Cvičení 2

1. Cvičení 2 Funkce a jejich vlastnosti Nutná je znalost všech grafů elementárních funkcí a inverzních vztahů pro logaritmus a cyklometrické funkce.

2. Grafy elementárních funkcí Je třeba je znát zpaměti a také vědět, jak operují aditivní a násobná konstanta viz papír, který jsem vám dal aditivní konstanta c kladné… posun grafu po ose y o c nahoru c záporné… posun grafu po ose y o c dolů k>1… zvětšení amplitudy, roztažení grafu směrem osy y k<1… zmenšení amplitudy, stlačení grafu směrem osy y násobná konstanta k<0… otočení grafu kolem osy x

3. c kladné… posun grafu po ose x o c doleva y y y x x x 0 0 0 c záporné… posun grafu po ose x o c doprava Kladná část grafu je stejná, to co je od osou x se překlopí kolem osy x nahoru Sudá funkce… část grafu pro kladná x se symetricky překlopí kolem osy y nahoru Nakresleme obrázky: 1

4. y y y y y x 0 x x x x x 0 0 0 0 0 1 1 y 1 1 -1

5. y y x x 0 0 y y y x 0 x x x 0 0 0 -1 1 y 1 -1

6. y y x x 0 0 y y y y x x x x 0 0 0 0 1 -1 1 1 1

7. y y x x 0 0 x x 0 0 omezená omezená Posunuté grafy periodická periodická 3 y 2 1 1 -1 -3 omezená shora není prostá omezená zdola 1 rostoucí -1 prostá -3 -2 -1 -1

8. y y y x 0 x x 0 0 y x 0 omezená omezená rostoucí rostoucí prostá lichá prostá -1 1 omezená 2 klesající omezená zdola prostá není prostá 1 2 sudá

9. y y y y x x 0 0 x x 0 0 omezená zdola není prostá omezená sudá není prostá 1 sudá 1 omezená omezená sudá není prostá

10. Periodické funkce Nakreslete funkci, definovanou v celém R, která je a) periodická s periodou p=3 b) pro x v intervalu (1,4> má tvar f(x)= 2 p 0 -2 1 4 7 -5 -1

11. Inverzní funkce Prosté funkce poznáme podle obrázku nebo podle věty, že složená funkce z prostých je prostá. H(f) prosté funkce určíme snadno: je to interval, jehož krajní body jsou obrazy krajních bodů D(f). Když je f(x) prostá, existuje k ní vždycky inverzní funkce . Vypočítá se tak že z rovnice y=f(x) vypočteme to x, tedy Platí:

12. je prostá. osamotíme logaritmus na jedné straně rovnice: Použijeme definici logaritmu: A a B mohou být libovolné výrazy, a=10.

13. 1 osamotíme exponencielu na jedné straně rovnice: Použijeme obráceně definici logaritmu: A a B mohou být libovolné výrazy, a=4.

16. 0 Spojité funkce Funkce může nebýt spojitá jedině má-li nějaký speciální předpis. Dále nakresleme grafy funkcí, daných následujícími předpisy a rozhodněme, ve kterých bodech jsou spojité. f(x)= Je spojitá všude. 1 -1 1 2 -1

17. 0 f(x)= Je nespojitá v bodě pí, je tam pouze spojitá zprava. 1 -1

18. 0 Je nespojitá v –3 i v 0; v obou je pouze spojitá zprava. f(x)= 2 -3 -4

19. 0 f(x)= Je nespojitá v 0; je v ní pouze spojitá zleva. 1 1

20. 0 Je nespojitá v 0; je v ní pouze spojitá zprava. f(x)= 1 -1 -1

21. 0 Limity-poznávání z grafu Napišme, jak se funkce na obrázku chová v 1 a v nekonečnech. 1 -1

22. 0 Napišme, jak se funkce na obrázku chová v 0 a v nekonečnech.

23. 0 2

24. 0 2

25. 0 Limity – kreslení grafů z limit Nakreslete spojitou funkci f(x), která má tyto vlastnosti: f(-2)=-2 6 f(4)=2 2 -2 4 -2

26. 0 Nakreslete spojitou funkci, která má tyto vlastnosti: f(-5)=-2 f(3)=4 f(0)=8 8 4 -2 3 -5 -2 -5

27. 0 Nakreslete spojitou funkci, která má tyto vlastnosti: f(1)=-2 f(-3)=4 f(0)=4 8 4 1 -1 -3 -2 -4

28. Počítání limit Při počítání vždy dosadíme bod a do funkce za limitou (není-li v bodě a funkce definována, nahradíme hodnotu limitou, kterou odečteme z grafu elementární funkce) a koukáme, co vyjde. Když vyjde číslo, jsme hotovi. Když vyjde neurčitý výraz, tj. odložíme to na derivace. Když nevyjde ani to první ani to druhé, musíme dělat úvahy.

29. Úvahy děláme na základě věty o práci s nekonečny. Jsou to tyto úvahy, řečeno velice zjednodušeně: 1)Velký plus velký je ještě větší, velký krát velký je taky mockrát větší, konstanta krát velký nebo plus nebo minus velký je taky velký. 2)Znaménka fungují jako obyčejně, tedy minus krát minus je plus, minus krát plus je minus, minus mínus minus je plus. 3)Zlomek se blíží k nule ať je K jakákoliv konstanta. 4)Zlomek se blíží k nekonečnu, tentokrát je ale třeba dát pozor na znaménko čísla K a na znaménko jmenovatele viz 2).. Když jmenovatel mění kolem bodu a znaménko, limita neexistuje.

30. Příklady:

31. neexistuje

32. neexistuje arcsinx mění kolem nuly znaménko