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§8 ． 1 多元函数的基本概念

§8 ． 1 多元函数的基本概念. 一、区域. 邻域、. 内点、开集、边界点、边界. 连通性、区域、闭区域. n 维空间、点的坐标、两点间的距离. 二．多元函数概念. 二元函数的定义、. 值域、二元函数的图形. 三．多元函数的极限. 四．多元函数的连续性. 二元函数连续性定义、. 函数的间断点. 多元连续函数的性质、. 多元初等函数. d. P 0. P 0. 一、区域. 邻域 :. 设 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 是 xOy 平面上的一个点， d 是某一正数．与点

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§8 ． 1 多元函数的基本概念

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Presentation Transcript

  1. §8．1 多元函数的基本概念 一、区域 邻域、 内点、开集、边界点、边界 连通性、区域、闭区域 n维空间、点的坐标、两点间的距离 二．多元函数概念 二元函数的定义、 值域、二元函数的图形 三．多元函数的极限 四．多元函数的连续性 二元函数连续性定义、 函数的间断点 多元连续函数的性质、 多元初等函数

  2. d P0 P0 一、区域 邻域: 设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，d 是某一正数．与点 P0(x0，y0)距离小于d 的点P(x，y)的全体，称为点P0(x0，y0)的邻 域，记为U(P0，d )或U(P0)，即 U(P0，d ) {P | |PP0|<d } 去心邻域： U(P0，d )

  3. E E P P 边界 ：x2 +y21和x2y24 内点： 设E是平面上的一个点集，P是平面 上的一个点． 如果存在点P 的某一邻域 U(P)，使U(P)E，则称P为E的内点， 开集： 如果点集E的点都是内点， 则称E为开集． 开集： E{(x，y)|1<x2 +y2<4} 边界点、边界： 如果点P的任一邻域内既有 属于E的点，也有不属于E的点， 则称P点为E的边点． E的边界点的全体称为E的边 界．

  4. E2 E1 P1 E3 P2 P1 P2 连通性： 设D是开集．如果对于D内 任何两点，都可用属于D的折线 连结起来，则称开集D是连通的． 区域： E1和E2都是连通的． 连通的开集称为区域或开区 域． D = E1E2是不连通的． E1和E2都是区域． 闭区域： D = E1E2是不区域． 开区域连同它的边界称为闭 区域． E3是闭区域．

  5. E 有界点集和无界点集： 对于点集E如果存在正数K，使一切点PE与某一定点A间的 距离|AP|不超过K，即 |AP|K 对一切PE与成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集． 例如 E={(x，y)|1≤x2y2≤4}是有界的， {(x，y)|x2y21}是 无界的．

  6. n维空间： 设n为取定的一个自然数，则称有序n元数组(x1，x2，··· ，xn) 的全体为n维空间，记为Rn． n维空间中点： 每个有序n元数组(x1，x2，··· ，xn)称为n维空间中的一个点． 点的坐标： 数xi称为点(x1，x2，··· ，xn)的第i个坐标． 两点间的距离： n维空间中两点P(x1，x2，··· ，xn)及Q(y1，y2，··· ，yn)间的距 离规定为

  7. y x O 二．多元函数概念 二元函数的定义： 设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变 量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为 z=f(x，y)(或z=f(P)) 其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量． 例 函数z=ln(x+y)的定义域为 {(x，y)|x+y>0}(无界开区域)； x+y=0

  8. y x O 二．多元函数概念 二元函数的定义： 设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变 量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为 z=f(x，y)(或z=f(P)) 其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量． 例 函数z=ln(x+y)的定义域为 {(x，y)|x+y>0}(无界开区域)； x2y2=1 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 {(x，y)|x2y21}(有界闭区域)．

  9. z M0 O y y0 x0 x 值域： {z|z=f (x，y)，(x，y)D} 二元函数的图形： 点集{(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D}称为二元函数zf(x，y) 的图形． 二元函数的图形是一张曲面． 例 z=a x+by + c是一张平面，

  10. y O x 由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)是中心在原点，半径 为a的球面．它的定义域为 D ={(x，y)|x2y2a 2}． 由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)有两个：

  11. 三．多元函数的极限 二重极限的定义： 设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是 D的内点或边界点．如果对于任意给定的正数e 总存在正数d， 使得对于适合不等式 的一切点P(x，y)D，都有 |f (x，y)A|<e 成立，则称常数A为函数f (x，y)当xx0，yy0时的极限，记为 或f(x，y)A (r0) ， 这里r|PP0|．

  12. z A M0 O y y0 x0 P P P0 P P x

  13. x2y2， 则当 时，总有

  14. 必须注意： (1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无 限接近于A (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值， 则函数的极限不存在． 例 当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为零， 当点P(x，y)沿直线y=kx 趋于点(0，0)时

  15. z O y P0 x

  16. 解

  17. 四．多元函数的连续性 二元函数连续性定义： 设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0) D．如果 则称函数f (x，y)在点P0(x0，y0)连续． 函数f (x，y)在区域(开区域或闭区域)D内连续： 是指函数 f (x，y)在D内每一点连续．此时称f (x，y)是D内的连续函数． 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去．

  18. 函数的间断点： 若函数f(x，y)在点P0(x0，y0)不连续，则P0称为函数f(x，y)的 间断点． 注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点． 例 f(x，y) 点(0，0)是f(x，y)的间断点； x2y21上的点是其间断点．

  19. z O y P0 x

  20. 性质1 (最大值和最小值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和 最小值． 性质2 (介值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不 同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少 一次． 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续 函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数．

  21. 多元初等函数： 是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元 多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构 成的． 例如sin(x+y)是由sin u与u=x+y复合而成的，它是多元初等 函数． 结论： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．

  22. 用函数的连续性求极限： 如果f(P)是初等函数，且P0是f(P)的定义域的内点，则 它的定义域为 D{(x，y)| x0，y0}，点(1，2)是D的内点，函数f(x，y)在 (1，2)是连续的，所以

  23. 解

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