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Cálculo Numérico Módulo III

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Cálculo Numérico Módulo III. Resolução Numérica de Equações (Parte III). Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros. Análise Comparativa dos Métodos. Critérios de Comparação. Garantias de Convergência Rapidez de Convergência

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c lculo num rico m dulo iii

Cálculo NuméricoMódulo III

Resolução Numérica

de Equações (Parte III)

Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz

José Eustáquio Rangel de Queiroz

Marcelo Alves de Barros

an lise comparativa dos m todos
Análise Comparativa dos Métodos
  • Critérios de Comparação
  • Garantias de Convergência
  • Rapidez de Convergência
  • Esforço Computacional
an lise comparativa dos m todos3
Análise Comparativa dos Métodos
  • Garantias de Convergência dos Métodos
  • Bissecção e Falsa Posição
    • Convergência garantida, desde que a função seja contínua num intervalo [a,b], tal que f(a)f(b)<0
  • Ponto Fixo, Newton-Raphson e Secante
    • Condições mais restritivas de convergência
    • Se as condições de convergência forem satisfeitas, os dois últimos métodos são mais rápidos do que os demais estudados
an lise comparativa dos m todos4
Análise Comparativa dos Métodos
  • Rapidez de Convergência
  • Número de Iterações Medida usualmente adotada para a determinação da rapidez de convergência de um método
  • Não deve ser uma medida conclusiva sobre o tempo de execução do programa
  • Tempo gasto na execução de uma iteração Variável de método para método
an lise comparativa dos m todos5
Análise Comparativa dos Métodos
  • Esforço Computacional
  • Indicadores
    • Número de operações efetuadas a cada iteração;
    • Complexidade das operações;
    • Número de decisões lógicas;
    • Número de avaliações de função a cada iteração; e
    • Número total de iterações.
an lise comparativa dos m todos6
Análise Comparativa dos Métodos
  • Esforço Computacional
  • Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de um método.
    • Bissecção Cálculos mais simples por iteração
    • Newton Cálculos mais elaborados
    • Número de iterações da Bissecção é, na grande maioria das vezes, muito maior do que o número de iterações efetuadas por Newton
an lise comparativa dos m todos7
Análise Comparativa dos Métodos
  • Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal
  • Convergência assegurada
  • Ordem de convergência alta
  • Cálculos por iteração simples
an lise comparativa dos m todos8
Análise Comparativa dos Métodos
  • Escolha do Melhor Método
  • Newton-Raphson Caso seja fácil a verificação das condições de convergência e o cálculo de f´(x)
  • Secante Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f´(x), uma vez que não é necessária a obtenção de f´(x)
an lise comparativa dos m todos9
Análise Comparativa dos Métodos
  • Critério de Parada  Detalhe importante na escolha do método
  • Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a raiz Bissecção ou FalsaPosiçãoModificado (não usar o Método da FalsaPosição)
  • Se a escolha parte de um valor inicial para a raiz  Newton-Raphson ou da Secante (pois trabalham com aproximações xkpara a raiz exata)
an lise comparativa dos m todos10
Análise Comparativa dos Métodos
  • Observações Importantes
  • Situações nas quais se deve evitar o uso do Método deNewton-Raphson e da Secante
    • Tendência da curva ao paralelelismo a qualquer um dos eixos
    • Tendência da função à tangência ao eixo das abscissas em um ou mais pontos.
an lise comparativa dos m todos11
Análise Comparativa dos Métodos
  • Conclusão
  • Escolha do método  Diretamente relacionada com a equação cuja solução é desejada
    • Comportamento da função na região da raiz exata
    • Dificuldades com o cálculo de f´(x)
    • Critério de parada, etc.
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Análise Comparativa dos Métodos
  • Exemplo 01: f(x) = x3 – x – 1

 [1,2 ], 1 = 2=10-6

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Análise Comparativa dos Métodos
  • Exemplo 01:

φ(x) = (x+1)1/3

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y

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g(x)

2

1

x

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0

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3

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Análise Comparativa dos Métodos
  • Exemplo 02: x2 + x – 6= 0

 [1,3 ], 1 = 2=10-6

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Análise Comparativa dos Métodos
  • Exemplo 02:

φ(x) = (6 - x)1/2

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