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~ ファジィ解析における微分とその意思決定および金融工学への応用 ~

Differentiation in Fuzzy Calculus and its Applications to Decision Making and Financial Engineering. ~ ファジィ解析における微分とその意思決定および金融工学への応用 ~. 東京工業大学 大学院総合理工学研究科 知能システム科学専攻社会人博士課程修了 戒　野　敏　浩 （現在：青山学院大学助教授）. 1 ﾌｧｼﾞｨ関係の Y-CG 微分と設備投資意思決定への応用①. (IFSA99,IJFS99). 1) ファジィ関係の Y-CG 微分.

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  1. Differentiation in Fuzzy Calculus and its Applications to Decision Making and Financial Engineering ~ファジィ解析における微分とその意思決定および金融工学への応用~ 東京工業大学 大学院総合理工学研究科 知能システム科学専攻社会人博士課程修了 戒　野　敏　浩 （現在：青山学院大学助教授）

  2. 1 ﾌｧｼﾞｨ関係のY-CG微分と設備投資意思決定への応用① (IFSA99,IJFS99) 1)ファジィ関係のY-CG微分 2)設備投資意思決定への応用 要因の変化 に対するROI の変化率 ファジィ関係 (ROI×各要因) 9つの ファジィ要因 ﾓﾝﾃｶﾙﾛ･ ｼﾐｭﾚｰｼｮﾝ　 (10,000 回) ファジィ関係 のY-CG微分 感応度分析 (DavidHertz氏のﾃﾞｰﾀ)

  3. 1 ﾌｧｼﾞｨ関係のY-CG微分と設備投資意思決定への応用② (IFSA99,IJFS99) ﾓﾝﾃｶﾙﾛ ｼﾐｭﾚｰｼｮﾝ (10,000 回) 9つのﾌｧｼﾞｨ 要因 3つの推定値 (精確な値/最も悲観的な値/ 最も楽観的な値) 売上数量＝市場の需要×ﾏｰｹｯﾄｼｪｱ 売上高＝売上数量×単価 総コスト＝変動費 損益＝売上高－総コスト ROI＝ 9つの要因 ﾌｧｼﾞｨ化 1.需要 2.単価 3.市場の成長率 4.ﾏｰｹｯﾄｼｪｱ 5.投資額 6.耐用年数 7.残存価値 8.変動費 9.固定費 損益 投資額 (DavidHertz氏のﾃﾞｰﾀ) ROIの ﾌｧｼﾞｨ分布 一つの要因の値を 変化させた場合の ROIの変化の度合 意思 決定 ﾌｧｼﾞｨ関係の Y-CG微分 ﾌｧｼﾞｨ関係 (ROI×要因) 感応度分析

  4. 1 ﾌｧｼﾞｨ関係のY-CG微分と設備投資意思決定への応用⑤ ９つの要因のファジィ分布 悲観的な値/精確な値/楽観的な値 ① マーケットシェア(%) 3 12 17 図3.1　ﾏｰｹｯﾄｼｪｱのﾌｧｼﾞｨ分布

  5. 1 ﾌｧｼﾞｨ関係のY-CG微分と設備投資意思決定への応用⑥ ⑤ 変動費($/ton) ② 市場の需要(ton) ③単価 ($/ton) ④市場成長率(%) 0 6 3 545 435 370 10 510 575 25 34 385 ⑨耐用年数 (years) ⑧ 固定費($/ton) ⑦投資額 ($/ton) ⑥ 残存価値(million $) 375 250 300 350 450 500 10 15 5 700 950 1050 図3.1　９要因のファジィ分布

  6. 1 ﾌｧｼﾞｨ関係のY-CG微分と設備投資意思決定への応用⑦ David Hertz氏の指摘: 違い 売上数量 ＝市場の需要×ﾏｰｹｯﾄｼｪｱ 売上高 ＝売上数量×単価 総コスト ＝変動費 損益 ＝売上高－総コスト ROI ＝ 精確な 推定値 ROI: 25.2% 影響 ROIの平均: 17.0% 意思 決定 ファジィな 推定値 損益 投資額 ROIのファジィ分布

  7. 1 ﾌｧｼﾞｨ関係のY-CG微分と設備投資意思決定への応用⑩ (IFSA99,IJFS99) ROI (%) f（x０） F（x０） (m=10) 単価（＄/ton） 図3.4　単価x0(＄/ton) とROI f(x0) (%)の関係 (Page 33)

  8. 1 ﾌｧｼﾞｨ関係のY-CG微分と設備投資意思決定への応用⑪ (IFSA99,IJFS99) ∂ROI ∂単価 式 (48) of page 30 =0.3 精確な値 γ:感応度 0.39 単価($/ton) 精確な値 図3.5 単価と感応度 γ の関係 (Page 35)

  9. 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 (FUZZ-IEEE99) 3.1　ｺﾝﾋﾟｭｰﾀｾﾝﾀｰ設備投資意思決定への応用 ① (思考実験) 計画 耐震 構造 ｺﾝｾﾌﾟﾄ ﾃﾞｻﾞｲﾝ ｺﾝｻﾙﾀﾝﾄ 重視度 発注 電力 供給 μ 設　計 会　社 外観 f 有効 ｽﾍﾟｰｽ 評価 会議 どの評価指標を 改善すべきか？ Choquet積分の 微分 ①耐震構造 ②有効利用スペース　　③内外観 ④電力供給 総合評価 (C)∫f dμ X 免震構造

  10. 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 (FUZZ-IEEE99) 3.1　ｺﾝﾋﾟｭｰﾀｾﾝﾀｰ設備投資意思決定への応用 ② ［結果］ ○どの評価指標を改善することが最も総合評価を上げることに繋がるか？ 1.　各評価指標の重視度μによる順位 : 　　　　　　①　μ(有効スペース) ＝０．５ 　　　　　　②　μ(耐震構造) ＝０．４ (37) 　　　　　　③　μ(電力供給) ＝０．３ 　　　　　　④　μ(内外観) ＝０．２ 2.V(各評価指標の変化に対する総合評価の変化の度合)に 　　　　　もとづく順位: 　　　　　　①　V（耐震構造） ＝０．３５ 　　　　　　②　V（有効スペース） ＝０．３２ (38) 　　　　　　③　V（内外観） ＝０．２ 　　　　　　④　V（電力供給） ＝０．１３　　

  11. 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 (JACI2000) 3．2　長期債券格付けへの応用 ①　 グローバルスタンダード経営への転換 資金調達：間接金融→資本市場 連結重視 　　格付　　 事業会社経営 ｲﾝﾊﾟｸﾄ M&A MBO 上場 取引環境 株価 資金調達力(金利) 事業会社評価・育成に 関する社内ｼｽﾃﾑ確立 高い格付を獲得する 経営・財務戦略 セルフアセスメント 情報システムによるサポート

  12. 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 (JACI2000) 3．2　長期債券格付けへの応用 ②　 ① ﾆｭｰﾗﾙﾈｯﾄによる長期債券格付けモデルの同定 μの初期値 長期債券格付けモデル Choquet 積分による 格付け順位 定量指標 Moody’sの 格付け順位 (C)∫f(x) dμ (東洋経済社) X (ﾑｰﾃﾞｨｰｽﾞ) 定性指標 (ﾀﾞｲｱﾓﾝﾄﾞ社) 順位の誤差二乗和 が最小になる方向にμを変更 局所解 重視度：μ 格付け向上に 影響の大きい 指標をアドバイス Choquet積分の微分 定量指標 (東洋経済社) 格付け向上への 影響の大きさ 定性指標 (ﾀﾞｲｱﾓﾝﾄﾞ社) ② 格付向上ｱﾄﾞﾊﾞｲｽ・ｼｽﾃﾑ

  13. 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 (JACI2000) 3．2　長期債券格付けへの応用 ③　 ﾆｭｰﾗﾙﾈｯﾄによる長期債券格付けモデルの同定 μの初期値 Choquet 積分値に よる格付け順位　yj 長期債券格付けモデル Moody’sの 格付け順位 Yj 偏 差 値 各17格付け を代表する 企業の定量 ・定性ﾃﾞｰﾀ f (C)∫ f(x) dμ X 順位の誤差二乗和 が最小になる方向にμを変更 （定量指標/東洋経済） x1：事業利益 　　　x2：キャッシュフロー x3：ｲﾝﾀﾚｽﾄ･ｶﾊﾞﾚｯｼﾞ　x4：当座比率 x5：流動比率　　　　 x6：棚卸資産回転率 x7：売掛債権回転率 x8：ＲＯＥ x9：ＲＯＡ x10：レバレッジ （定性指標/ﾀﾞｲｱﾓﾝﾄﾞ社） x11：シェア x12：経営陣 x13：組織 x14：規制 L(μ(xi))＝∑（Yj－ｙj）2 ［μ算出のために選択した企業］ 日本電信電話(Aaa),大日本印刷(Aa1), 松下電器産業(Aa2),ｷﾘﾝﾋﾞｰﾙ(Aa3), 京ｾﾗ(A1),ｼｬｰﾌﾟ(A2),雪印乳業(A3), 日清紡(Baa1),伊藤ﾊﾑ(Baa2), 加ﾄ吉(Baa3),ｻｯﾎﾟﾛﾋﾞｰﾙ(Ba1), ﾅﾑｺ(Ba2),ｴｽ･ﾊﾞｲ･ｴﾙ(Ba3), 日商岩井(B1),ﾀﾞｲｴｰ(B2), ﾊｻﾞﾏ(B3),ﾌｼﾞﾀ(Caa1) 5000回 探索 (TOYOKEIZAI) 局所解 重視度：μ μ(事業利益)=0.39，μ(ｷｬｯｼｭﾌﾛｰ)=0.41，μ(ｲﾝﾀﾚｽﾄｶﾊﾞﾚｯｼﾞ)=0.40， μ(当座比率)=0.38，μ(流動比率)=0.40,μ(棚卸資産回転率)=0.40，　 μ(売掛債権回転率)=0.47，μ(ROE)=0.40，μ(ROA)=0.40， μ(組織)=0.37 μ(レバレッジ)=0.41，μ(シェア)=0.49，μ(経営陣)=0.39 ，μ(規制)=0.40

  14. 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 3．2　長期債券格付けへの応用 ④ Aa A Ba B C X軸：Choquet積分による格付 Y軸：企業数 図3.1　ﾑｰﾃﾞｨｰｽﾞの格付け区分毎に分けられた企業群(81社) 　　　 　のChoquet積分値による格付け結果

  15. 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 3．2　長期債券格付けへの応用 ⑥ ｸﾞﾙｰﾌﾟ経営分析/投融資判断支援ｼｽﾃﾑ 特長：① 格付が公開されている上場企業のみならず、事業会社、非上場企業も分析可能。 　　　 ② 格付結果のみならず、どの部分を改善すべきかﾌｨｰﾄﾞﾊﾞｯｸが可能。 　　　 ③ 定量ﾃﾞｰﾀのみならず、定性ﾃﾞｰﾀも指標化し、分析に反映することが可能。 ○　効率的な連結経営管理の 　　為のｺﾝｻﾙﾃｨﾝｸﾞ機能の強化 ○　投融資判断支援の強化 ｸﾞﾙｰﾌﾟ経営分析/投融資判断支援ｼｽﾃﾑ ｽｺｱﾘﾝｸﾞ向上ｱﾄﾞﾊﾞｲｽ機能 (Choquet積分の微分) ｽｺｱﾘﾝｸﾞ(格付)機能 (Choquet積分) 倒産判別機能 経営管理部門 事業審査部門 営業部門 事業会社経営層 倒産確率算出機能 ｲﾝﾄﾗﾈｯﾄ ｶﾃｺﾞﾘｰ別企業診断機能 財務診断機能 集計表ﾄﾞﾘﾙﾀﾞｳﾝ機能 出力帳票/ﾌｧｲﾙ機能 外部情報 Moody’s,S&P,帝国DB,他 定性ﾃﾞｰﾀ 定量ﾃﾞｰﾀ 事業会社経営計画 集計管理ｼｽﾃﾑ 事業・審査管理ｼｽﾃﾑ 連結決算処理ｼｽﾃﾑ

  16. 対数正規分布過程 ○ 基本仮定:原資証券の価値→　 トレーダーのバイアス 影　響 必ずしも従わない 行使価格 金利 市場価格 ボラティリティ 取引日 行使日 ［理論価格］ ・ｺｰﾙ・ｵﾌﾟｼｮﾝ価格 ・ﾌﾟｯﾄ・ｵﾌﾟｼｮﾝ価格 ・デルタ（重要なﾘｽｸ指標) 　　　・・・ ﾌﾞﾗｯｸ･ｼｮｰﾙｽﾞ ﾓﾃﾞﾙ (対数正規分布仮定) 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 3.3　金融オプション取引への応用　①　 オプション：ある商品をある条件のもと、一定期間に買い付け 　　　　　　　る権利(コール)、売り付ける権利(プット)のことで、 　　　　　　　オプション取引とは、当該権利を売買するものである。

  17. 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 3．3　金融オプション取引への応用　⑤ 日経平均株価指数ｵﾌﾟｼｮﾝ（大阪証券取引所） (99年4月30日) ５月 ６月 ７月 終値 取引高 前日比 建玉 取引高 前日比 建玉 終値 行使価格 終値 <日経平均株価指数オプション・大証> 4403 1811 5052 9390 6117 16000 16500 17000 17500 18000 1080 690 440 255 145 －140 －130 －90 －45 －10 840 440 200 80 35 －140 －130 －90 －45 －10 17 31 776 911 401 －100 －80 －105 －75 －40 1430 820 570 390 255 5456 994 1201 4803 5566 コ ｜ ル 10 20 65 190 430 16000 16500 17000 17500 18000 8427 7200 7226 3658 3844 826 1116 2934 1954 502 0 +5 +15 +55 +110 90 160 275 500 650 321 496 430 403 60 +10 +20 +45 +120 +45 190 270 420 600 845 6275 7324 4464 1595 1292 プ ッ ト 総取引高 総建玉 ｺｰﾙ 12621 ﾌﾟｯﾄ 11361 ｺｰﾙ 68612 ﾌﾟｯﾄ 97107 日経平均 HV 15.4 日経平均 IV 24.0

  18. 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 (IEEE SMC99) 3.3　金融オプション取引への応用　⑦ 1999年2月19日~5月20日までの期間（60取引日) の日経平均株価指数の終値を使用 μ μ FP 満期日の日経 平均を取引日 の価格に割り 引いた価格 S 1+r 取引日の日経平均16199.99 図5.9　満期日における日経平均のファジィ分布

  19. 販売数量　［0,1000)[1000,2000)[2000,3000)[3000,4000)[4000,5000)販売数量　［0,1000)[1000,2000)[2000,3000)[3000,4000)[4000,5000) 可能性　　　　０．０　　　　　 １　　　　　　　４　　　　　　　４　　　　　　　１ 　　　　　　　　　　　　　　　　 ３ ９　　　　　　　９　　　　　　　３ （上記台数区間内は加法的測度、台数区間相互間はλ＝－3/4（μ(X)=1)のファジィ測度とする） 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 (FUZZ-IEEE2000) 3.4　自動車工場設備投資意思決定への応用(思考実験)　①　 3200台以上出荷 するには追加 設備投資発生 １台当りの コスト １台当りの 期待収益 （ROI) 差 １台当りの 期待収入：F’ Choquet積分の xにおける微分 販売予測：μ (台数区間毎 のﾌｧｼﾞｨ分布) その他の 情報 新車の販売 台数による 期待販売 収入：F X軸実数値 区間限定 Choquet積分 新車の販売 台数当りの 収入：　f 意思決定 表5.7 過去実績による新車が1年間に販売される台数予測

  20. 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 (FUZZ-IEEE2000) 3.4　自動車工場設備投資意思決定への応用　②　 ○ 新車の販売台数当たりの収入 F(x,μ)： 単位：百万円 (page98) x　　（ 0 ≦x≦2000) f(x)=0.9(x－2000)+2000　（2000≦x≦4000) 0.8(x－4000）+3800　（4000≦x≦5000) ． 3,228 (196) 2,244 ○ 新車の販売台数における期待販売収入 0 (0≦x＜1000) 1,422 500 3 x2 6000 － (1000≦x＜2000) 500 2x2 10000 7 90 1300 9 － x－ (197) F(x,μ)= (2000≦x＜3000) 2x2 10000 52 135 7000 9 － x＋ (3000≦x＜4000) 0 1000 2000 3000 4000 5000 52400 27 x2 7500 221 540 台数 － (4000≦x＜5000) x＋ 図5.12　販売台数と期待売上の関連図

  21. 3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用3．Choquet積分の微分の意思決定及び金融工学への応用 (FUZZ-IEEE2000) 3．4　自動車工場設備投資意思決定への応用　③ 新車の販売計画 F‘(x,μ) １台販売が増減した時の 期待売上の増減額 追加投資? 年間3,200台の生産能力 １台当たりのコスト 工場の新規 設備投資が必要 台数 意思決定者 年間3,200 台以上の出荷 5000 2000 3000 4000 1000 追加投資 否決 図5.13 販売台数と１台販売が増減した時 　　の期待売上の増減および１台 　　当たりのコスト関連図

  22. 論文一覧 １．査読付論文誌 [1] T.Kaino, K.Hirota: “Y-CG Derivative of Fuzzy Relations and its Application to Sensitivity Analysis”, “The International Journal of Fuzzy Systems”,Vol.1, No.2,pp.129-132 (Dec.1999) [2] T.Kaino, K.Hirota:“Differentiation of the Choquet Integral and Its Application to Long-term Debt Ratings”,　“Journal of Advanced Computational Intelligence”.(to appear) ２．国際会議 [3] T.Kaino, K.Hirota: "Derivative of Fuzzy Relations and Its Application to Capital Investment Decision Making Problem", “Proc. of IFSA'99, Taiwan”, pp. 995-998, 1999. [4] T.Kaino, K.Hirota: "Differentiation of the Choquet Integral of a Nonnegative Measurable Function", “Proc. of FUZZ-IEEE'99”, Seoul, Vol.Ⅲ, pp.1322-1327, 1999. [5] T.Kaino, K.Hirota: “Differentiation of Nonnegative Measurable Function Choquet Integral over Real Fuzzy Measure Space and its Application to Financial Option Trading Model”, “Proc. of IEEE SMC’99, Tokyo”,Ⅲ, pp.73-78, 1999. [6] T.Kaino, K.Hirota: “Differentiation of Choquet Integral for Nonnegative Measurable Function and its Application to Capital Investment Decision Making Problem”, “Proc. of FUZZ-IEEE2000, Texas”, pp.89-93, 2000. ３．国内学会の口頭発表 [7] 戒野, 廣田: “Choquet積分における非負可測関数に関する微分”,　“第15回ﾌｧｼﾞｨ ｼｽﾃﾑ ｼﾝﾎﾟｼﾞｳﾑ講演論文集,　大阪“, pp. 805-806, 1999. [8] 戒野,廣田:“Choquet積分の微分とその経営/金融分野への応用”, “第10回ｿﾌﾄｻｲｴﾝｽ･ ﾜｰｸｼｮｯﾌﾟ講演論文集“, 草津, pp.92-95, 2000.

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