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2B_Ch10( 1 ). A. B. 平方根的認識. 使用計算機求平方根的值. 2B_Ch10( 2 ). 10.1 平方根. 目錄. A. B. C. 直角三角形三邊的關係. 畢氏 定理的認識. 數學的欣賞： 畢氏 定理的證明. 2B_Ch10( 3 ). 10.2 畢氏 定理. Index. A. B. 簡單幾何圖形上的應用. 日常生活上的應用. 2B_Ch10( 4 ). 10.3 畢氏 定理的應用. 目錄. A. B. 無理數和不盡根的認識. 數學的欣賞：第一次數學危機. 2B_Ch10( 5 ). 10.5 無理數.

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  1. 2B_Ch10(1)

  2. A B 平方根的認識 使用計算機求平方根的值 2B_Ch10(2) 10.1平方根 目錄

  3. A B C 直角三角形三邊的關係 畢氏定理的認識 數學的欣賞：畢氏定理的證明 2B_Ch10(3) 10.2畢氏定理 Index

  4. A B 簡單幾何圖形上的應用 日常生活上的應用 2B_Ch10(4) 10.3畢氏定理的應用 目錄

  5. A B 無理數和不盡根的認識 數學的欣賞：第一次數學危機 2B_Ch10(5) 10.5無理數 目錄

  6. 2. 任何正數 n 都有兩個平方根，分別是 （正平方根）和（負平方根），其中「 」稱為根號。 10.1平方根 2B_Ch10(6) • 例題演示 平方根的認識 A) 1. 若 x2 = n，則 x 是 n 的平方根。 目錄 • 目錄 10.1

  7. 10.1平方根 2B_Ch10(7) 找出下列各值的平方根。 (a) 25 (b) 100 由於 52 = 25，所以 5 是 25 的平方根。 由於 102 = 100，所以 10 是 100 的平方根。 目錄

  8. (a) 64 的兩個平方根是 和 ， 即 。 (b) = (c) = 10.1平方根 2B_Ch10(8) 求下列各題的值。 (a) 64 的兩個平方根是 和 。 (b) (c) 8 和 –8 7 –9 目錄 • 重點理解 10.1.1

  9. 10.1平方根 2B_Ch10(9) • 例題演示 使用計算機求平方根的值 B) ‧ 使用計算機求平方根既快捷又準確，而且對任何種類的正數都適用。 目錄 • 目錄 10.1

  10. 按鍵次序 4.3011… 答案 = EXE 10.1平方根 2B_Ch10(10) 求的值。 18.5 4.301 （準確至四位有效數字） 目錄

  11. (–) 1 5 2 按鍵次序 0.6180… + ÷ 答案 = EXE EXE 習題目標 • 求含有平方根的數式的值。 10.1平方根 2B_Ch10(11) 求 的值，準確至二位小數。 0.62 (準確至二位小數) 目錄

  12. ( ) x2 x2 按鍵次序 13. + 答案 = EXE 習題目標 • 求平方根的值。 10.1平方根 2B_Ch10(12) 求的值。 5 12 13 • 重點理解 10.1.2 目錄

  13. 10.2畢氏定理 2B_Ch10(13) • 例題演示 直角三角形三邊的關係 A) ‧ 上圖是一個直角三角形 ABC，其中∠C 是一個直角。我們稱該三角形中組成直角的兩邊（即 AC 和 BC）為直角邊，而與直角相對的邊（即 AB）則稱為斜邊。 目錄 • 目錄 10.2

  14. P A Q C B R 10.2畢氏定理 2B_Ch10(14) 寫出下列直角三角形中的斜邊。 (a) (b) (a) AC (b) QR • 重點理解 10.2.1 目錄

  15. 即 在 △ABC 中， 若 ∠C = 90°， 則 a2 + b2 = c2。 【簡記：畢氏定理】 10.2畢氏定理 2B_Ch10(15) • 例題演示 畢氏定理的認識 B) ‧在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。 目錄 • 目錄 10.2

  16. 10.2畢氏定理 2B_Ch10(16) 求圖中的未知量 x。 參看上圖，根據畢氏定理， x2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 ∴ x = 5 目錄

  17. ∴ x2 + 152 = 172 ∴ x2 = 172 – 152 x = 習題目標 • 利用畢氏定理求直角三角形的未知量。 10.2畢氏定理 2B_Ch10(17) 利用畢氏定理，求圖中的未知長度 x。 • 畢氏定理 = 8 目錄

  18. ∴ AB2 + BC2 = AC2 習題目標 ∴ (3x)2 + x2 = 42 • 利用畢氏定理求直角三角形的未知量。 x = ∴ BC = 1.26 cm 10.2畢氏定理 2B_Ch10(18) 在圖中，AB = 3BC。求 BC，準確至三位有效數字。 設BC = x cm，則 AB = 3BC = 3x cm。 • 畢氏定理 10x2 = 16 x2 = 1.6 = 1.26 （準確至三位有效數字） • 重點理解 10.2.2 目錄

  19. 10.2畢氏定理 2B_Ch10(19) • 例題演示 數學的欣賞：畢氏定理的證明 C) ‧ 畢氏定理的證明方法有好幾百種，相信是數學定理中證法最多的其中一個。 目錄 • 目錄 10.2

  20. 圖 A 圖 B 圖 C 10.2畢氏定理 2B_Ch10(20) 以下是其中一個證明畢氏定理的方法。 目錄

  21. = a2 + b2 + 4  圖 C 圖 B 圖 B中正方形的面積 圖 C中正方形的面積 = c2 + 4  = a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ∴ 圖 B中正方形的面積= 圖 C中正方形的面積 10.2畢氏定理 2B_Ch10(21) ∴ a2 + b2 = c2 目錄 • 重點理解 10.2.3

  22. 10.3畢氏定理的應用 2B_Ch10(22) • 例題演示 簡單幾何圖形上應用 A) ‧ 利用畢氏定理，我們可以解答一些涉及直角三角形的幾何圖形問題。 目錄 • 目錄 10.3

  23. ∠BAD = 90° ∴ 習題目標 • 利用畢氏定理求圖形中的未知量。 BD = = 10.3畢氏定理的應用 2B_Ch10(23) 求一個大小為 24 cm 10 cm 的長方形之中每條對角線的長度。 考慮所示長方形 AB = CD = 10 cm ∴ BD2 = AB2 + AD2 • 畢氏定理 = 26 cm ∴ 每條對角線長 26 cm。 目錄

  24. 10.3畢氏定理的應用 2B_Ch10(24) 在圖中，ABC 是一個直角三角形，其中∠ACB = 90°， AC = 6，BC = 8 而 CD 則是 △ABC 的高。 求 (a) AB 的長度； (b) 高 CD 把邊 AB 分成的兩段的長度之比。 目錄

  25. AB2 = AC2 + BC2 ∴ AB = ∴ = (b) △ABC的面積 = ACBC =  6  8 10.3畢氏定理的應用 2B_Ch10(25) • 返回問題 (a) 在 △ABC中，AC = 6，BC = 8。 • 畢氏定理 = 10 = 24 目錄

  26. (b) 另外，△ABC的面積 = ABCD AC2 = AD2 + CD2 ∴ ∴ ABCD = 24  10 CD = 24 CD = AD = ∴ = 10.3畢氏定理的應用 2B_Ch10(26) • 返回問題 = 4.8 在 △ACD中，AC = 6，CD = 4.8。 • 畢氏定理 = 3.6 目錄

  27. 習題目標 • 利用畢氏定理求圖形中的未知量。 10.3畢氏定理的應用 2B_Ch10(27) • 返回問題 (b) DB = AB – AD = 10 – 3.6 = 6.4 ∴ AD : DB = 3.6 : 6.4 = 9 :16 ∴ 高 CD 以 9 : 16 的比把 AB 分成兩段。 目錄 • 重點理解 10.3.1

  28. 10.3畢氏定理的應用 2B_Ch10(28) • 例題演示 日常生活上的應用 B) ‧很多涉及直角三角形邊長的日常生活問題，都可以利用畢氏定理來幫助解答。 目錄 • 目錄 10.3

  29. 10.3畢氏定理的應用 2B_Ch10(29) 旭明每天放學都會經過學校附近的足球場 ABCD ，並由 A 點沿着球場的對角線步行至 C 點附近的巴士站乘車回家。 今天足球場正進行賽事，所以旭明不能進入球場內，只好沿着球場的邊緣 AB 和 BC 而行至 C 點。已知 AB = 93 m，BC = 124 m，旭明今天所行的路程比平日遠了多少？ 目錄

  30. AC = = 習題目標 • 利用畢氏定理解答生活應用題。 10.3畢氏定理的應用 2B_Ch10(30) • 返回問題 在 △ABC 中， AC2 = AB2 + BC2 • 畢氏定理 = 155 m ∴ 平日所行的路程 = 155 m 今天所行的路程 = AB + BC = (93 + 124) m = 217 m ∴ 旭明今天多行的路程 = (217 – 155) m = 62 m 目錄

  31. 10.3畢氏定理的應用 2B_Ch10(31) 在圖中，A 點和 B 點分別代表登山吊車兩個鋼纜支架的頂部位置，A 點比海平面高出 24 m。A、B 實際相距 48 m 而水平距離為 40 m。 求 B 點離海平面的高度。 （答案須準確至二位有效數字。） 目錄

  32. ∴ BE = = 習題目標 = • 利用畢氏定理解答生活應用題。 10.3畢氏定理的應用 2B_Ch10(32) • 返回問題 如圖所示，作 AEBC，可得長方形 ADCE。 ∴ AE = DC = 40 m EC = AD = 24 m 在 △ABE中， AE2 + BE2 = AB2 • 畢氏定理 ∴ BC = BE + EC = 51 m（準確至二位有效數字） ∴ B 點離海平面的高度是 51 m。 目錄 • 重點理解 10.3.2

  33. 即 在 △ABC中， 若 a2 + b2 = c2， 則 ∠C = 90°。 【簡記：畢氏定理的逆定理】 10.4畢氏定理的逆定理及其應用 2B_Ch10(33) • 例題演示 畢氏定理的逆定理及其應用 ‧ 若三角形中較短兩邊的平方和等於最長一邊的平方，則該三角形是一個直角三角形，而最長一邊所對的角是直角。 目錄

  34. 10.4畢氏定理的逆定理及其應用 2B_Ch10(34) 證明圖中 △ABC是一個直角三角形。 AC2 + BC2 = 242 + 72 = 625 在圖中， AB2 = 252 = 625 ∴ AC2 + BC2 = AB2 根據畢氏定理的逆定理，∠C = 90°。 ∴ △ABC是一個直角三角形。 目錄

  35. 10.4畢氏定理的逆定理及其應用 2B_Ch10(35) 在圖中，XZ 和 YZ 代表兩條直路。志昇和芷美每天分別從 X 和 Y 出發，沿直路前往學校 Z。志昇走了150 m 後經過車站 P，而芷美走了 40 m 後經過車站 Q。 已知車站 P、Q 分別離學校 Z 150 m 和 120 m，而 X 和 Y 相距 340 m。求車站 P、Q 的距離。 （答案須準確至最接近的 m 。） 目錄

  36. 習題目標 • 涉及畢氏定理或其逆定理的綜合題。 即 PQ = = 10.4畢氏定理的逆定理及其應用 2B_Ch10(36) • 返回問題 在 △XYZ中，XZ2 + YZ2 = [(150 + 150)2 + (40 + 120)2] m2 = 115 600 m2 XY2 = 3402 m2 = 115 600 m2 即 XZ2 + YZ2 = XY2 ∴ ∠Z = 90° • 畢氏定理的逆定理 因此，在 △PQZ 中， PQ2 = PZ2 + QZ2 • 畢氏定理 = 192 m （準確至最接近的 m） ∴ 車站 P、Q 的距離是 192 m。 目錄 • 重點理解 10.4.1

  37. 1. 如果一個數可表示成 的形式，其中 a、b 都是整數且 b >0，則該數稱為有理數；否則該數稱為無理數。 10.5無理數 2B_Ch10(37) • 例題演示 無理數和不盡根的認識 A) 2. 屬於無理數的平方根稱為不盡根。 目錄 • 目錄 10.5

  38. (a) 試判斷下列各數是否有理數。 6, , 8.65, ,  (b) 下列各題中的數都是無理數。求這些無理數的近似值，準確至三位小數。 (i) (ii) (iii) 10.5無理數 2B_Ch10(38) 目錄

  39. 6、 和 8.65 (b) (i) (ii) (iii) 10.5無理數 2B_Ch10(39) • 返回問題 (a) 有理數： = 0.157 （準確至三位小數） = 1.257 （準確至三位小數） = –10.583 （準確至三位小數） 目錄 • 重點理解 10.5.1

  40. 10.5無理數 2B_Ch10(40) • 例題演示 數學的欣賞：第一次數學危機 B) ‧無理數並不是一早便被人廣泛接受的數學概念，它的建立其實是經歷了一段頗曲折的過程，在數學史上稱為「第一次數學危機」。 目錄 • 目錄 10.5

  41. 10.5無理數 2B_Ch10(41) I. 畢氏學派的信念 畢達哥拉斯所創立的畢氏學派認為數是萬物的基礎。且認為「宇宙萬物都是數」，還深信一切事物都必具有整數或整數的比（即分數）的性質。換言之，萬物皆可用有理數來表示。 目錄

  42. II. 信念的反思 有一天，學派中有人提出：「對每邊長度為 1 的正方形，其對角線的長度是否也能用整數或整數的比來表示呢？」另一說法為： 是否可以表示成 的形式（其中 a、b 是整數且 b >0）？」經過深入的探討，畢氏學派發現無論是哪個分數都不能準確表示 。這引起學派內部極大的震動，因為他們「萬物皆依賴於整數」這個基礎信念突然之間崩潰，使到由他們所建立的許多數學理論深受質疑。在數學史上稱為「第一次數學危機」。 10.5無理數 2B_Ch10(42) 目錄

  43. III. 無理數的存在 畢氏學派嚴禁信徒向外人透露這個發現。據說有一位名叫希帕蘇斯的人，因為洩露了這個「秘密」，竟被學派信徒認為是「異端」而被投進大海去！憑着數學家的努力，到了今天，我們確實知道無理數例如 和 等是存在的。 10.5無理數 2B_Ch10(43) 目錄 • 重點理解 10.5.2

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