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第 5 课时 等差、等比数列的应用(二). 要点 · 疑点 · 考点 课 前 热 身 能力 · 思维 · 方法 延伸 · 拓展 误 解 分 析. 要点 · 疑点 · 考点. 1.涉及到利息、产量、价格、分期付款等实际问题均可以转化为相应的数列问题,建立数列模型时应明确是等差数列还是等比数列模型,还是递推数列模型?要弄清是求 S n 还是 a n ? 项数 n 是多少?. 2.单利公式 — 等差数列 利息按单利计算,本金为 a 元,每期利率为 r , 存期为 x , 则本利和为 y=a(1+xr). 3. 复利公式 --- 等比数列
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第5课时 等差、等比数列的应用(二) • 要点·疑点·考点 • 课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 • 误 解 分 析
要点·疑点·考点 1.涉及到利息、产量、价格、分期付款等实际问题均可以转化为相应的数列问题,建立数列模型时应明确是等差数列还是等比数列模型,还是递推数列模型?要弄清是求Sn还是an?项数n是多少? 2.单利公式—等差数列 利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和为 y=a(1+xr) 3. 复利公式---等比数列 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和为 y=a(1+r)x 4.增减率---等比数列 原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的产值 y=N(1±p) x
课 前 热 身 1.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去一个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去一个…,按此规律,6小时后细胞存活的个数是( ) (A)63 (B)65 (C)67 (D)71 B 2.某产品的成本每年降低q%,若三年后成本是a元,则现在的成本是( ) (A)a(1+q%)3元 (B)a(1-q%)3元 (C)a(1-q%)-3元 (D)a(1+q%)-3元 C 3.某债券市场发行的三种债券:A种面值100元,一年到期本利共获103元.B种面值50元,半年到期,本利共50.9元,C种面值为100元,但买入时只需付97元,一年到期拿回100元,则三种投资收益比例便从小到大排列为( ) (A)BAC (B)ACB (C)ABC (D)CAB B
4.国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它的计算公式为4.国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它的计算公式为 , 各种类型家庭的n如下表所示: n= ×100% 食品消费支出总额 消费支出总额 家庭类型 贫 困 温 饱 小 康 富 裕 最富裕 n n>60% 50%<n≤60% 40%<n≤50% 30%<n≤40% n≤30% 根据某市城区家庭抽样调查统计,1998年初至2002年底,每户家庭消费支出总额每年平均增加680元,其中食品消费支出总额每年平均增加100元.1997年底该市城区家庭刚达到小康,且该年每户家庭消费支出总额为8600元,则该市城区家庭达到富裕的是( ) (A)1999年底 (B)2000年底 (C)2001年底 (D)2002年底 D
5.某林场年初有森林木材存量S m3,木材以每年25%的增长率生长,而每年末要砍伐固定的木材量为 x m3.为实现经过2次砍伐以后木材存量增长50%,则x的值应是( ) (A) (B) (C) (D) C 6.某同志为了支持2008年“北京奥运”,决定从2003年起,每年的7月1日在银行存入一年期定期存款a 元,并开通自动转存业务,若年利率为r 保持不变,问该同志到2008年7月1日将所有存款及利息取回,他应该得到多少元? 返回
能力·思维·方法 1.一梯形的上、下底长分别是12cm,22cm,若将梯形的一腰10等分,过每一个分点作平行于底边的直线,求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和. 【解题回顾】本题若不认真审题,易误认为答案是187cm,即将梯形的上、下底也算在了其中.
2.某电子管厂,2001年全年生产真空电子管50万个,计划从2002年开始,每年的产量比上一年增长20%,问从哪一年开始,该厂的真空电子管年产量超过200万个? 【解题回顾】本题容易忽视不等式1.2n-1×50≤200.
3.某村2002年底全村共有1000人,全年工农业总产值为840万元. (1)若从2003年起该村每年的工农业总产值较上年增加14万元,每年人口较上年净增数相同,要使该村人均产值年年都增长,那么该村每年人口的净增数不能超过多少人? (2)若从2003年起该村每年工农业总产值较上年增长10%,每年人口较上年净增10人,则到2012年该村能否实现年人均产值较2002年翻一番的经济发展目标?
4.某林场去年有木材贮量2万m3,从今年开始,林场加大了对生产的投入量,预测林场的木材贮量将以每年20%的速度增长,但每年年底要砍伐1000m3的木材出售作为再生产的资金补贴,问:4.某林场去年有木材贮量2万m3,从今年开始,林场加大了对生产的投入量,预测林场的木材贮量将以每年20%的速度增长,但每年年底要砍伐1000m3的木材出售作为再生产的资金补贴,问: (1)多少年后木材贮量达到翻番的目标? (2)多少年后木材贮量达到翻两番的目标?
延伸·拓展 5.某下岗职工准备开办一个商店,2000年初向银行贷款若干,这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息),年利率为q(0<q<1).据他计划从2001年初开始每年偿还A元,分30年还清. ①求贷款金额; ②若贷款后前7年暂不偿还,从第8年开始,每年偿还A元,仍然在贷款后30年还清,试问:这样一来,贷款金额比原贷款金额要少多少元? 【解题回顾】本例是生活中与数列有关的应用问题.必须认真审题,弄清题意,解决问题的关键在于理解复利的概念及其运算,养成运用数学的意识. 返回
5. ①求贷款金额; ②若贷款后前7年暂不偿还,从第8年开始,每年偿还A元,仍然在贷款后30年还清,试问:这样一来,贷款金额比原贷款金额要少多少元?
则由题 100n + ≥3250 例6、某地区有荒山 3250 亩,2000 年春季在荒山植树100 亩,以后每年春季植树面积都比上一年多 50 亩,直到荒山全部绿化为止。 (1)若所植树木全部成活,问到哪一年春季可将荒山全部绿化? (2)若新植树木的每亩木材量为2立方米,树木的每年自然增长率为20%,那么到荒山全部绿化时,该山的木材总量为 S,试写出S 的表达式。 (3)若 1. 29 ≈ 5.16,计算S ( 精确到 1 立方米 ) 解:(1)设植树 n 年可将荒山全部绿化,因为每年春季的植树面积构成等差数列{an}
(2)设从2000 年春季开始,第n年春季的木材总量为Sn , 则2000年春季的木材量为200m 3,到2009年春季该木材量则自然增长为 200×1.2 9m 3 2001年春季所植树木材量300m 3 ,到2009年春季变为木材量为 300×1.2 8m 3, 2002年春季所植树木材量400m 3 ,到2009年春季变为木材量为 400×1.2 7m 3,……. 2008年春季所植树木材量1000m 3 ,到2009年春季变为木材量为 1000×1.2m 3, 则到2009年春季所植树木材总量为 S =S10 = 200×1.2 9 + 300×1.2 8 + 400×1.2 7 + …… + 1000×1.2 +1100 ( m 3 ) (3)用错位相减法可求 S=S10 ≈ 13172 ( m 3 )
巩固练习 1.零存整取是一种存款方式,设某人每月第一天存入银行100元,一年后取出全部本金和利息,已知月利率为0.165%,利息税率为20%,问此人应取得的本利和是多少?(按单利计算) 分析: 利息为100× 0.165% ×12+ 100× 0.165% ×11 +…..+100× 0.165% ×2+ 100× 0.165% ×1 = 100× 0.165% ×(1+2+…+12)=12.87 又税率为20%,所以应纳税12.87 ×20% 所以此人应取得的本利和是1200+12.87 ×80% 2.十*五期间,某工厂生产总值的月平均增长率为P,求该厂生产总值的年平均增长率。 返回
误解分析 1.数列应用题的误解往往是由审题不清,误解题意引起的,因此仔细审题,准确地找出模型是解题关键. 2.数列应用题的计算往往较复杂,需认真仔细. 返回