大规模孔群加工路径 优化问题的研究

1. 大规模孔群加工路径优化问题的研究 清华大学 无94班 姜蔚蔚 魏凌 屠环宇

2. 主要内容 问题重述与剖析 数学模型建立 数学模型求解 结果分析与思考 模型评价与推广 致谢

3. 问题重述和剖析 1. 问题重述 问题背景： 孔群加工在电路板制造中所占的比重较大，直接影响了生产的效率。 人们经常只关注如何提高每个孔的加工时间，却忽视了刀具移位，换刀等辅助时间。 研究内容： 规划大量孔群的加工过程中的线路，以达到所费成本或者所耗时间最少，从而提高打孔机的生产效率。

4. 问题重述和剖析 2. 问题剖析 数学优化问题 决策参量： 刀具行进路程 刀型转换时间 优化目标： 作业时间最短 作业成本最低 二者结合 其他目标。。。 约束条件： 电路板上各个过孔以及打孔机8种刀具的排布 10种孔型所需加工刀具及加工次序的要求 双钻头最小间距的限制

5. 问题重述和剖析 3. 问题本质 路线搜索，图结构，TSP问题 精确算法： 动态规划法 分支定界法 构建型算法： 贪心法，插入法，生成树法 Clarke-Wright法，Christofides法 改进型算法： r-opt法，Lin-Kernighan法，多级算法 启发型算法： 模拟退火法，禁忌搜索法，遗传算法 神经网络法，蚁群算法，免疫算法

6. 问题重述和剖析 4. 问题的特殊性 不同于一般的旅行商问题 建模复杂度 数据量巨大 组合爆炸 多目标函数优化问题 协调和折中处理 明确的实际产业背景 理论和工程思想结合 尽可能目标最优 Vs 成本，效率，可行性，稳定性

7. 问题重述和剖析 5. 我们的研究 提出具有普适性的数学模型，与实际问题相当符合 将原问题转换为几个简单的子问题的分治思想为解决大数据量的优化问题提供了一种思路 细心观察，抓住问题关键，规划刀具转换顺序 基于贪心思想的近似最优算法，求解优化问题 充分挖掘多钻头协作作业的优势 研究优化目标、约束条件等的选取，为实际生产过程提供参考

8. 数学模型的建立 1. 实际问题的数学描述 • 对于第i个孔，其位置记作，所需刀具记为k， • ，k的元素选取是孔型而 • 定，，这样用刀具ki加工第i个孔的操作就可以记 • 为 • 孔i和孔j之间取欧几里得距离 • 行进速度v1=180mm/s，孔i到孔j的行进时间 • 单位行进成本c1=0.06元/mm，孔i到孔j的行进成本为

9. 数学模型的建立 • 刀具转换时间矩阵为 1. 实际问题的数学描述 其中t=18s • 刀具转换单位时间成本c2=7元/min，刀具转换成本矩阵

10. 数学模型的建立 • 孔i用刀具ki加工完到孔j用刀具kj加工的过程中， • 成本 • 时间 2. 优化模型 • 权重或 • 或者两者的某种组合。 • 决策变量

11. 数学模型的建立 • 我们的优化目标为： 2. 优化模型 subject to

12. 数学模型的建立 • 对于加工次序的要求，x初始值均设为0，当被加入 • 路径后设为1.到某一时刻t，如果对于某一个j， • 必须在之前完成的话，那我们就设 2. 优化模型

13. 数学模型的建立 3. 双钻头建模 • 对于双钻头，设两个决策变量分别代表钻头1和钻头2， • ，并且有 • 优化目标

14. 数学模型的建立 • subject to 3. 双钻头建模 （S1, S2分别为钻头一和钻头二的所有加工步骤）

15. 数学模型的建立 • 考虑加工次序时需要考虑两个钻头的共同作用 3. 双钻头建模

16. 数学模型的建立 • 考虑合作间距时，合作间距为3cm，记为dt。 • 两条路径的计时分别为t1,t2,对应的位置为 3. 双钻头建模

17. 数学模型的求解 1. 综述 我们的目标： 细致分析并紧密结合实际问题的特点和性质 利用分治思想和贪心思想高效处理大数据 路径交换策略，尽可能逼近全局最优解

18. 数学模型的求解 2. 问题的数据挖掘和算法理论分析 估算问题最小成本与最小时间的上下界 放缩，取消刀具顺序限制，转换为对称无向图 Kruskal算法得到最小生成树 成本为673.3，时间为189.2s 刀具转换至少需要增加2次 成本下界为677.5，时间下界为225.2s 满足三角不等式的TSP问题的上界 SANJEEV ARORA Polynomial Time Approximation Schemes for Euclidean Traveling Salesman and Other Geometric Problems 成本上界为1009.5，时间上界为337.5s

19. 数学模型的求解 2. 问题的数据挖掘和算法理论分析 刀头移动和刀具转换的时间和成本分析 单次转换刀具的时间为18s 8种刀具，E孔刀具顺序为c,f；J孔刀具顺序为f,c。 故刀具转换次数至少9次，用时至少T=9*18=162s 刀具转换的时间代价远大于行进路程带来的时间影响 尽量减少转换次数，是这个问题的特点和求解的关键 最优刀具转换顺序： d -- c -- b -- a -- h -- g -- f -- e -- c

20. 数学模型的求解 2. 问题的数据挖掘和算法理论分析 刀头移动和刀具转换的时间和成本分析 分治思想以及转换最少的原则，问题分解 用各个子问题的最优解组合出原问题的方案 刀具内部用最小生成树预估下界 总时间下界为227.7413s，成本下界为728.906

21. 数学模型的求解 2. 问题的数据挖掘和算法理论分析 刀头移动和刀具转换的时间和成本分析 成本C和时间T：刀头行进部分和刀具转换部分之和 刀具在转换的过程中可以同时进行行进，但成本是二者的叠加 减少总成本有两个途径： 尽量减少总时间 尽量减少刀具转换时刀头行进的距离

22. 数学模型的求解 2. 问题的数据挖掘和算法理论分析 刀具内部寻优策略 精确算法： 复杂度太高 启发式算法：无法和问题特点相结合，计算量大 贪心思想的不同角度探索： 贪心法：对下一步选取的结点的贪心 插入法：对下一步插入位置的贪心 生成树法：对下一步选取边的贪心 刀具间连接寻优策略 先找内部最优路径，再寻找刀具间连接路径最佳匹配 先确定连接路径，再进行内部寻优

23. 数学模型的求解 3. 基于贪心思想的构建型算法 贪心法 打孔顺序（按刀具顺序dcbahgfec ） （1）以一个点出发，在地图上寻找离它“距离”最近的点加入路径； （2）将新加入的点作为起点，直到图上没有点剩余

24. 数学模型的求解 3. 基于贪心思想的构建型算法 插入法 遍历新孔，选择对已有路径增益最小的位置进行插 入 改进： 尝试以不同的点作为起始点

25. 数学模型的求解 3. 基于贪心思想的构建型算法 把该问题看做一个特殊的生成树， 同样要求联通性和无回路性， 但树的每个节点只有两条边，即度为2，这样最小生成树退化为最小生成链 最小生成树法 思路一： 先采用prim算法生成最小生成树 然后保留最小生成树的主干（最深路径） 将分叉插入主干中，转化为链式结构 改进：计算权重时考虑新顶点带来入度和出度的变化

26. 数学模型的求解 3. 基于贪心思想的构建型算法 把该问题看做一个特殊的生成树， 同样要求联通性和无回路性， 但树的每个节点只有两条边，即度为2，这样最小生成树退化为最小生成链 最小生成树法 思路二： 改进Kruscal算法，每次选择图中最短的边 同时必须满足不破坏链表结构 （即每个点的度不超过2，同时不构成环）

27. 数学模型的求解 3. 基于贪心思想的构建型算法 最小生成树法 思路三：考虑选取边的三个准则 1. “长度”尽量小 2. 如果不选这条边而选其他边所必须增加的长度 3. 如果选择这条边，那么这条边连接的两个顶点显然损失了选择各自边的自由度 按照这三个准则计算出每个结点的权重，代表着他们各自的竞争力 每次选择竞争力最大的节点对应的那条边

28. 数学模型的求解 4. 基于交换思想的改进型算法 三种交换：对路径的进一步优化处理 路线上任两个结点之间的交换 某个结点插入到另两个结点之间 相邻四个结点的全排列 较低的复杂度较高的交换成功概率

29. 数学模型的求解 5. 双钻头理论分析 钻头分工和刀具转换策略 双钻头需要刀具9种（包含重复的一种） 至少需要转换7次 唯一需要考虑的是E型孔(c,f)的顺序要求： 钻头1中最后一个f刀具先打G型孔，再打E型孔 钻头2中的c刀具先打E型孔，再打其他所需孔型孔

30. 数学模型的求解 5. 双钻头理论分析 合作间距的限制及冲突处理 • 在判断下一步的行进路线时加入该限制，在生成最优路径的同时就使其满足合作间距 • 该方法需要严格按照时间轴生成路径 • 每个钻头先分别生成一条最优路径，沿路径按时间顺序遍历，当遇到冲突时，进行局部的调整 • 该方法适用于所有方法

31. 数学模型的求解 5. 双钻头理论分析 时间的同步性 通过各个钻头总时间来判断下一次循环该由谁来行进 如果第一个钻头的总时间大于第二个钻头的总时间，则第二个钻头进行下一次循环的行进 基本保证两个钻头能同时运转，保持时间上的同步

32. 数学模型的求解 6. 双钻头两种不同的算法思路 贪心法 打孔顺序 在行进中选取点时，先判断是否满足合作间的要求

33. 数学模型的求解 6. 双钻头两种不同的算法思路 贪心法 冲突解决：分类处理，回退机制 如果是刀头1没有孔可以行进，则等待刀头2行进， 待冲突解决以后刀头1再行进； 如果是刀头2没有孔可以行进，则让刀头1回到上一步，然后等待刀头2经过冲突孔后刀头1再行进。

34. 数学模型的求解 6. 双钻头两种不同的算法思路 插入法 打孔顺序 两个钻头先按照单钻头的插入法生成两条路径，再进行合作间距的检查

35. 数学模型的求解 6. 双钻头两种不同的算法思路 插入法 冲突解决：分类处理，回退机制 如钻头1的时间小于钻头2的时间，则应该钻头1进行下一步。此时判断钻头1的下一步的位置与钻头2的当前位置是否满足合作间距。 若不满足，则钻头1不进行下一步，而是等待钻头2进行下一步之后再进行判断。 如果钻头2的下一步与钻头1的当前步也冲突，则让钻头1回退一步。

36. 结果分析与思考 1. 贪心法，插入法，最小生成树法的比较 复杂度： 最优结果： 复杂度较高的最小生成树法的结果明显要优于两个复杂度较低的算法，但是计算花费的时间更多。

37. 结果分析与思考 2. 分治思想合理性验证 以贪心法为例： 尽管分刀具是对原问题的一种近似和简化，但实际上的结果反而明显优于不分刀具的情况。 分刀具实际上是对全局的一种分治和统筹规划。 分治思想对于该问题的近似求解是关键的。

38. 结果分析与思考 3. 钻头数分析 以插入法为例 成本最优的情况下： 时间最优的情况下： 双钻头总成本增加，总耗时比单钻头的一半略有减少 实际选择钻头数时，要根据需求进行成本和耗时的权衡

39. 结果分析与思考 4. 钻头最小间距分析 以插入法时间最优的情况为例： 插入法中，路径在没有考虑冲突的情况下已经生成 冲突主要影响总时间，而成本相对稳定 最小间距的限制进一步加强，可能加重钻头堵塞现象。

40. 结果分析与思考 5. 误差分析 模型误差 孔大小，深度，材质等差异，环境因素 为降低规模，用分治思想按刀具拆分为多个子问题 局部最优逼近整体最优 双钻头的时间同步性问题 合作间距限制的处理

41. 模型评价与推广 1. 我们的优势及特色 数学建模多目标，多约束，多决策变量 多约束： 充分考虑题目中所有约束条件，没有做任 何不必要的简化，与实际情况非常贴合 多决策变量： 不仅考虑加工路径长度，还有效地利用了各种其他因素的影响 多目标： 通过寻找多个优化目标之间的联系，从理论和实际层面进行分析和权衡

42. 模型评价与推广 1. 我们的优势及特色 求解算法 细致分析问题，将模型简化为经典的满足 三角不等式的TSP问题 大量文献调研，细致研究各种算法 结合本题的数据量及问题实际背景，综合考虑了算法复杂度，效率和成本，稳定性和扩展性 借助分治思想，贪心思想，交换思想等设计近似算法，相比于启发式算法更能结合问题本身

43. 模型评价与推广 1. 我们的优势及特色 双钻头 充分利用两个钻头的优势，合理安排刀具顺序，使得转换次数最少，优化打孔时间 充分考虑合作间距影响，提出两种冲突处理的办法，并在实例的验证过程中达到理想的效果 结果 通过实例验证了建模和求解的可行性和正确性， 在短时间内得到近似最优解

44. 模型评价与推广 2. 研究中其他的考虑 局部最优陷阱的处理 路径改进算法的更多尝试 模拟退火算法 对于孔群分布情况的整体认识 聚类思想的引入 时间最优和成本最优的权衡

45. 模型评价与推广 3. 模型的推广和应用 实际孔群加工问题 影响因素： 不同刀具加工成本，刀具寿命和更换成本， 过孔孔径大小要求 目标函数： 加工误差最小，设备损耗最低，利润最大 …… 各种应用场合 仪器及车间的最优调度问题；邮递员路径问题；车辆运输路径规划问题 ……

46. 谢谢！ 清华大学 无94班 姜蔚蔚 魏凌 屠环宇