第四章振动和波

第四章振动和波 • 第一节简谐振动 • 第二节简谐振动的合成 • 第三节振动的分解、频谱 • 第四节简谐波 • 第五节波的叠加、波的干涉 • 第六节声波和超声波

机械振动——物体在一定位置附近，沿着同一路线来回往复的运动。机械振动——物体在一定位置附近，沿着同一路线来回往复的运动。任何一个物理量（如心脏的跳动、钟摆的摆动、活塞的往复运动、固体中原子的振动、电流、磁场强度等）在某个定值附近反复变化，都可以做称振动。与振动密切相关的是波动现象。振动是产生波动的根源，波动则是振动的传播过程，同时也是一种重要的能量传播方式和某种能量传播的过程。

第一节简谐振动 简谐振动——以时间的正弦函数或（余弦函数）来描述的运动。它是最简单的运动，任何复杂的振动都可视为若干简谐振动的合成。一、简谐振动的运动方程物体做简谐振动的动力学方程： F = - k s 做简谐振动的物体所受的合力与位移成正比，但两者的方向相反。

振动物体的加速度与物体的位移成正比 , 但方向相反。简谐振动——加速度与位移成正比，而方向相反的运动。简谐振动的运动方程：

即简谐振动的二阶线性微分方程，其解为 S = A cos（ωt+φ0）

描述简谐振动的特征量： 1 A —— 振动物体离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 2 T —— 振动物体完成一次振动所需要的时间，称为振动周期。 3 ν—— 振动物体在单位时间内所完成的振动次数，称为频率。 4 ωt+φ0——描述物体运动状态的物理量，称为相位， φ0初相。

简谐振动物体的速度和加速度为

S = A cos（ωt+φ0） 由以上二式可看出，做简谐振动物体的速度、加速度也是时间t的余弦函数。因此，做简谐振动的物体的位移、速度、加速度都按同样的规律在变化。

它们在同一时刻的相位彼此不同。位移加速度的相位差为π，即它们的相位相反；速度与位移或加速度的相位差为π/2，但速度在相位上超前于位移，而落后于加速度。它们在同一时刻的相位彼此不同。位移加速度的相位差为π，即它们的相位相反；速度与位移或加速度的相位差为π/2，但速度在相位上超前于位移，而落后于加速度。

简谐振动的矢量表示法

弹簧振子——一个质量为m的物体与一根轻弹簧组成的振动系统。弹簧振子——一个质量为m的物体与一根轻弹簧组成的振动系统。

由牛顿定律f=ma和胡克定律f=kχ有： ma+kχ=0 m和k代表弹簧本身的性质，由上式表明，振动系统的周期（或频率）由系统本身的性质所决定。

二、简谐振动的能量 设物体的质量为m，在任一时刻，物体的位移为s，速度为υ，则振动物体的弹性势能和动能分别为则总机械能为

结论：振动系统在振动过程中总机械能不随时间变化，即振动系统的总机械能在振动过程中守恒，势能和动能在振动过程中是相互交替转换的。结论：振动系统在振动过程中总机械能不随时间变化，即振动系统的总机械能在振动过程中守恒，势能和动能在振动过程中是相互交替转换的。对于一定的振动系统，其总机械能和振幅的平方成正比。这一结论对任一简谐振动也都是正确的。

第二节简谐振动的合成 一、两个同方向简谐振动的合成 1、两个同方向、同频率简谐振动的合成任一时刻t，两个振动的位移分别为: χ 1 = A1cos(ωt + φ1) χ2 = A2cos(ωt + φ2) 合位移: χ= χ1+ χ2

合振动的运动方程为: χ=Acos(ωt+ φ) 合振动的振幅为：合振动的振幅和初相位都与两个分振动的振幅和初相位有关。

讨论三种情况 A= A1+ A2 合振幅最大。 A = | A1 - A2 | 合振幅最小。（1）二个分振动的相位相同：即 φ2 - φ1=±2kπ,（k=0、1、2、…）则 ( 2 ) 二个分振动的相位相反：即 φ2 - φ1= ±（2k+1）（k =0、1、2、…），则: (3)当相位差为其它值时：即

2、同方向、不同频率的简谐振动的合成

结论： 合振动不是简谐振动，但仍然是周期性振动，而且合振动的频率等于分振动中的最低频率。合振动的形式由分振动的频率、振幅及初相位差而定。其中最低的频率称为基频，其它分振动的频率称为倍频。

拍设同方向不同频率的简谐振动的振幅相同，初相位也相同，即： χ 1 = Acos (ω1t + φ) χ2 = Acos(ω2t + φ) 合振动为： χ=χ 1+ χ2 =Acos(ω1t + φ）+A(cosω2t + φ）

由三角函数可知： 　上式可认为是振幅为　　　　　 ,角频率为　　　的周期性振动。　　　　若分振动的角频率ω１和ω２都很大，且两者之差ω２－ω１比较小，这样，在矢量图中，两个振动振幅矢量的夹角的变化就慢。因此，

总会出现两个分振动的振幅矢量重合，即合振动的振幅最大为２A，也会出现分振动的振幅矢量相反即合振动的振幅最小为零，所以合振动的振幅就在2A和0之间做缓慢的周期性变化，这种由两个频率都比较大，但频率差很小的同方向的振动合成会产生合振幅做周期性变化加强和减弱的现象叫做拍。总会出现两个分振动的振幅矢量重合，即合振动的振幅最大为２A，也会出现分振动的振幅矢量相反即合振动的振幅最小为零，所以合振动的振幅就在2A和0之间做缓慢的周期性变化，这种由两个频率都比较大，但频率差很小的同方向的振动合成会产生合振幅做周期性变化加强和减弱的现象叫做拍。

由于合振动的振幅为　　　　　　　，故合振幅的变化周期为：　　　　　由于合振动的振幅为　　　　　　　，故合振幅的变化周期为：　　　　　而合振幅变化的频率为：　　这一频率叫做拍频，即单位时间内振幅加强或减弱的次数。而合振动的振动频率为：

二、相互垂直的简谐振动的合成 １、相互垂直的同频率简谐振动的合成　　设两个频率相同的简谐振动在相互垂直的x、y轴上进行，其振动方程为: x = A1cos（ωt + φ1） y = A2cos（ωt + φ2）利用三角函数关系，合并两式，并消去t得合成振动的轨迹方程:

合振动轨迹的形状和运动方向均由分振动振幅的大小和相位差决定。合振动轨迹的形状和运动方向均由分振动振幅的大小和相位差决定。（1）如果两分振动同相位，即（φ2- φ1）=0、2π、4π、…，则（cosΔφ = 1 、sin2Δ φ = 0 ）：合振动的轨迹是一条通过坐标原点，斜率为Ａ2/Ａ1的直线。

（2）当两分振动反相时，即（ φ2- φ1）=π时，则（cosΔφ =-1、sin2Δφ=0 ）：合成振动的轨迹是另一条通过原点、斜率为 - A2 / A1的直线。（3）两个分振动的相位差为π∕2或3π∕2 时，即（φ2 - φ1）=π/2或3π∕2时，则

结论：任何一个直线简谐运动、匀速圆周运动以及椭圆运动都可以被分解为两个互相垂直的同频率的简谐运动。结论：任何一个直线简谐运动、匀速圆周运动以及椭圆运动都可以被分解为两个互相垂直的同频率的简谐运动。

２、相互垂直的不同频率简谐振动的合成 若分振动的频率成简单的整数比，合振动的轨迹是稳定封闭的曲线，即合振动也具有周期性。这种稳定的合振动轨迹图形叫做李萨如图形。

　　利用李萨如图形可测定未知振动的的频率。若χ轴上的振动频率为ν χ，y轴上的振动的频率为νy，在李萨如图形中分别作水平和垂直直线，并找出它们与李萨如图形的最多交点分别为n χ和n y，则有：　　只要已知一个振动的频率，并找出交点，即可求出另一振动的振动频率。

第四节　简谐波 一、机械波的产生和传播１、弹性介质、波源和波的传播过程弹性介质——由弹性力的作用把质点组合在一起的连续介质。机械波——机械振动在介质中的传播过程。波源 —— 引起波动的初始振动物体。机械波产生的条件——波源和弹性介质是产生机械波的必要物质基础。

机械波的传播过程：在有机械波的弹性介质中，各个介质都在自己的平衡位置附近振动，振动质点并不沿波的传播方向做超出本身振动范围的移动。机械波的传播过程：在有机械波的弹性介质中，各个介质都在自己的平衡位置附近振动，振动质点并不沿波的传播方向做超出本身振动范围的移动。２、纵波和横波纵波：介质中的振动质点的振动方向和波的传播方向相同的波。横波：介质中的振动质点的振动方向和波的传播方向垂直的波。

３、波长、波速和频率 波长：在波动中，沿波的传播方向上相位相同的两个相邻质点之间的距离或振动在一个周期内向前传播的距离称为波长，用λ表示。波速：单位时间内振动状态向前传播的距离。 u=λ∕T=λ ν 决定波速的两因素：机械波在介质中的传播的快慢取决定于介质的弹性和惯性。

周期、频率：一个完整的波通过波线上某点所需的时间（或波前进一个波长所需时间）称为波的周期，用T表示。周期的倒数称为波的频率，即单位时间内通过波线上某点的完整波的个数，用 ν 表示。

4、球面波和平面波 波面、波前：在有波动传播的介质中，把某一时刻振动相位相同的点连成的面称为波面，而最前面的波面称为波前。波线：沿的波传播方向所做直的线。

球面波：波面为球面的波。在各向同性的均匀介质中，波动在各个方向的传播速度相同，点波源所产生的波面是一系列的同心球面，是球面波。波线是沿半径方向的直线。球面波：波面为球面的波。在各向同性的均匀介质中，波动在各个方向的传播速度相同，点波源所产生的波面是一系列的同心球面，是球面波。波线是沿半径方向的直线。平面波：波面为平面的波。波源在无穷远处发出的波为平面波，波线是与波面垂直的平行线。

5、惠更斯原理 惠更斯原理：波前上的每一点都可当成独立的点波源，并发出子波，在任一时刻，这些波的包迹，就是新的波源。利用惠更斯原理不仅可以解释波在均匀介质中的情形，还可以解释波在非均匀介质中的传播，或遇障碍物，或从一种介质传播到另一种介质的情形。

二平面波简谐的波动方程 1、波动方程设波以速度u沿Ox方向传播，且振幅在传播过程中不变，令O的振动初相位为0,则O点的振动方程为： y=Acosωt x轴上距原点O为x的任一点p处质点的振动方程为： y=Acosω(t-x/u)

上式表示位移y是时间t和质点位置x的函数，称为平面简谐波的波动方程。上式表示位移y是时间t和质点位置x的函数，称为平面简谐波的波动方程。　　如果波动向x轴的负方向传播，图(4-10)中p质点比O处质点早开始振动x/u时间，因此波动方程变为： y=Acosω(t+x/u) 即“+”表示p处质点的振动比O点处的质点的振动超前。

由波长λ、频率ν、周期与速度的关系式可得：由波长λ、频率ν、周期与速度的关系式可得：

2、波动方程的微分形式 若将y=Acosω(t-x/u)分别对t 和x二阶偏导数，得比较以上两式得: 波动方程的微分形式表明质点位移对时间的二阶偏导数与位移对坐标的二阶偏导数成正比，比例常数是波速的平方。

讨论： （1）对于给定时刻t来说，位移s仅仅是质点位置x的函数，这时波动方程表示在某一时刻t在直线Ox上各点的位移分布，即表示该时刻的波形。x不同，位移就不同。

（2）对于给距离x来说，位移y仅仅是时间t的函数，这表明这一点在各个时刻的振动情况。即盯住某一个质点观察其振动情况。（2）对于给距离x来说，位移y仅仅是时间t的函数，这表明这一点在各个时刻的振动情况。即盯住某一个质点观察其振动情况。

第四章 振动和波