הסתברות

1. הסתברות

2. סימונים מרחב מדגם כל התוצאות האפשריות של ניסוי דוגמאות למרחב מדגם: • זריקת קוביה S={1,2,3,4,5,6} • זריקת מטבע S={H,T} • זריקת מטבע פעמיים S={HH,HT,TH,TT} • מין העובר {זכר, נקבה} S= • סוג דם של אדם A, B, AB, O}} S=

3. 1 1 2 3 3 4 5 5 6 מושגים מתורת הקבוצות מאורע תת קבוצה של מרחב המדגם S={1,2,3,4,5,6} מאורע A:המספרים האי זוגיים: A={1,3,5} A הוא תת קבוצה של S: AS

4. מאורע A = קבלת "עץ" אחד בדיוק בהטלת מטבע פעמיים S= A={ ___________ } {HH,HT,TH,TT} HT,TH

5. S B A דיאגרמת וון כלי לתיאור יחסים בין קבוצות

6. B A דוגמאות 1. מרחב המדגם: S={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5} B={2,4} 1,3,5 2,4 6

7. 2. מרחב המדגם: S={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5} B={1,2,4} 3,5 2,4 1 B A 6

8. המשלים של מאורע - המשלים של מאורע A. כולל את כל התוצאות של S שאינן ב-A. מסומן גם על ידי Ac S A

9. S A דוגמאות 1. S={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5} 1,3,5 2,4,6 {2,4,6} __________

10. S A 2. S={1,2,3,4,5,6} A=  S

11. S B A איחוד קבוצות איחוד של קבוצות A ו B • כל התוצאות שנמצאות ב Aאו ב B • מה ששיך ל A, ל B, או לשניהם דוגמת הקוביה: S={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5} B={1,2} 3,5 2 1

12. S A B חיתוך של קבוצות החיתוך של קבוצות A ו B • כל התוצאות ששייכות גם ל A וגם ל B. • המאורע שבו קורים גםAוגםB דוגמת הקוביה: S={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5} B={1,2} 3,5 1 2

13. B A קבוצות זרות A ו B זרים אם

14. תירגול דיאגרמת וון לתרופה מסויימת עשויות להיות שתי תופעות לוואי – כאבי ראש וסחרחורות. במדגם של 100 אנשים שלקחו את התרופה התקבלו התוצאות הבאות:15 אנשים ענו "כן" לשאלה: האם סבלת מכאבי ראש בעקבות נטילת התרופה?" 10 אנשים ענו "כן" לשאלה: האם סבלת מסחרחורות בעקבות נטילת התרופה?" 5 אנשים ענו "כן" לשאלה: האם סבלת מגם מכאבי ראש וגם מסחרחורות בעקבות נטילת התרופה?" שרטטו דיאגרמת וון המתארת את נתוני המדגם 80 A -כאבי ראש B-סחרחורות Ac∩Bc Ac∩B A∩Bc 5 5 10 A∩B 10 A∩Bc= כמה אנשים סבלו מכאבי ראש בלבד בעקבות נטילת התרופה? 80 Ac∩Bc= כמה אנשים לא סבלו מכאבי ראש ולא מסחרחורות בעקבות התרופה?

15. אם כל המאורעות במרחב המדגם S שווי הסתברות אז ההסתברות של מאורע A היא: חישוב הסתברות של מאורעות מספר הפריטים ב-A מספר הפריטים ב-S

16. דוגמא: S={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3} מהי ההסתברות של מאורע A? P(A) = 3/6 = 0.5

17. דוגמא: לתרופה מסויימת עשויות להיות שתי תופעות לוואי – כאבי ראש וסחרחורות. במדגם של 100 אנשים שלקחו את התרופה התקבלו התוצאות הבאות:15 אנשים ענו "כן" לשאלה: האם סבלת מכאבי ראש בעקבות נטילת התרופה?" 10 אנשים ענו "כן" לשאלה: האם סבלת מסחרחורות בעקבות נטילת התרופה?" 5 אנשים ענו "כן" לשאלה: האם סבלת מגם מכאבי ראש וגם מסחרחורות בעקבות נטילת התרופה?" A -כאבי ראש B-סחרחורות 80 Ac∩B 10 5 5 מהי ההסתברות שאדם הנבחר באקראי מתוך 100 האנשים שקיבלו את התרופה יסבול מכאבי ראש בלבד בעקבות נטילת התרופה? מספר הפריטים ב- 10 = = 0.1 מספר הפריטים ב- S 100 מהי ההסתברות שאדם הנבחר באקראי מתוך 100 האנשים שקיבלו את התרופה לא יסבול מכאבי ראש או מסחרחורות בעקבות התרופה? מספר הפריטים ב- 80 = = 0.8 מספר הפריטים ב- S 100

18. הסתברות – שכיחות ב"טווח הארוך" זריקת מטבע: השכיחות היחסית של הופעת מאורע A תתקרב להסתברות של מאורע A ככל שמספר הנסיונות עולה (בתנאי שהנסיונות בלתי תלויים זה בזה)

19. חוקי הסתברות 1. הסתברות היא תמיד בין 0 ל- 1 לכל מאורע A

20. 2. סכום כל התוצאות האפשריות של ניסוי הוא 1 דוגמא: התפלגות סוגי הדם (בארצות שונות) א. מהי ההסתברות למצוא אדם עם סוג דם +A בישראל? ב. מהי ההסתברות למצוא אדם עם סוג דם +A בהודו? 22.1% 34% S= {O+ A+ B+ AB+ O- A- B- AB-} P(A+)= 1-(.32+.17+.07+.03+.04+.02+.01)=1-.643=.34 P(A+)= 1-(.365+.309+.064+.02+.008+.011+.002)=1-.779=.221

21. 3. ההסתברות שמאורע לא יקרה שווה ל-1 פחות ההסתברות שהמאורע יקרה דוגמא: התפלגות סוגי הדם בישראל מהי ההסתברות למצוא אדם עם סוג דם שאינו +O בישראל?

22. חוק האדיטיביות B B A A

23. כאשר A ו B זרים B A

24. דוגמאות לחוק האדיטיביות 1. דוגמת הקוביה: A={1,3} B={1,4,6} A B 3 1 4,6 2,5

25. 2. לתרופה מסויימת עשויות להיות שתי תופעות לוואי – כאבי ראש וסחרחורות. במדגם של 100 אנשים שלקחו את התרופה התקבלו התוצאות הבאות: 15 אנשים ענו "כן" לשאלה: האם סבלת מכאבי ראש בעקבות נטילת התרופה?" 10 אנשים ענו "כן" לשאלה: האם סבלת מסחרחורות בעקבות נטילת התרופה?" 5 אנשים ענו "כן" לשאלה: האם סבלת מגם מכאבי ראש וגם מסחרחורות בעקבות נטילת התרופה?" A – סבל מכאבי ראש B – סבל מסחרחורות חשבו את הסיכוי שאדם הנבחר באקראי מתוך קבוצת הנבדקים יסבול מתופעות לוואי A -כאבי ראש B-סחרחורות 80 10 5 5 צריך למצוא את

26. A and B הסתברות של חיתוך מאורעות בלתי תלויים שני מאורעות נקראים בלתי תלויים אם ידיעת האחד אינה משנה את ההסתברות של המאורע השני אם A ו B בלתי תלויים .

27. דוגמאות • ההסתברות שחולה רגיש לפניצילין היא 0.2. נניח שנותנים פניצילין ל-2 חולים. מהי ההסתברות ששניהם אלרגיים לפניצילין? תשובה A – חולה מספר 1 רגיש לפניצילין B – חולה מספר 2 רגיש לפניצילין P(A)= 0.2 P(B)= 0.2 2 המאורעות בלתי תלויים מכיוון שהידע שאחד החולים רגיש לפניצילין אינו משנה את ההסתברות שהחולה השני יהיה רגיש לפניצילין. A ו B בלתי תלויים

28. נותנים את התרופה ל-3 אנשים • מהי ההסתברות ששלושתם אלרגיים? • מהי ההסתברות ששלושתם לא אלרגיים? • מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם אלרגי? תשובה Ai-אדם i אלרגי לפניצילין (a) (b) (c) 0.23=.008 0.83=.512 = .2(.8)(.8) + .2(.8)(.8) + .2(.8)(.8) = .384

29. מטילים מטבע הוגן 6 פעמים. לאיזה מן הרצפים הבאים יש ההסתברות הגבוהה ביותר? • HHTHTT • HHHHHH • HTTTTH • TTTHHH • הסתברות שווה לכל הרצפים הנ"ל

30. הסתברות מותנית המאורע המותנה הופך להיות מרחב המדגם החדש: S A B ניתן לכתוב את הנוסחה גם באופן הבא: וגם באופן הבא:

31. נשים לב ש: כאשר A ו B בלתי תלויים: אך ראינו גם ש: מה נובע משתי הנוסחאות? אם A ו B בלתי תלויים אז:

32. דוגמא להסתברות מותנית מבין הגברים יש כ 9% עוורי צבעים. מבין הנשים יש כ 0.45% עיוורות צבעים. הניחו שיש אחוז שווה של גברים ונשים באוכלוסיה. נבחר באקראי אדם מהאוכלוסיה: • א. מהי ההסתברות שהוא גם גבר וגם עיוור צבעים? • M – גבר • C – עיוור צבעים • נתון: • ב. מהי ההסתברות שהוא גם אישה וגם עיוורת צבעים?

33. ג. מהו המאורע המשלים ל- • ד. מהו המאורע המשלים ל- • ה. מהו המאורע המשלים ל- C M • ו. ידוע שנבחר עיוור צבעים. מהי ההסתברות שהוא גבר?

34. נוסחת ההסתברות השלמה ניזכר ש: ולכן ניתן לכתוב את הנוסחה גם באופן הבא:

35. חזרה לדוגמת עיוורון הצבעים מבין הגברים יש כ 9% עוורי צבעים. מבין הנשים יש כ 0.45% עיוורות צבעים. הניחו שיש אחוז שווה של גברים ונשים באוכלוסיה. נבחר באקראי אדם מהאוכלוסיה: • ידוע שנבחר עיוור צבעים. מהי ההסתברות שהוא גבר? • M – גבר • C – עיוור צבעים • נתון: =

36. האם יש תלות בין עיוורון צבעים לבין מגדר? • אם עיוורון צבעים אינו תלוי במגדר אז: עיוורון צבעים ומגדרתלויים • ניתן גם לבדוק האם עיוורון צבעים ומגדרתלויים

37. דוגמא: בדיקה לזיהוי HIV בדיקה מסויימת לזיהוי HIVיוצאת חיובית אצל 99.7% מבין נשאי הווירוס. הבדיקה יוצאת שלילית אצל 99.8% מהאנשים הבריאים. נתון גם: מהי ההסתברות שהבדיקה תראה תוצאה חיובית אצל אדם החי בארצות הברית? פתרון: P- הבדיקה נתנה תוצאה חיובית HIV- לאדם יש HIV נתון: חזרה לעמוד 45

38. מהי ההסתברות שהבדיקה תראה תוצאה חיובית אצל אדם החי בדרום אפריקה? פתרון: P- הבדיקה נתנה תוצאה חיובית HIV- לאדם יש HIV נתון:

39. אדם בארצות הברית ביצע את הבדיקה וקיבל תוצאה חיובית. מהי ההסתברות שלאדם זה יש איידס? פתרון: P- הבדיקה נתנה תוצאה חיובית HIV- לאדם יש HIV נתון: חזרה לעמוד 43

40. מבין האנשים שיש להם את נגיף ה-HIV 74.8% הם גברים. שכיחות הגברים באוכלוסיה הבריאה היא 50%. נבחר אדם באקראי (בארצות הברית) ונמצא כי הוא גבר. מהו הסיכוי שיש לו את נגיף ה-HIV? פתרון: M- גבר HIV- לאדם יש HIV נתון:

41. דוגמא: הריון חוץ רחמי ועישון הסיכוי להתפתחות היריון חוץ-רחמי אצל מעשנת כפול מאשר אצל לא-מעשנת. אם 32% מהנשים בגיל הפוריות מעשנות, מהו אחוז המעשנות בקרב הנשים שהריונן חוץ-רחמי? EP- הריון חוץ רחמי S- מעשנת נתון:

42. דוגמא למאורעות תלויים בדיאגרמת וון גרד כאבי בטן 0.1 0.4 0.1 לתרופה עשויות להיות שתי תופעות לוואי כאבי בטן, גרד בסיכוי 0.2 ו- 0.5 בהתאמה. יש סיכוי של 0.1 לפתח את שתי התופעות יחד. האם פיתוח כאבי בטן וגרד בעקבות התרופה תלויים? =(כאבי בטן)P 0.2 0.1 =(גרד|כאבי בטן)P = 0.2 0.5

43. דיאגרמת עץ לפתרון בעיות הסתברות B A Bc B Ac Bc

44. דוגמא: בדיקה לזיהוי HIV בדיקה מסויימת לזיהוי HIV יוצאת חיובית אצל 99.7% מבין נשאי הווירוס. הבדיקה יוצאת שלילית אצל 99.8% מהאנשים הבריאים. הניחו ששכיחות HIV היא 0.45%. אדם ביצע את הבדיקה וקיבל תוצאה חיובית. מהי ההסתברות שלאדם זה יש איידס? P- הבדיקה נתנה תוצאה חיובית HIV- לאדם יש HIV

45. דיאגרמת עץ 0.004491 0.004491+ 0.001991 = P(HIV and P)=.0045×.997=0.004491 P .997 HIV .003 .045 Pc .9955 P(HIVcand P)=.9955×.002= 0.001991 P .002 HIVc .998 Pc

46. נפתור את דוגמת עיוורון הצבעים בעזרת דיאגרמת עץ • מבין הגברים יש כ 9% עוורי צבעים. מבין הנשים יש כ 0.45% עיוורות צבעים. הניחו שיש אחוז שווה של גברים ונשים באוכלוסיה. נבחר באקראי אדם מהאוכלוסיה. 1. מהי ההסתברות שהוא גבר עיוור צבעים? • M – גבר • C – עיוור צבעים P(גברand עיוור צבעים)=.5×.09=0.045 C 0.09 M 0.5 .91 0.5 C 0.0045 .9955

47. 2. מהי ההסתברות שהוא עיוור צבעים? P(עיוור צבעים)= 0.045+0.00225= P(גברand עיוור צבעים)=.5×.09=0.045 C 0.09 M 0.5 .91 P(אישהand עיוור צבעים)=.5×.0045=0.00225 C 0.5 0.0045 .9955

48. 3. נתון שיצא עיוור צבעים. מהי ההסתברות שזוהי אישה? 0.00225 = C 0.09 M 0.5 .91 P(אישהand עיוור צבעים)=.5×.0045=0.00225 C 0.5 0.0045 .9955

49. שאלה ממבחן • לתרופה מסויימת עלולות להיות תופעות לוואי בהסתברות 0.3. התרופה ניתנת ל-5 אנשים. מצאו את ההסתברות שבדיוק 2 מהם יסבלו מתופעות הלוואי. Ai-אדם i סובל מתופעות לוואי 0.3×0.3×0.7×0.7×0.7= 0.03087*10=0.3087 נוכל לפתור שאלות מסוג זה בעזרת ההתפלגות הבינומית

50. p(x) x ההתפלגות הבינומית התפלגות עבור p=0.5 50