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级数. 函数项级数的微积分性质. 函数项级数的微积分性质. 函数项级数的连续性 函数项级数积分换序 ( 逐项积分 ) 函数项级数的可微性 ( 逐项求导 ) 若必要 , 为了记号上的简单 , 仍以 为区间的情形来叙述相关的结果. 函数项级数的连续性. 设 u n C(). 如果 u n 在上一致收敛 , 则函数 在上连续 . 证明 这是极限定理的直接推论 #. 函数项级数逐项积分 (I). 设 u n L().||<. 如果 u n 在上一致收敛 . 则 =u n L(), 且

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级数

函数项级数的微积分性质

slide2
函数项级数的微积分性质
  • 函数项级数的连续性
  • 函数项级数积分换序(逐项积分)
  • 函数项级数的可微性(逐项求导)
  • 若必要,为了记号上的简单,仍以为区间的情形来叙述相关的结果
slide3
函数项级数的连续性
  • 设unC(). 如果un在上一致收敛,则函数

在上连续.

  • 证明 这是极限定理的直接推论#
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函数项级数逐项积分(I)
  • 设unL().||<. 如果un在上一致收敛.

则=un L(), 且

  • 证明: 由un在上一致收敛,  N>0,

使得当nN时

slide5
逐项积分(I)证明(续)

因此由||<可知=un L()

所以

slide6
||=时的反例
  • =[0,), ,

n在上一致收敛到零函数而相应的积分列

slide7
函数项级数逐项积分(II)
  • 设un在上非负可测.则
  • 设un在上可测,且|un|L().则=un L(), 且
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函数项级数逐项求导(I)
  • 设开,un, un/xkC(), un 在上处处收敛,

un/xk在上一致收敛, 则

因此

slide9
逐项求导(I)的证明
  • 取定x, 由开, 存在h>0, 连接x-hek和x+hek

的线段L含在内,则对于yL,由微积分基本定理

slide10
逐项求导(I)的证明(续1)

注意un/xk在L上一致收敛,因此

slide11
逐项求导(I)的证明(续2)

注意un/xk在L上是yk的连续函数,由微积分

基本定理就得到结果#

slide12
函数项级数逐项求导(II)
  • 设开,un在上有偏导数un/xk, un 在上处

处收敛,un/xk在上一致收敛, 则

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逐项求导(II)的证明
  • 为记号简单考虑一维情况,取定x,由开,

存在>0, L=[x-,x+], 设|h|<, 记=un考虑

差商

下面只要证明右边的级数关于h在 [-,]\{0}上

一致收敛就够了.

slide14
逐项求导(II)的证明(续1)

任取>0,由dun/dx在L上一致收敛, N,n>N,

m>0,

因此当n>N,m>0时

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导函数列或级数不一致收敛的反例
  • 考虑函数列:
  • 其极限函数:
  • 导数函数列:
  • 其极限函数:
  • 导函数列在(0,)上不一致收敛:
slide17
级数定义的函数例1
  • Riemann的(Zeta)函数:

在(0,)上有任意阶导数.

  • 解:只要证明>0,

在[1+,)上都一致收敛就够了(习题)#

slide18
级数定义的函数例2
  • Riemann的函数的积分形式:

解:只要利用几何级数和Levi定理就够了