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シフト付きコレスキー LR 法における ２つの固有値近似法の収束性について

シフト付きコレスキー LR 法における ２つの固有値近似法の収束性について. 東京大学大学院 情報理工学系研究科 数理情報学専攻　　 相島 健助 松尾 宇泰 室田 一雄 杉原 正顯 2008.11.26. 目次. はじめに（研究の背景） dqds 法について コレスキー LR の基本的収束性 本研究 コレスキー LR 法の２つの固有値近似法の収束速度比較 まとめ. 特異値とその計算方法. 特異値分解. 0. 長方形行列. 0. 0. 特異値. : 直交行列. 0. の固有値. 直交変換. 1. 上２重対角行列.

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シフト付きコレスキー LR 法における ２つの固有値近似法の収束性について

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  1. シフト付きコレスキーLR 法における２つの固有値近似法の収束性について 東京大学大学院 情報理工学系研究科 数理情報学専攻　　 相島 健助 松尾 宇泰 室田 一雄 杉原 正顯 2008.11.26

  2. 目次 • はじめに（研究の背景） • dqds法について • コレスキーLRの基本的収束性 • 本研究 • コレスキーLR法の２つの固有値近似法の収束速度比較 • まとめ

  3. 特異値とその計算方法 特異値分解 0 長方形行列 0 0 特異値 : 直交行列 0 の固有値 直交変換 1 上２重対角行列 正方行列と考えてよい 2 の特異値 を計算 例）dqds 法を用いる

  4. 対象とする上2重対角行列 仮定 0 特異値 0 一般性を失わない！

  5. dqds法のアルゴリズム (Fernando-Parlett, 1994) 初期設定： 反復計算： do for シフト量： の設定 for do end for end for

  6. 0 dqds 法の収束定理 (相島，松尾，室田，杉原, 2007) ：　　　の最小特異値 シフト量

  7. dqds 法の２つの特異値近似法 で打ち切る 近似値 デフレーションを繰り返す の順に計算できる 収束速度 となるようにシフト設定したい．このとき

  8. （対角＋シフト総和）と（シフト総和）の収束性（対角＋シフト総和）と（シフト総和）の収束性 相島，松尾，室田，杉原，JSIAM年会2008 大域的収束の条件 シフト量： シフト総和 の最小固有値 ：単調増加 ：単調減少 0

  9. dqds 法とコレスキーLR法の関係 の特異値 dqds法： を計算 の固有値は （既約三重対角正定値対称行列） に対し dqds 法を実行 に対しコレスキーLR法を実行 数学的に等価 コレスキーLR法：正定値対称行列の固有値計算アルゴリズム

  10. dqds 法とコレスキー LR 法の歴史 • コレスキー LR 法( Rutishauser, 1958 ) • 正定値対称行列の固有値計算アルゴリズム • 高速化のためシフトを導入 (Rutishauser, 1960) • dqds法 ( Fernando – Parlett, 1994 ) differential quotient difference with shifts 法 • 上二重対角行列の特異値計算アルゴリズム • LAPACKのルーチンDLASQ • 三重対角行列に対するコレスキー LR 法と数学的に等価

  11. シフト付きコレスキーLR法:既約三重対角 上二重 初期設定： （三重対角正定値対称行列） 0 反復計算： do for シフト量： の設定 対角行列に収束 ：コレスキー分解 0 0 end for 相島，松尾，室田，杉原，2007

  12. 対角とシフトの固有値への収束性 相島，松尾，室田，杉原，JSIAM年会2008 大域的収束の条件（　　が既約三重対角の場合） シフト量： シフト総和 の最小固有値 ：単調増加 ：単調減少 0

  13. 目次 • はじめに（研究の背景） • dqds法について • コレスキーLRの基本的収束性 • 本研究 • コレスキーLR法の２つの固有値近似法の収束速度比較 • まとめ

  14. 対象とする正定値対称行列について 正定値対称行列 固有値 固有値ベクトル

  15. （正定値対称行列） シフト付きコレスキーLR法 上三角 初期設定： 0 反復計算： do for ある種の例外を除き シフト量： の設定 右下成分のみ収束 ：コレスキー分解 ＊ 0 0 end for Rutishauser, 1960

  16. すべての固有値の計算法 で打ち切る 近似値 デフレーションを繰り返す の順に計算できる

  17. シフト付きコレスキーLR法の収束定理 （Rutishauser 1960） 大域的収束の条件 シフト量: シフト総和 の最小固有値 ＊ 0 0 ある種の例外を除き一般的に成立

  18. の固有値（相異なるとする） の固有ベクトル 　（正規直交化されているとする） の略証 (Rutishauser)

  19. の略証 (Rutishauser) 固有値はすべて異なるので ただし は の最小固有値の固有ベクトルの第 成分

  20. 目次 • はじめに（研究の背景） • dqds法について • コレスキーLRの基本的収束性 • 本研究 • コレスキーLR法の２つの固有値近似法の収束速度比較 • まとめ

  21. 問題意識 一般の行列に対してコレスキーLR法を実行すると • （対角＋シフト総和）は単調減少するか？ • （シフト総和＋対角）と（シフト総和）でどっちの収束が速いか？ ：単調増加 ：単調減少？？？ 0

  22. の評価 (Rutishauser) 固有値はすべて異なるので 収束は示せる 単調性は？？？ ただし は の最小固有値の固有ベクトルの第 成分

  23. （正定値対称行列） シフト付きコレスキーLR法 上三角 初期設定： 0 反復計算： do for シフト量： の設定 ：コレスキー分解 end for

  24. 上三角行列を中心に考える 上三角 0 ＊

  25. の単調性の証明（本研究） 0 ＊ ＊ ＊ ＊ （右下の成分に関する等号） （両辺にシフト総和を足す） 単調減少

  26. 一般の行列における収束性（本研究） 大域的収束の条件 シフト量: かつ シフト総和 の最小固有値 は の最小固有値の固有ベクトルの第 成分 ：単調増加 ：単調減少 0

  27. の略証 の固有値：

  28. の略証 の固有値： 一般化されたBauer-Fike の定理より の最小固有値

  29. の略証 の最小固有値

  30. 目次 • はじめに（研究の背景） • dqds法について • コレスキーLRの基本的収束性 • 本研究 • コレスキーLR法の２つの固有値近似法の収束速度比較 • まとめ

  31. まとめ • シフト付きコレスキーLR法の２つの近似法：（対角＋シフト総和）と（シフト総和） を比較した • （対角＋シフト総和）は単調減少する • 最終的には（シフト総和＋対角）の方が（シフト総和）より収束が速い ：単調増加 ：単調減少 0

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