(s) 结构图的等效变换小结1 • 串联等效 • 并联等效 • 反馈等效

  35. H1 R (-) Y G1 G2 G3 (-) H2 G4 H1 H1 R R (-) (-) Y Y G1 G1 G2 G3 G3 (-) H2 H2 H2 G4 G4 化简方案1 例2.10结构图化简

  36. 1/G3 H1 H1 R (-) Y G1 G3 R (-) Y G1 A G3 B H2 A H2 G4 G4 A

  37. 1/G3 H1 H1 R (-) Y G1 R (-) Y A G3 G1 B B A H2 A 1/G3 H2 G4 G4

  38. H1 R Y R (-) Y G1 B G4 A R 1/G3 Y H2 G4

  39. H1 R (-) Y G1 G2 G3 (-) H2 G4 R Y G3 H2 G4 (b) H2+G3H1 (-) R Y G1 G2 G3 R Y H2 G4 G4 (c) (a) 化简方案2 例2.10结构图化简

  40. C(s) R(s) R(s) C(s) G(s) G(s) C(s) C(s) G(s) R(s) R(s) C(s) C(s) G(s) G(s) R(s) R(s) • 引出点移动： • 1. 引出点前移 • C(s)=G(s)R(s) • 比较点和引出点的移动： 等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。 2. 引出点后移

  41. R(s) C(s) R(s) C(s) G(s) G(s) (-) (-) B(s) B(s) C(s) R(s) R(s) C(s) G(s) G(s) (-) (-) B(s) G(s) B(s) V2(s) R(s) E1(s) C(s) V2(s) V2(s) 或 (-) R(s) C(s) C(s) R(s) V1(s) (-) (-) V1(s) V1(s) 相加点的移动 C(s)=G(s)R(s)-B(s) 1. 相加点前移 2. 相加点后移 C(s)=G(s)[R(s)-B(s)] = G(s)R(s)-G(s)B(s) 3. 交换或合并相加点 C(s)=E1(s)+V2(s) = R(s)-V1(s)+V2(s) = R(s)+V2(s)-V1(s)

  42. H1 R (-) Y G1 G2 G3 (-) H2 G4 R Y G3 H2 G4 (b) H2+G3H1 (-) R Y G1 G2 G3 R Y H2 G4 G4 (c) (a) 2.4.1 2.4.2 (1) 结构图化简方案Ⅰ 返回 例2.10结构图化简

  43. H1+H2/G3 (-) R Y R Y G1 G2G3 H2/G3 H2/G3 G4 G4 (a) (b) R Y H1/G1 (-) R Y G1G2G3 (-) G1G2G3 G4 G4 (b) (a) (2) 结构图化简方案Ⅱ 原电路 (3) 结构图化简方案Ⅲ

  44. Ui(s) Uo(s) (-) I1(s) U(s) IC(s) I2(s) (-) (-) (a) R1 Ui(s) Uo(s) (-) (-) (-) (b) R1 Ui(s) Uo(s) (-) (-) (c) R1 R1C2s C2s Ui(s) Ui(s) Uo(s) Uo(s) (-) (-) (-) (e) (d) 例2.11双RC网络的结构图简化。 返回

  45. G(s) 1±G(s)H(s) 小结 • 串联 • 并联 G1G2 相乘 G1+G2 相加 • 反馈 比较点和引出点移动

  46. R(s) C(s) G(s) (-) H(s) C(s) R(s) G(s) H(s) (-) C(s) R(s) E(s) G(s) H(s) -1 E(s) C(s) R(s) G(s) -H(s) 其它等价法则 1. 等效为单位反馈系统 2. 负号可在支路上移动 E(s)=R(s)-H(s)C(s) =R(s)+(-1)H(s)Cs) =R(s)+[-H(s)]C(s)

  47. Ui(s) Uo(s) (-) I1(s) U(s) IC(s) I2(s) (-) (-) (a) R1 Ui(s) Uo(s) (-) (-) (-) (b) R1 Ui(s) Uo(s) (-) (-) (c) R1 R1C2s C2s Ui(s) Ui(s) Uo(s) Uo(s) (-) (-) (-) (e) (d) 例2.11双RC网络的结构图简化。 返回

  48. Mc’ u1 u2 ua ωm ω ug 运放1 运放2 功放 直流电动机 齿轮系统 - uf 测速发电机 速度控制系统的微分方程 方块图？

  49. 传递函数? 系统输出 系统输入参考量 控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机 运放1 运放2 功放 直流电动机

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