1 / 29

畢 氏定理

11. 畢 氏定理. 個案研究. 11.1 畢 氏定理及其證明. 11.2 畢 氏定理的應用. 11.3 畢 氏定理的逆定理及其應用. 11.4 根式及無理數. 內容摘要. 個案研究. 我們首先必須知道滑梯的 高度及其頂部與底部之間 的水平距離。. 我們可以怎樣找出 滑梯板的長度？. 如圖所示， y 為滑梯板的長度， h 為滑梯的高度及 x 為滑梯的頂部與底部之間的水平距離。. 利用 畢 氏定理，我們可知 y 2  h 2  x 2 。. 當知道 x 及 h 的值時，我們便能找出滑梯板的長度。. 11.1 畢 氏定理及其證明.

alana-howell
Download Presentation

畢 氏定理

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 11 畢氏定理 個案研究 11.1 畢氏定理及其證明 11.2 畢氏定理的應用 11.3 畢氏定理的逆定理及其應用 11.4 根式及無理數 內容摘要

  2. 個案研究 我們首先必須知道滑梯的 高度及其頂部與底部之間 的水平距離。 我們可以怎樣找出 滑梯板的長度？ 如圖所示，y為滑梯板的長度，h為滑梯的高度及 x為滑梯的頂部與底部之間的水平距離。 利用畢氏定理，我們可知y2h2x2 。 當知道 x及 h的值時，我們便能找出滑梯板的長度。

  3. 11.1 畢氏定理及其證明 A. 畢氏定理 圖中所示為一直角三角形 ABC，其中 C 90。 AB為直角三角形中最長的一邊。 它稱為三角形的斜邊（直角的對邊）。 此外，我們習慣以大寫字母表示一角及以相對的小寫字母來表示該角的對邊。 a : A 的對邊 BC b : B 的對邊AC c : C的對邊AB

  4. 在一直角三角形中，兩條直角邊邊長的平方之和相等於斜邊邊長的平方。即在DABC中， 若C 90， 則a2 b2c2。 （引用時可簡稱為：畢氏定理） 11.1 畢氏定理及其證明 A. 畢氏定理 直角三角形三邊的重要關係： 以上公式稱為畢氏定理。 我們將在下一部分討論證明畢氏定理的一些方法。

  5. 11.1 畢氏定理及其證明 A. 畢氏定理 例 11.1T 在DXYZ中，Y 90、XY  16 及XZ  34。 求 a的值。 解： 在DXYZ中， XY2 YZ2XZ2 （畢氏定理） 162 a2 342 a2 1156  256  900 ∴a  30

  6. 11.1 畢氏定理及其證明 A. 畢氏定理 例 11.2T 在DXYZ中，X 90、XY  2 及YZ  3。求f的值。（答案以根式表示。） 解： 在DXYZ中， XY2 XZ2YZ2 （畢氏定理） 22 f 2 32 f 2 9  4  5 ∴f

  7. 11.1 畢氏定理及其證明 A. 畢氏定理 例 11.3T 圖中， DXYZ為一直角三角形，其中 Y 90。XY  cm、 WZ  8 cm 及XZ  11 cm。 (a) 求 YW及 XW。 (b) 求DXWZ的周界。 解： (a) 在DXYZ 中， XY2 YZ2XZ2 （畢氏定理） ∴YZ cm  cm  10 cm ∴YW (10  8) cm  2 cm

  8. 11.1 畢氏定理及其證明 A. 畢氏定理 例 11.3T 圖中， DXYZ為一直角三角形，其中 Y 90。XY  cm、 WZ  8 cm 及XZ  11 cm。 (a) 求 YW及 XW。 (b) 求DXWZ的周界。 解： (a) 在DWXY中， YW2 XY2XW2 （畢氏定理） ∴XW cm  cm  5 cm (b) DXWZ 的周界  XW  WZ  XZ  (5  8  11) cm  24 cm

  9. 11.1 畢氏定理及其證明 據說畢達哥拉斯利用另一方法證明畢氏定理。有關詳情，請參閱課本2B 冊，頁205 的數學增潤篇。 B. 畢氏定理的不同證明 遠在畢達哥拉斯提出畢氏定理以前，古代中國人及印度人已懂得應用有關概念來進行計算。 但是，畢達哥拉斯是首位以幾何方法證明畢氏定理的數學家。 證明畢氏定理的一些方法： 古希臘的證明 中國古代 — 趙爽的證明 美國總統 — 詹姆斯．加菲爾德的證明

  10. 11.1 畢氏定理及其證明 B. 畢氏定理的不同證明 (a) 古希臘的證明 每個圖形均有 4 個面積相等的直角三角形（紫色部分）。 ∵ 兩個圖形的面積相等。 ∴ a2 b2c2

  11. 11.1 畢氏定理及其證明 B. 畢氏定理的不同證明 (b) 中國古代 — 趙爽的證明 在中國古代，數學家提出勾股定理來表示一直角三角形三邊之間的關係。 「勾」為直角三角形的底，而「股」為直角三角形的高。 大約在公元 350年，趙爽應用了圖中的「弦圖」證明勾股定理，並將該證明記載於《周髀算經》中。

  12.  4   11.1 畢氏定理及其證明 B. 畢氏定理的不同證明 (b) 中國古代 — 趙爽的證明 「弦圖」是由一邊長為 (b  a) 的正方形及 4 個全等直角三角形組成，其中三角形的邊長為 a、b及 c 。 ∵ ABCD 的面積 4  DADH 的面積  EFGH 的面積 ∴ c2 4  ab (b  a)2  2ab b2  2ab a2  a2  b2

  13. ∴ (a  b)2 2  ab c2 (ab)2 a2  2ab  b2 11.1 畢氏定理及其證明 B. 畢氏定理的不同證明 (c) 美國總統 — 詹姆斯．加菲爾德的證明 在 1876 年，美國的第 20 任總統詹姆斯．加菲爾德(1831  1881)於一教育刊物內，利用兩種計算梯形面積的方法，證明出畢氏定理： 圖中，梯形 ABCD是由 2 個全等三角形ABE及ECD和一等腰直角三角形AED組成。 ∵ 梯形的面積  2 DABE 的面積  DAED 的面積 (a  b)2 2ab c2 a2  b2 c2

  14. 11.2 畢氏定理的應用 在日常生活中，我們可利用畢氏定理解答一些涉及直角三角形的問題。

  15. 11.2 畢氏定理的應用 例 11.4T 一長 3.2 m 的梯子斜靠在一直立牆壁上。已知梯子的頂端離地面的距離相等於梯腳與牆壁的距離。求梯腳與牆壁之間的距離。（答案須準確至一位小數。） 解： 設梯腳與牆壁之間的距離為 x m 。 x2 x2 3.22 （畢氏定理） 2x2 10.24 x2 5.12 ∴x  2.3 （準確至一位小數） ∴梯腳與牆壁之間的距離為 2.3 m 。

  16. E 11.2 畢氏定理的應用 例 11.5T 圖中所示為一梯形，其中AD // BC及 AB 90 。若AB 12 cm、AD 15 cm 及BC 20 cm，求 梯形的周界。 解： 如圖所示，作一直線 DE使得 DE  BC。 ∴ DE 12 cm and EC 5 cm 在DCDE中， CE2 DE2CD2 （畢氏定理） ∴CD cm  13 cm ∴梯形的周界 AB  BC  CD  DA  (12 20 13  15) cm  60 cm

  17. 11.2 畢氏定理的應用 例 11.6T 政傑及美珍同時於下午 4 時放學。政傑以 2.4 m/s 的速率向正東方走，並在下午 4:15 到達圖書館；美珍則以 2.25 m/s 的速率向正北方走，並在下午 4:12 到達書店。 (a) 他們分別走了多遠？ (b) 求圖書館與書店之間的距離。 解： (a) 政傑所走的距離  (2.4  15  60) m 美珍所走的距離  (2.25  12  60) m  2160 m  1620 m (b) 如圖所示， AB2 AC2BC2 （畢氏定理） ∴BC m  2700 m ∴ 圖書館與書店之間的距離為 2700 m 。

  18. 11.3 畢氏定理的逆定理及其應用 在一三角形中，若較短兩邊長度的平方之和相等於最長一邊長度的平方，則該三角形為一直角三角形，其中最長一邊為直角的對邊。 即在DABC中， 若a2 b2c2， 則 C 90。 （引用時可簡稱為：畢氏定理的逆定理） 前節中，我們已學習畢氏定理。 事實上，畢氏定理的逆定理也成立：

  19. 11.3 畢氏定理的逆定理及其應用 例 11.7T 圖中，XZ 25、YZ 30 及XW 20。W為YZ的中點。 (a) 證明XWZ 90。 (b) 證明DXYZ為一等腰三角形。 解： (a) 在DXWZ中， (b) 在DXWY中， WZ  30  2  15 WY  15 XWY 90 WX2 WZ2 152 202 WX2 WY2 XY2（畢氏定理）  225 400 XY  625  25 XZ2 252  XZ  625 ∴ DXYZ為一等腰三角形。 ∵ WX2 WZ2 XZ2 ∴ XWZ 90（畢氏定理的逆定理）

  20. 11.3 畢氏定理的逆定理及其應用 例 11.8T 圖中所示為一三角形紙。已知XWYZ、XW 12 cm、YW 9 cm 及WZ = 16 cm。 (a) 求 XY及XZ 。 (b) 證明這是一直角三角形紙。 解： (a) 在DWXY中， 在DWXZ中， WX2 WY2 XY2（畢氏定理） WX2 WZ2 XZ2（畢氏定理） XY cm XZ cm  15 cm  20 cm (b) 在DXYZ中， XY2 XZ2 152  202 ∵ XY2 XZ2 YZ2  625 ∴ YXZ 90 （畢氏定理的逆定理） YZ2 (9  16)2 ∴ 這是一直角三角形紙。  625

  21. 11.4 根式及無理數 ∴ OB  單位  單位 ∴ OC  單位 A. 數線上的根式 在 1A 冊第 1 章中，我們已學習在數線上標示出實數的位置。 我們亦可在數線上標示出根式的位置。 例如，若在數線上標示出的位置，首先作一直角三角形OAB ，其中OA  1 單位及AB  1 單位。 C 利用圓規， 以 O為圓心及 OB為半徑作一弧，並與數線相交於 C 。 ∵ OC  OB（半徑）

  22. 11.4 根式及無理數 A. 數線上的根式 例 11.9T 在數線上標示出 的位置。 解： 步驟一：考慮 13 為兩個平方數之和， 即 32  22  13 。 步驟二： 作一直角三角形，其中OA 3 單位及AB  2 單位。 步驟三： 以 O為圓心及 OB為半徑作一弧，並與數線相交於 C，可得OC  。 C

  23. 11.4 根式及無理數 A. 數線上的根式 例 11.10T 在數線上標示出 的位置。 解： 步驟一： 考慮 11 為一些平方數之和， 即 32  12  12  11 。 步驟二： 作一直角三角形，其中底邊和直角邊的長度分別為 3 單位及 1 單位。 然後在數線上標示出 。 步驟三：再作一直角三角形，其中底邊和直角邊的長度分別為單位及 2 單位。 然後在數線上標示出 。

  24. 11.4 根式及無理數 B. 第一次數學危機 在畢達哥拉斯年代，人們相信宇宙萬物均可利用整數或分數來表達。 因此， 的發現震驚當時的社會，並引發了第一次的數學危機。 畢氏定理被證明後，畢氏學派的一位門徒希伯索斯（約公元前 500 年）嘗試應用畢氏定理展示 1 單位正方形的對角線長度。 他發現了該長度（2 的平方根）既非整數，亦非分數。 這個發現違背了當時希臘人的信念，尤其為畢氏學派的傳統信念。 他們不能相信無理數的存在。

  25. 11.4 根式及無理數 B. 第一次數學危機 據說希伯索斯亦因此被捕及被扔進河中溺死。 雖然希伯索斯遭處決，但畢達哥拉斯最後也承認了無理數的存在。 而無理數亦於二千年後才利用有理數的概念給出定義。

  26. 內容摘要 11.1 畢氏定理及其證明 在一直角三角形ABC 中， a2 b2c2 （引用時可簡稱為：畢氏定理） 畢氏定理有很多不同的證明，包括 1. 古希臘的證明 2. 中國古代 — 趙爽的證明 3. 美國總統 — 詹姆斯．加菲爾德的證明

  27. 11.2 畢氏定理的應用 內容摘要 在日常生活中，我們可利用畢氏定理解答一些涉及直角三角形的問題。

  28. 11.3 畢氏定理的逆定理及其應用 內容摘要 在DABC中， 若 a2 b2c2 ， 則 C 90 。 （引用時可簡稱為：畢氏定理的逆定理 ）

  29. 11.4 根式及無理數 內容摘要 1. 我們可以在數線上標示出根式的位置。 2. 的發現引發了第一次的數學危機。

More Related