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Ottimizzazione multi obiettivo e vincolata applicata ad un modello di regressione lineare multipla

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Ottimizzazione multi obiettivo e vincolata applicata ad un modello di regressione lineare multipla. Studio dell’effetto congiunto che variabili macro e microeconomiche esercitano sui rendimenti azionari. ing. Mattia Ciprian (DipEne) dott. Giulia Nogherotto (DETA)

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ottimizzazione multi obiettivo e vincolata applicata ad un modello di regressione lineare multipla

Ottimizzazione multi obiettivo e vincolata applicata ad un modello di regressione lineare multipla

Studio dell’effetto congiunto che variabili macro e microeconomiche esercitano sui rendimenti azionari

ing. Mattia Ciprian (DipEne)

dott. Giulia Nogherotto (DETA)

dott. Massimiliano Kaucic (DETA)

slide2

Lo studio prende l’avvio dalla volontà di costruire un modello di regressione lineare multifattoriale per lo studio dell’indice MSCI Europe in relazione all’andamento di alcune variabili di tipo macroeconomico e microeconomico nel tempoL’indagine si concentra in un primo momento sullo studio dell’indice settoriale Energy del MSCI EuropeIl lavoro che presentiamo si pone l’obiettivo di ottimizzare il procedimento di determinazione del modello più che di valutare le singole variabili considerate nella regressioneQuesto costituirà lo step successivo dell’analisi

slide3

Il metodo econometrico, usato per la costruzione di modellieconometrici, può essere classificato in tre fasi: specificazione del modello, stima dei parametri e test

nella prima fase di specificazione del modello un ruolo importante lo svolgono le ipotesi che si fanno su come è fatto il processo statistico che ha generato i dati. La teoria economica suggerisce l’elenco delle variabili di interesse del problema che si intende affrontare e la direzione di causalità

un metodo largamente utilizzato per la stima del modello parametrico è quello dei minimi quadrati ordinari (OLS ordinary least squares)

le ipotesi di specificazione formano l’oggetto dei test

il modello
Il modello

Il modello di regressione lineare multipla utilizzato assume la seguente forma generale:

Insieme delle osservazioni della variabile dipendente

Insieme delle osservazioni delle variabili (macro e micro) considerate moltiplicate i coefficienti di regressione

Componente di disturbo

Complex Systems in Economics

definizione del problema
Definizione del problema
  • Una volta effettuata la stima dei coefficienti, utilizzando un metodo dei minimi quadrati, è necessario verificare la misura in cui le variabili macroeconomiche e microeconomiche risultano statisticamente significative nello spiegare i rendimenti dell’indice azionario. A questo scopo sono state calcolate due serie di test:
  • test di significatività dei parametri della regressione
  • test di scorretta specificazione del modello

Complex Systems in Economics

slide6

Nel primo gruppo di test si distinguono- test che interessano l’intera regressione (Es: R2, test F)- test legati alle singole variabili esplicative (Es: t-test)I secondi sono test che hanno a che vedere con le scelte di specificazione del modello e si concentrano sull’analisi dei residui della regressione

Complex Systems in Economics

test di significativit dei parametri

Test di significatività dei parametri

SQE = somma quadrati errore

SQR = somma quadrati regressione

n = numero di osservazioni

p = numero variabili indipendenti

R quadro corretto

Fornisce una misura sintetica della bontà della regressione ovvero della misura in cui la variabile dipendente è spiegata dalle variabili esplicative piuttosto che dai termini di errore

test f
Test F

F = statistica test F avente una distribuzione F con p e n – p – 1 gradi di libertà

Sotto l’ipotesi nulla di assenza di relazione lineare tra la variabile dipendente e le variabili esplicative tale statistica assume valore inferiore al valore critico individuato sulle tavole

Se p-value < α (solitamente 0,05) allora l’apporto del modello di regressione alla spiegazione della variabilità della variabile dipendente è significativo.

Complex Systems in Economics

criterio di schwartz
Criterio di Schwartz

l = funzione di logverosimiglianza

Questa statistica (Information criterion) permette di indirizzarsi verso una regressione con il numero migliore di ritardi (scostamenti temporali tra le serie storiche)

Si sceglie la regressione con il valore più basso del test

Complex Systems in Economics

slide10
T-test sulle singole variabili

p = numero di variabili esplicative

bk= inclinazione di Y rispetto alla variabile k tenendo costanti le altre variabili

Sbk = errore standard del coefficiente di regressione bk

t = statistica test con distribuzione t con n – p – 1 gradi di libertà.

Sotto l’ipotesi nulla di assenza di relazione lineare tra la singola variabile indipendente e la variabile dipendente tale statistica assume valore inferiore al valore critico delle tavole (p-value < livello di significatività scelto)

Complex Systems in Economics

test sulle assunzioni di base del modello di regressione lineare
Test sulle assunzioni di base del modello di regressione lineare

Test di scorretta specificazione

Ipotesi sui residui

  • Il valore atteso dell’errore è nullo
  • La varianza degli errori è costante (omoschedasticità)
  • Gli errori non sono correlati tra di loro nel tempo (incorrelazione seriale dei disturbi)
  • Gli errori assumono una distribuzione normale

Complex Systems in Economics

ipotesi nulla assenza di eteroschedasticit
Ipotesi nulla: assenza di eteroschedasticità

Test LM ARCH

Il test mira a verificare se i residui della regressione seguono o meno un modello ARCH il quale per definizione è caratterizzato da eteroschedasticità condizionale

Test di White

Si basa su una regressione ausiliaria dove i quadrati dei residui sono la variabile dipendente mentre tra le variabili esplicative sono incluse le variabili della regressione originaria, i residui standardizzati e i loro rispettivi quadrati

Complex Systems in Economics

test durbin watson
Test Durbin Watson

Ipotesi nulla: assenza di correlazione seriale dei residui

= valore dei residui in ciascun periodo

In caso di assenza di correlazione seriale dei residui di primo ordine la statistica assume un valore prossimo a 2

Complex Systems in Economics

ipotesi nulla normalit dei residui
Ipotesi nulla: normalità dei residui

Test di Jarque Bera

S = indice di asimmetria

K = indice di Kurtosi

S deve essere prossimo a 0

K deve essere prossimo a 3

Sotto l’ipotesi di normalità la statistica JB si distribuisce come una Chi quadro con 2 gradi di libertà

Il test JB deve avere probabilità alta per accettare l’ipotesi nulla

Complex Systems in Economics

approccio
Approccio
  • Classico:
    • Tuning dei dati con correzioni successive di un operatore esperto;
      • 1 settimana di lavoro “a mano” continuato
      • rischio di non raggiungere la soluzione ottima
  • Proposto:
    • Metodo autonomo ed automatico di ricerca operativa;
      • Realizzazione algoritmi statistici (MatLab®) e ottimizzazione vincolata (modeFRONTIER®)

Complex Systems in Economics

complessit del problema
Complessità del problema
  • Alta variabilità del modello;
  • Alto numero di variabili (L & P);
  • Alto numero di combinazioni possibili (34 variabili = 2.7345e+037 combinazioni);
  • Soluzioni inattese.

Complex Systems in Economics

obiettivi e vincoli

Objectives:

  • |Durbin-Watson| 2.0;
  • R2 1.0;
  • Max “F-statistic”;
  • Min “Schwartz criterion”;
Obiettivi e Vincoli
  • Constraints:
  • P-value < 0.05 (equivalente a T-test >2-3);
  • Omoschedasticità (Arch LM test su residui);
  • Nessuna correlazione seriale (Ljung-Box Q-statistic su residui);
  • Normalità dei disturbi (Jarque-Bera test su residui);

Complex Systems in Economics

elaborazione con matlab
Elaborazione con MATLAB

VARIABLE =

-89.39330035283315 29.28174450645721 -3.05286798514071 0.00296344763259

7.15362111261956 2.62051774852393 2.72985028117021 0.00759294072889

0.88752314222490 1.12088889969602 0.79180295430314 0.43051240108602

1.29767688899965 1.84901533701817 0.70182051117670 0.48456280119687

-3.45283082863135 1.68512599764740 -2.04900454532886 0.04330971021216

3.29910540012864 0.40909669820450 8.06436574679821 0.00000000000265

0.12896559962647 1.11016733375858 0.11616771247434 0.90777282593419

0.17903257073845 0.18939333279196 0.94529500114509 0.34698438184647

0.74223279975027 0.25427124298342 2.91905915526065 0.00441370564728

Adj_R_squared = 0.93457117572405

SE_of_regression = 5.02793003404184

sum_squared_resid = 2.325767399304235e+003

LogLikelihood = -3.017153748060340e+002

Durbin_Watson_stat = 2.10077128035871

Mean_dependent_var = 1.004370297029703e+002

SD_dependent_var = 19.65643105828494

AIC = 6.15277969912939

SC = 6.38581024023405

F_statistic = 1.795472966361125e+002

Prob_F_statistic = 0

C'è eteroschedasticità!

Non c'è correlazione seriale!

C'è la normalità dei disturbi!

Constraint p-value = 4

Complex Systems in Economics

main diagram mf
Main Diagram (mF)

Lags

Objectives Constraints

Statistics

Presences

DOE (+MOGA)

Complex Systems in Economics

pre processing reduced factorial 2048
Pre-processing(Reduced Factorial 2048)

Complex Systems in Economics

correlazione degli obiettivi
Correlazione degli Obiettivi

Complex Systems in Economics

rottura dei vincoli
Rottura dei Vincoli

Complex Systems in Economics

p value vs num serie storiche
P-value vs. Num. Serie Storiche

Complex Systems in Economics

revisione obiettivi e vincoli

Constraints:

  • P-value < 0.05;
  • Omoschedasticità (Arch LM test su residui);
  • Nessuna correlazione seriale (Ljung-Box Q-statistic su residui);
  • Normalità dei disturbi (Jarque-Bera test su residui);
  • Objectives:
  • |Durbin-Watson| 2.0;
  • R2 1.0;
  • Max “F-statistic”;
  • Min “Schwartz criterion”;
Revisione Obiettivi e Vincoli

Serie Storiche utilizzate  10

|2-DurbinWatson| < 0.1

R2 > 0.92

F-statistic > 200

Complex Systems in Economics

ricerca del doe iniziale
Ricerca del DOE iniziale

Complex Systems in Economics

ottimizzazione
Ottimizzazione

Dopo circa 15.000 calcoli complessivi equivalenti a 4 ore effettive di lavoro (0,92 s / calcolo AMD 2200+ 512 Mb RAM) si è ritenuta conclusa l’ottimizzazione.

Complex Systems in Economics

storia degli obiettivi feasible
Storia degli obiettivi (feasible)

Complex Systems in Economics

durbin watson history chart
Durbin-Watson History Chart

Complex Systems in Economics

f statistic history chart
F-Statistic History Chart

Complex Systems in Economics

r 2 adjusted history chart
R2 Adjusted History Chart

Complex Systems in Economics

schwarz criterion history chart
Schwarz Criterion History Chart

Complex Systems in Economics

4d bubble chart

Diameter: R2 Adj

Color: Design ID

F-Stat

|DW-2|

4D Bubble Chart

Complex Systems in Economics

parallel chart
Parallel Chart

|DW-2|

Schwarz

n. Serie

R2

F-stat

Complex Systems in Economics

un esempio di regressione elaborazione manuale
Un esempio di regressione:elaborazione manuale

Riportiamo i risultati parziali ottenuti da un operatore intenzionato a costruire “a mano” con l’uso del programma E-views un modello di regressione

Il tempo impiegato è stato di parecchie giornate

La finestra che segue è quella di output di E-views e contiene le determinazioni per i coefficienti di regressione e i risultati di alcuni test

Complex Systems in Economics

residui
Residui

Series: residuals

Observations: 105

Mean: 1,58E -15

Median: -0,005875

Maximum: 1,477394

Minimum: -1,286199

Skewness: 0,095080

Kurtosis: 2,698769

Jarque-Bera: 0,555191

Probability: 0,757603

Complex Systems in Economics

slide40
I valori evidenziati ci interessano per valutare la bontà della regressione

Mentre la prima finestra di output ci mostra risultati abbastanza buoni, i test sui residui (Test LM ARCH, Test di White) determinano il rifiuto dell’ipotesi nulla e dunque dimostrano la non bontà del modello

Anche il test di normalità non restituisce un esito positivo

Complex Systems in Economics

un esempio di regressione elaborazione automatizzata
Un esempio di regressione:elaborazione automatizzata

Ecco invece quanto ottenuto inserendo in

E-views le variabili e i lags suggeriti dal meccanismo di ottimizzazione

Abbiamo selezionato, come esempio, un modello con 5 variabili e scostamenti temporali sia positivi che negativi

Complex Systems in Economics

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Finestra di output di E-views

Complex Systems in Economics

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Residui

Complex Systems in Economics

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I risultati ottenuti dall’elaborazione con il programma E-views dimostrano come la scelta delle variabili e dei lags suggerita dal processo di ottimizzazione conduca alla determinazione di un ottimo modello di regressione secondo i vincoli imposti dall’operatore

Complex Systems in Economics

thanks to
Thanks to:
  • Esteco

http://www.esteco.com/

  • Eu-Ra

http://www.eu-ra.com/

  • Università degli Studi di Trieste

http://www.units.it/

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ottimizzazione multi obiettivo e vincolata applicata ad un modello di regressione lineare multipla47

Ottimizzazione multi obiettivo e vincolata applicata ad un modello di regressione lineare multipla

Studio dell’effetto congiunto che variabili macro e microeconomiche esercitano sui rendimenti azionari

ing. Mattia Ciprian (DipEne)

dott. Giulia Nogherotto (DETA)

dott. Massimiliano Kaucic (DETA)