§2. 唯一分解环

§2.唯一分解环 • 2.1 定义与例子 • 2.2 等价条件 • 2.3 典型分解 • 2.4 最大公因子与互素

2.1 定义与例子 由于上一节的例我们知道，在一个整环里唯一分解定理未必成立。但是我们也知道，在有些整环里，比方说整数环里，这个定理是成立的。

定义1一个整环叫做一个唯一分解环，假如 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解, 即: （ⅰ）分解性. a 既不等于零又不是单位的元a可以分解（ⅱ）唯一性. 若同时还有那么并且我们可以把的次序掉换一下，使得

例2.在唯一分解环 , 每一个非零元a 的因子, 在相伴的意义下只有有限多个. (2) 如果a不是单位, a可以分解例1.举正反例子证明: (1) 如果a是单位, 那么, a 的因子只有单位, 所有单位都相伴的(??). 因此, a 的因子, 在相伴的意义下只有一个.

不相伴因子总数不超过个 a 的因子只有下面的形式: 说明: 不同类因子不相伴, 同类因子可能相伴.

定理 1 一个唯一分解环有以下性质； （ⅲ）若一个素元能够整除，那么能够整除或。注: 在一个非唯一分解环, 一个非零元a 的因子, 可以有无穷多个不相伴的(吴品三,p181). 一个唯一分解环有下面重要性质。

能够整除 (1) 当之中有一个是零或是单位的时候，定理也是对的。若，那么。若是单位，那么 (2) 和都不是零元，也都不是单位。这时c显然不等于零。我们说c又不是一个单位。不然的话证明

而由Ⅳ，1定理2，是素元。这就是说，素元 可以写成两个非单位的乘积，因而有真因子。这是矛盾。 c既不是零又不是单位，由唯一分解环的定义，另一方面这样，

由唯一分解的定义，一定是某一个 或某一个的相伴元。若是某一个的相伴元，那么同样若是某一个的相伴元，那么。这样，能够整除中的一个。证完

定理 2假定一个整环有以下性质： （ⅰ）的每一个既不是零也不是单位的元都有一个分解（ⅲ）的一个素元若能整除，那么能整除或。那么, 一定是一个唯一分解环。 2.2 等价条件性质（ⅲ）的重要性由以下定理可以看出。

我们看的一个不等于零也不是单位的元 。由性质（ⅰ），有一个分解我们须要证明，有唯一分解；就是说，假定我们也有那么，并且我们可以把这些的次序掉换一下，使得是的相伴元。我们对素因子的个数r, 应用第二型归纳法。证明

(1) 时, 如果 若是，那么其中不是单位，而作为素元的乘积也不是单位。这就是说，素元可以写成两个非单位的乘积，这不可能。所以 , 定理成立。

(2) 假如, 定理对能写成 个素元的乘积的元都成立, 即都有唯一分解。在这个假定之下，我们看一个元的两种分解：由性质（ⅲ），能够整除某一个；把的次序换一换，我们可以假定，但是素元，不是单位，所以

这样这里b是个素元的乘积，所以依照归纳法假定，而且我们可以把的次序掉换一下，使得

这样我们得到 证完注由定理1，2，我们也可以用条件（ⅰ），（ⅲ）来作唯一分解的定义。

在唯一分解环中, 每一个既不是零也不是单位的元都有分解称为典型分解. 2.3 典型分解

定义2 (公因子) 元叫做元 的公因子，假如c同时能够整除。定义3 (最大公因子) 元叫做的最大公因子,假如: (1) 元是元的公因子. (2) 的每一个公因子也是的因子。 2.4 最大公因子与互素

定理 3 一个唯一分解环的两个元和b在 里一定有最大公因子。和b的两个最大公因子d和只能差一个单位因子：例2. 整环中,两个元的最大公因子不一定存在. 唯一分解环的另一重要性质是最大公因子的存在。

若之中有一个是零，比方说 ，那么b显然是一个最大公因子。若是之中一个单位，比方说是单位，那么显然是最大公因子。现在看和b都不是零也不是单位是的情形。适当改变典型分解的形式, 可以得到: 证明 (首先在Z中介绍一个例子)

用来表示与中较小的一个（ 的时候就叫）而作元那么显然假定也是和b的最大公因子，那么当且仅当进一步,可以证明d是最大公因子. . 证完

推论一个唯一分解环的n个元 在里一定有最大公因子。的两个最大公因子只能差一个单位因子。从这个定理用归纳法立刻可以得到这样，若是几个元的某一个最大公因子是一个单位，这几个元的任何一个最大公因子也是一个单位。利用这一件事实，我们可以在一个唯一分解环里规定互素这一个概念。

定义4我们说，一个唯一分解环的院 互素，假如它们的最大公因子是单位。例3在 , 2和是互素的, 但是, 不存在多项式使得: 这样规定互素概念显然是普通互素概念的推广。类似的定理在条件更强的环中成立.

作业: • P135: 2,3