slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2 PowerPoint Presentation
Download Presentation
Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 140

Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2 - PowerPoint PPT Presentation


  • 139 Views
  • Uploaded on

Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2. Konsultacje: czwartek 13-15. wykład 1g. ćwiczenia 1g. Doc. dr hab. inż. Marek Kitliński pok. 718. Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej. Zagadnienia (wykłady):. Pojęcie pola, pole wektorowe i skalarne, źródła pól.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2' - akira


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Elektrodynamika

dla EiT, AiR – sem. 2

Konsultacje: czwartek 13-15

wykład 1g.

ćwiczenia 1g.

Doc. dr hab. inż. Marek Kitliński

pok. 718

Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

slide2

Zagadnienia (wykłady):

  • Pojęcie pola, pole wektorowe i skalarne, źródła pól.
  • Własności ośrodków materialnych.
  • Notacja wiążąca punkt źródła i punkt pola.
  • Pole elektryczne i jego źródła. Pojęcie gęstości ładunków.
  • Dipol elektryczny. Potencjał elektryczny, sens fizyczny,
  • pojęcie różnicy potencjałów.
  • Pole magnetyczne i jego źródła.
  • Prawo sił Ampera. Prawo Biot-Savarte’a.
  • Wektorowy potencjał magnetyczny.
  • Dipol magnetyczny, konfiguracja Helmholtza, solenoid.
  • Równanie Poissona i Laplace’a, równanie ciągłości.
slide3

Równanie Poissona i Laplace’a, równanie ciągłości.

  • Prawa elektrodynamiki: prawo Gaussa, prawo źródeł
  • magnetycznych, prawo Faraday’a, uogólnione obwodowe
  • prawo Ampera.
  • Równania Maxwella
  • Zależności energetyczne. Zasada zachowania mocy i
  • energii. Równanie Poyntinga.
  • Warunki spełnione przez wektory pól na granicy dwóch
  • ośrodków materialnych. Czas relaksacji. Warunki graniczne
  • przy powierzchni idealnego przewodnika.
slide4

Program ćwiczeń (15 godz.):

  • Rachunek wektorowy.
  • Układy współrzędnych ortogonalnych.
  • Operacje wektorowe oraz różniczkowo-całkowe
  • w układach współrzędnych ortogonalnych.
  • 4. Operatory różniczkowe: gradient, dywergencja
  • 5. Operatory różniczkowe: rotacja, laplasjan
  • 6. Twierdzenie Gaussa i Stoke’sa
  • 7. Badanie pól wektorowych i skalarnych
  • 8. Kolokwium
program wicze 15 godz c d
Program ćwiczeń (15 godz.) c.d.:
  • 9. Prawo Coulomba, potencjał elektryczny
  • 10. Źródła pola elektrycznego, prawo Gaussa
  • 11. Równanie Laplace’a i Poissona
  • 12. Źródła pola magnetycznego, prawo sił Ampera, prawo Biot-Savarte’a
  • 13. Prawo Faraday’a, uogólnione obwodowe prawo sił Ampera
  • 14. Zasada zachowania energii
  • 15. Kolokwium II
slide6

Warunki zaliczenia w trakcie semestru:

2 kolokwia w ramach ćwiczeń: 50 pkt.

Test z teorii (ostatni tydzień zajęć): 50 pkt.

W sumie do zdobycia: 100 pkt.

Ocena dostateczna wymaga uzyskania sumarycznie

50 pkt.,

przy warunku min.20 pkt. z ćwiczeń i 20 pkt. z testu.

Uzyskanie 30 pkt. z ćwiczeń (zadań) lub z testu

nie wymaga

powtarzania zaliczenia tej części w kolejnych terminach.

slide7

50-59

pkt.

dostateczny

60-69

pkt.

dost. plus

69-77

pkt.

dobry

78-86

pkt.

dobry plus

87-95

pkt.

bardzo dobry

95-100

pkt.

celujący

Skala ocen:

Podręczniki:

  • T. Morawski, W. Gwarek, Teoria Pola Elektromagnetycznego (Pola i Fale Elektromagnetyczne), WNT, Warszawa, 1998.
  • 2. David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa, 2001.
  • oraz różnorodne podręczniki z fizyki na poziomie uniwersyteckim obejmujące elektryczność i magnetyzm, elektromagnetyzm i elektrodynamikę.
slide9

Typowe oznaczenia i jednostki układu SI

Typowe oznaczenia i jednostki układu SI

slide11
Elektrodynamika – elektryczność i magnetyzm ?

Elektrodynamika – kwantowa czy klasyczna ?

Elektrodynamika klasyczna:

  • niekwantowe przybliżenie praw elektromagnetyzmu, lub
  • przypadek graniczny elektrodynamiki kwantowej.
slide12

Założenia elektrodynamiki klasycznej:

  • - materia traktowana jest jako ośrodek ciągły
  • zależność wszystkich wielkości od
  • czasu jest zdeterminowana
  • energia rozchodzi się w postaci fal
  • Elektrodynamika klasyczna:
  • nauka opisująca zachowanie się i oddziaływanie
  • obiektów materialnych obdarzonych ładunkami
  • elektrycznymi oraz analizą zjawisk temu towarzyszących.
slide13

Pole elektromagnetyczne ?

Przestrzeń, z której każdym punktem można związać

wartość jednego z czterech pól wektorowych:

- natężenie pola elektrycznego [V/m]

- natężenie pola magnetycznego [A/m]

  • indukcja pola elektrycznego lub gęstość
  • strumienia elektrycznego [C/m2]
  • indukcja pola magnetycznego lub gęstość
  • strumienia magnetycznego [Wb/m2]
  • - źródłami pola są ładunki i prądy
  • rozchodzi się (pole - zaburzenie?) w przestrzeni
  • ze skończoną i stałą niezależną od obserwatora prędkością:
  • c ≈ 300Mm/s = 3 * 108 m/s
slide14

ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE

Ogólnie przestrzeń nas otaczającą można podzielić na:

próżnię i ośrodki materialne.

Próżnia w ujęciu klasycznej elektrodynamiki posiada

zdolność przenoszenia i magazynowania energii, a więc

pewnej formy materii – niekonsekwencja w/w podziału?

  • Własności ośrodków materialnych:
  • stany skupienia
  • jednorodność
  • liniowość
  • izotropowość
  • dyspersyjność
slide15

ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE

Stany skupienia

stały

ciekły

gazowy

plazma ?

Plazma– ośrodek całkowicie zjonizowany, obojętny

elektrycznie dla zewnętrznego obserwatora,

np. jonosfera

slide16

ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE

JEDNORODNOŚĆ

Równania materiałowe:

Ośrodek nazywamy jednorodnym jeżeli parametry

materiałowe zależą od punktu przestrzeni, tzn. zachodzi:

Jeżeli przynajmniej jedna z powyższych nierówności

nie jest spełniona, to ośrodek jest niejednorodny ze względu

na dany parametr materiałowy.

slide17

ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE

LINIOWOŚĆ

Jeżeli równania materiałowe – zawierające parametry

nie zależą od wartości przyłożonych pól, to ośrodek nazywamy liniowym.

Oznacza to, że równania:

są równaniami liniowymi

W przeciwnym przypadku:

są równaniami nieliniowymi i tak też są nazywane

odpowiednie ośrodki

slide18

ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE

izotropowość - anizotropowość

Jeżeli wektory są parami równoległe, czyli parametry materiałowe są wielkościami skalarnymi, to ośrodek zaliczamy do izotropowych. W przeciwnym przypadku, gdy wielkości te mają charakter tensorowy, czyli własności ośrodka zależą od kierunku w przestrzeni, ośrodek nazywamy anizotropowym. Mogą zachodzić wtedy relacje typu:

gdzie:

- tensor przenikalności elektrycznej, np. magnesowana plazma;

- tensor przenikalności magnetycznej, np. magnesowany ośrodek ferrytowy;

- tensor przewodności, np. papier pokryty warstwą rezystywną.

slide19

Gdy tensor jest symetryczny, mówimy o anizotropii zwykłej. Gdy własności ośrodka zależą od specyficznego kierunku pola polaryzującego ośrodek (np. stałe pole lub ) wprowadza się pojęcie ośrodka żyrotropowego. Przykładowo magnesowany w kierunku osi z ferryt opisany jest tensorem postaci:

ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE

izotropowość - anizotropowość

Przykładowa relacja:

slide20

Najnowsze badania materiałowe pozwalają wytworzyć ośrodki nazywane bianizotropowymi, dla których wektory indukcji zależą jednocześnie od pól i :

ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE

Czasem spotyka się proste postaci tensorów przenikalności, spotykane w kryształach, ceramice podłożowej, nazywane przypadkiem anizotropii jednoosiowej:

slide21

ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE

DYSPERSYJNOŚĆ

Jeżeli parametry (własności) ośrodka zależą od częstotliwości sygnału, który do tego ośrodka wprowadzamy,

to nazywamy taki ośrodek dyspersyjnym;

w przeciwnym przypadku: ośrodek bezdyspersyjny.

slide22

(x,y,z)

punkt obserwacji

Definiujemy czyli wektor wiążący położenie źródła i punkt obserwacji:

Notacja wiążąca punkt źródła i punkt pola

- punkt pola (obserwator)

- punkt źródła

- wektor źródła

(x’,y’,z’) - źródło

- wektor pola

na ogół

slide23

zmiana punktu pola (punktu obserwacji):

zmiana położenia źródła:

gdzie operator :

slide24

Czasem wykorzystuje się zależności:

wykazać!

gdzie jest funkcją delta Diraca zdefiniowaną relacją:

jeśli V obejmuje R=0

jeśli V nie obejmuje R=0

jeśli V’ obejmuje R=0

jeśli V’ nie obejmuje R=0

slide25

Def.

Prawo Coulomba:

Pole elektryczne

lub bardziej precyzyjnie:

slide26

ale

czyli:

Stąd:

gdzie:

slide28

Rozważmy pole wywołane zbiorem ładunków punktowych rozłożonych w przestrzeni:

Układ źródeł punktowych

czyli:

lub

gdzie:

slide29

W praktyce obserwujemy fluktuację przestrzenną ładunków (e, jony).

Ujęcie makroskopowe:

Zastąpienie układu ładunków dyskretnych ciągłym rozkładem ładunków.

Rozważmy objętość V zawierającą pewien rozkład ciągły ładunków:

- objętościowa gęstość ładunków

slide30

Def.:

Podobnie, gdy rozważymy powierzchnię z równomiernie rozłożonymi ładunkami.

Wtedy:

oraz dla ciągłego rozkładu ładunków wzdłuż pewnej linii:

Ładunek związany z objętością, powierzchnią, linią:

Całkowity ładunek odpowiednio:

slide31

Dla dyskretnego rozkładu ładunków:

czyli dla rozkładu ciągłego:

gdy

oraz

lub

lub

lub

slide32

Przykład:

Pole elektryczne wytworzone przez ładunki punktowe o ciągłym rozkładzie liniowym

slide34

Wniosek:

Składowa radialna pola elektrycznego od „nieskończonego” ładunku liniowego zmienia się jak

(w układzie cylindrycznym). Pole wywołane źródłami punktowymi zmienia się jak

(w układzie sferycznym).

slide35

Przykład:

Statyczny dipol elektryczny

-2 ładunki – równe – różnoimienne – odległe o „d”

moment dipolowy elektryczny:

slide38

czyli dla r >> d

Pole pochodzące od dipola elektrycznego zanika jak (w układzie sferycznym).

slide40

siła oddziaływania coulombowskiego

  • siła mechaniczna potrzebna dla utrzymania równowagi

Potencjał elektryczny

Rozważmy 2 ładunki jednoimienne

slide41

ale czyli:

Praca – potrzebna do przesunięcia ładunku q:

Praca całkowita – potrzebna do przesunięcia ładunku q z punktu 1 do punktu 2:

slide42

Jeżeli punkt 2 , to , tzn. potencjał wywołany źródłem umieszczonym w nieskończoności

RÓŻNICA POTENCJAŁÓW

slide43

Wtedy:

Praca na jednostkę ładunku, którą należy wykonać przeciw siłom pola, aby przemieścić ładunek jednostkowy z nieskończoności do punktu 1

Praca na jednostkę ładunku wykonana przez siły pola na przemieszczenie ładunku jednostkowego do nieskończoności

- jeżeli cząsteczka naładowana porusza się przeciwnie w stosunku do kierunku pola elektrycznego, wtedy praca jest dodatnia – analogia do mechanicznego pola grawitacyjnego

Potencjał elektryczny równoważny jest pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku w polu elektrycznym

slide44

POLE MAGNETYCZNE

  • Założenia:
  • Źródła: prądy, magnesy trwałe
  • Ładunek testujący porusza się z prędkością , tworząc w ten
  • sposób element prądowy:
  • 3. Siła oddziaływania magnetycznego jest prostopadła do
  • (eksperyment)

Równanie:

wiążące amplitudę siły i pola B

(gęstość strumienia magnetycznego):

slide45

Fmax – największa wartość siły jaka obserwowana jest przy

zmianie kierunku wektora .

lub dokładniej:

Uwzględniając kierunki wektorów:

jest to definicja wektora - określająca siłę działającą na

ruchomy ładunek testujący

slide46

Energia dostarczona ruchomemu ładunkowi przez pole :

gdy oba pola występują równocześnie:

RÓWNANIE SIŁ LORENZA

dla ładunku punktowego

slide47

RELACJE PRĄDOWE

W praktyce określa się siłę działającą nie na pojedynczy ładunek ruchomy, ale wywieraną na ciągłe przestrzenne rozkłady poruszających się ładunków lub na przewodnik z prądem.

Rozważmy „cylinder” z ruchomym ładunkiem poruszającym się z prędkością .

slide49

czyli, ponieważ mają zgodne kierunki:

lub, gdy występują jednocześnie:

RÓWNANIE SIŁ LORENZA

dla ciągłego rozkładu ładunków

Gdy A jest const. Wygodnie jest wprowadzić natężenie prądu:

slide51

Coil

S

Moving

Cone

N

Axis

Vibration

S

Magnet

slide52

PRAWO SIŁ AMPERA

  • analog prawa Coulomba
  • prawo magnetostatyczne
  • określa siłę oddziaływania dwóch elementów prądowych
  • (w postaci różniczkowej)
  • lub siłę wzajemnego oddziaływania pętli z prądami
  • (w postaci całkowej)

pętla źródłowa (1)

pętla testująca (2)

prawo si ampera
PRAWO SIŁ AMPERA

W postaci różniczkowej:

W postaci całkowej – siła działająca na pętlę testującą

w obecności pętli źródłowej:

slide54

PRAWO BIOT-SAVARTE’a

Korzystając z definicji pola wytworzonego przez element prądowy:

mamy więc:

gdzie określa przyrost wektora strumienia magnetycznego wywołany elementem źródłowym

oraz korzystając z prawa sił Ampera:

slide55

odczytujemy: pole

magnetyczne wytworzone

przez element prądowy

PRAWO

Biot-Savarte’a

w postaci różniczkowej

albo całkowite pole generowane przez pętlę źródłową:

PRAWO

BIOT-SAVARTE’a

dla pojedynczej pętli z prądem I

Ponieważ:

więc

slide56

Jeżeli element źródłowy zawarty jest w objętości V, to całkowite pole

wytwarzane przez źródła w V :

Prawo Biot-Savarte’a dla źródeł istniejących

w pewnej objętości V’

czasem: „całka źródeł prądowych”

wcześniej znaleźliśmy:

slide57

Tożsamość wektorowo-różniczkowa:

gdyż działa na zmienne pola,

a jest zależny od

POTENCJAŁ WEKTOROWY

czyli:

Pole wytworzone przez źródła zawarte w objętości V:

lub

slide58

Łatwo zauważyć, że (tożsamość):

czyli:

Implikuje to możliwość wprowadzenia

wektorowej funkcji potencjalnej :

  • pole wektorowe, którego amplituda i kierunek określane
  • są przez całkę źródeł prądowych

prawo źródeł magnetycznych

slide59

ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO

1. Pętla z prądem I

slide60

znak – dla

znak + dla

PRAWO BIOT-SAVARTE’A:

oraz

ze względu

na symetrię

slide61

Zauważamy, że dla

oraz jeśli zastosujemy

N - pętli

I

NI

slide62

x

y

a

a

z

I

I

d

2. Konfiguracja Helmholtza

Każda z cewek (pętli) może posiadać N przewodników:

slide63

dla

z’

a

P

z

z

L

Wykazać:

Znaleźć:

jeżeli

3. Solenoid

cylinder z N pętli przewodzących rozłożonych równomiernie na długości L

slide64

Liczba przewodników na element długości wynosi

Pole w punkcie z:

Obliczając:

Gdy L >> a oraz wtedy:

i przy tych założeniach jest jednorodne

slide65

a

4. Dipol magnetyczny

Rozważmy pole magnetyczne wytworzone przez pętlę z prądem.

Szukamy tego rozwiązania w dowolnym punkcie przestrzeni.

slide66

Potencjał

ale

czyli:

oraz można wykazać, że:

jednocześnie, przy r >> a, otrzymuje się:

po scałkowaniu:

slide67

Pamiętając, że

, natomiast z rysunku

definiując magnetyczny moment dipolowy

można zapisać

wektorowy potencjał magnetyczny:

ale pamiętając, że:

pole magnetyczne wytworzone przez pętlę z prądem (dipol magnetyczny):

dla porównania pole wytworzone przez dipol elektryczny:

slide68

r

I

P

5. Przewodnik z prądem I

Z prawa Biot-Savart’a

slide69

uwzględniając (z rysunku):

pole wytworzone przez nieskończenie

długi przewodnik z prądem I:

czyli

slide70

Rozważmy dwa długie przewodniki,

w których płyną prądy oraz :

siła / jednostkę długości:

(współrzędne cylindryczne)

slide72

Prawa pola elektromagnetycznego

PRAWO GAUSSA

Rozważmy ładunek punktowy Q otoczony pewną dowolną powierzchnią S

slide73

Strumień pola elektromagnetycznego przenikający powierzchnię dS:

Całkowity strumień przenikający powierzchnię zamkniętą S:

Rzut wektora na kierunek pola

slide74

Pole wytworzone przez ładunek punktowy -

z prawa Coulomba:

Całkując po powierzchni kuli o promieniu R:

Całkowity

strumień pola E

Całkowity strumień pola D

równy jest ładunkowi Q istniejącemu w objętości ograniczającej powierzchnię S

równy jest ładunkowi Q istniejącemu w objętości ograniczającej powierzchnię S (odniesionemu do przenikalności elektrycznej ośrodka)

prawo gaussa
Prawo Gaussa
  • Całkowite pole D lub E (strumień) przenikające określoną powierzchnię zamkniętą S jest proporcjonalne do całkowitego ładunku Q zawartego wewnątrz objętości V przy dowolnym /dyskretnym lub ciągłym/ rozkładzie przestrzennym ładunku.
  • W przypadku ładunku punktowego jego położenie wewnątrz V ograniczonej przez powierzchnię S jest dowolne.
slide76

Wcześniej określiliśmy pole gdy znane były jego źródła:

lub:

Zakładając spełnienie wszystkich założeń dotyczących ciągłości i różniczkowalności można wykonać operację div w pewnym punkcie pola:

slide77

Gdy całkowanie jest rozciągnięte na objętość V’ zawierającą ładunek o gęstości :

Korzystając z własności:

oraz pamiętając definicję :

jeśli V obejmuje R=0

jeśli V nie obejmuje R=0

Prawo GAUSSA

w postaci różniczkowej

(dla punktu przestrzeni)

lub dla ośrodka izotropowego o znanej przenikalności elektrycznej:

slide78

Całkując po dowolnej objętości V:

lub

oraz korzystając z twierdzenia Gaussa /twierdzenia o dywergencji/:

slide79

Czasem zapisuje się ogólnie - aby uwzględnić wszystkie

formy istnienia (opisu) ładunków:

PRAWO GAUSSA – słuszne jest zarówno w przypadku statycznym, jak i dynamicznym – prawo elektrodynamiki

r wnanie poissona i laplace a
RÓWNANIE POISSONA i LAPLACE’A

Z prawa GAUSSA w postaci różniczkowej:

zakładając, że

ośrodek jest jednorodny i izotropowy:

slide81

czyli:

Równanie Poissona

wiąże funkcję potencjalną z gęstością ładunku.

W wielu przypadkach funkcja potencjalna jest wykorzystywana w obszarach, gdzie .

Wtedy:

Równanie Laplace’a

slide82

Przykład 1:

Nieskończona płaszczyzna z ładunkiem o gęstości

Z prawa Gaussa:

slide83

czyli

stąd

dwie płaszczyzny z ładunkami różnoimiennymi

slide84

Rozważmy statyczne pole elektryczne:

Pole elektryczne

Czyli, wykonując operację rotacji otrzymujemy:

lub ?

nie jest to słuszne dla przypadku zmian w czasie

B

Pole elektryczne jest

zachowawcze

(podobnie jak pole grawitacyjne)

A

slide85

Eksperyment Faraday’a:

pętla detekcyjna

pętla źródłowa

Napięcie pomiędzy dwoma punktami pętli odbiorczej:

slide86

PRAWO FARADAY’A

lub

gdzie:

stosując twierdzenie Ostrogradskiego – Stockes’a:

PRAWO FARADAY’A w postaci całkowej

slide87

Jeżeli S nie zmienia się w czasie, wtedy:

porównując wyrażenia podcałkowe,

otrzymujemy dla punktu przestrzeni (postać różniczkowa):

slide88

RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI

Rozważmy objętość V zawierającą ładunek Q

Prąd I przepływający przez powierzchnię S ograniczającą V

Całkowity prąd wypływający z V musi powodować zmniejszenie się ładunków zmagazynowanych wewnątrz V, czyli:

slide89

Wykorzystując twierdzenie o div:

Równanie ciągłości w postaci całkowej

Ponieważ V’ tu jest dowolne, więc:

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej

(dla punktu przestrzeni)

W przypadku statycznym, tzn. gdy

Równanie ciągłości dla przypadku statycznego

slide90

PRAWO ŹRÓDEŁ MAGNETYCZNYCH

Odpowiednik prawa Gaussa –

określa własności źródeł pola .

- wektor gęstości strumienia magnetycznego.

Całkowity strumień przenikający powierzchnię S:

Dowiedziono eksperymentalnie, że nie istnieją ładunki magnetyczne analogiczne do elektrycznych, których własności opisuje prawo Gaussa.

Postać różniczkowa

prawa źródeł magnetycznych

Postać całkowa

prawa źródeł magnetycznych

slide91

Nie oznacza to, że nie ma źródeł pola magnetycznego, a jedynie brak ładunków punktowych magnetycznych, które stanowią punkty końcowe linii sił pola.

  • W konsekwencji – linie sił pola są liniami zamkniętymi.
  • pole magnetyczne nazywane jest dlatego:
  • solenoidalnym l u b b e z ź r ó d ł o w y m
  • (źródłowość, czyli )
slide92

OBWODOWE PRAWO AMPERA

(Prawo Ampera – Oersteda)

Oersted wykazał, że pola magnetyczne wytwarzane są przez

prądy.

Amper sformułował dla przypadku statycznego :

gdzie:

I – całkowity prąd elektryczny płynący w zamkniętej pętli

slide94

z twierdzenia Stokes’a:

stąd, jeśli S jest dowolna

postać różniczkowa

obwodowego prawa Ampera

Prawo Faraday’a – analog (?):

Prawo Ampera:

slide95

POSTAĆ UOGÓLNIONA

OBWODOWEGO PRAWA AMPERA

Dla mamy:

Wykonujemy operację div:

czyli

statyczna postać równania ciągłości

slide96

Maxwell zaproponował wprowadzenie do obwodowego prawa Ampera dodatkowego składnika – zależnego od czasu:

Wykonujemy operację div:

Z prawa GAUSSA:

czyli

równanie ciągłości

stąd

Wynik potwierdza zasadność wprowadzenia składnika:

slide97

POSTAĆ CAŁKOWA

OGÓLNEGO PRAWA AMPERA

(RÓWNANIE MAXWELLA)

Jest to prawo analogiczne do prawa Faraday’a

może zostać wywołane przez zmienne pole

Pole (typu )

może zostać wywołane przez zmienne pole

Pole (typu )

slide98

I

I

A

Przykład 2

Kondensator

Jeżeli prąd I nie zmienia się w czasie to i narastają do pewnej wartości.

Czyli przepływ prądu związany jest z przemieszczaniem ładunków w czasie i powstaniu w kondensatorze

slide99

Prąd

Gęstość prądu przesunięcia:

lub

o ten składnik uzupełnił Maxwell równanie Ampera

slide100

RÓWNANIA MAXWELLA

Obwodowe prawo Ampera

postać różniczkowa

Prawo Faraday’a

słuszna dla

Prawo Gaussa

dowolnie wybranego

Prawo źródeł magnetycznych

punktu przestrzeni

slide101

W p o s t a c i c a ł k o w e j :

Ponadto:

oraz równania materiałowe:

slide102

UWAGI O RACHUNKU SYMBOLICZNYM

Wektor zespolony: wektor, którego składowe mogą być dane liczbami zespolonymi

Ogólnie:

przy czym zachodzi:

Rzeczywista chwilowa wielkość pola:

D e f i n i u j e m y :

slide103

przykład:

stąd

gdyż

Zaleta takiej notacji:

czyli obliczenie pochodnej zastępujemy mnożeniem przez (omijając na ogół i )

slide104

OPERACJA MNOŻENIA

WIELKOŚĆ ŚREDNIA W CZASIE:

Wielkość średnia iloczynu:

slide105

RÓWNANIA MAXWELLA

dla amplitud zespolonych (pobudzenie harmoniczne)

slide109

ZALEŻNOŚCI ENERGETYCZNE

SIŁA działająca na ładunki

ŁADUNKI PUNKTOWE

Rozważmy ciągły rozkład ładunków:

slide110

RÓWNANIE LORENZA

ale

czyli:

G ę s t o ś ć o b j ę t o ś c i o w a s i ł y :

czyli:

Całkowita siła:

slide111

ENERGIA UKŁADU ŁADUNKÓW

1. Ładunki punktowe

Energia praca niezbędna do rozmieszczenia ładunków w danej konfiguracji

  • Przesunięcie z
  • nie trzeba wykonywać pracy, bo brak pola

2. Przesunięcie z

praca

potencjał w punkcie (2) od ładunku w punkcie (1)

  • Przesunięcie z
  • praca

potencjał w punkcie (3)

od ładunku w punkcie (1)

potencjał w punkcie (3)

od ładunku w punkcie (2)

slide112

CAŁKOWITA PRACA

potrzebna do zgromadzenia pewnej liczby ładunków

Zachodzi:

Ogólnie:

Stąd:

Dodając oba wyrażenia i dzieląc przez 2 mamy:

gdzie:

slide113

CIĄGŁY ROZKŁAD ŁADUNKÓW

gdy

Energia całkowita niezbędna dla zgromadzenia ładunków o gęstości w objętości

Gęstość objętościowa energii:

gdy

slide114

Wprowadzamy wektor

Z prawa Gaussa:

czyli:

Skorzystajmy z własności:

Wprowadzając oraz korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego:

slide115

Objętościowa gęstość energii elektrycznej

Aby objąć wszystkie ładunku dążymy z

wtedy:

gdyż

więc

slide116

Z poprzedniej definicji , czyli :

gdy

Pozorna sprzeczność jest konsekwencją założenia, że

Energia kinetyczna cząstki

(z mechaniki klasycznej)

Z POWYŻSZEJ DEFINICJI TO NIE WYNIKIA

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

Ładunek w polu

siła (Lorenza)

Można przypuszczać, że pole gromadzi energię. Gdy proces ten trwa

przez pewien czas – transmisja mocy przez pole.

slide117

Dla ciągłego rozkładu ładunków z prędkością

Uwaga – przechodząc w dziedzinę wielkości zespolonych, można zauważyć:

slide118

Z równań Maxwella

Tożsamość:

slide119

ale

zasada zachowania energii – w postaci różniczkowej:

czyli

w postaci całkowej (z tw. Gaussa-Ostrogradzkiego)

slide120

W – energia wewnątrz

(zmienna w czasie)

– wektor gęstości

powierzchniowej mocy

opuszczającej V

Całkowita moc Pcopuszczająca :

Wielkość ta powinna być równa zmianom w czasie energii W, czyli:

ale

stąd

slide121

Zasada zachowana energii

(mocy)

lub

gdzie:

wektor Poyntinga

gęstość energii

zmagazynowanej

w polu

elektrycznym

gęstość energii

przekazywanej

przez pole

cząstkom – nośnikom ładunków

gęstość energii

zmagazynowanej

w polu

magnetycznym

slide122

ZESPOLONA POSTAĆ

zasady zachowania energii (mocy)

Przy opisie przebiegów harmonicznych wprowadza się

notację amplitud zespolonych

wtedy:

definiujemy zespolony wektor Poyntinga:

Często posługujemy się

wartościami średnimi w czasie

Wcześniej wykazaliśmy, że wartość średnia iloczynu dwóch wielkości rzeczywistych <A’ ·B’> = <A(t)·B(t)> może być wyznaczona jako:

slide124

Skorzystajmy z równań Maxwella zapisanych dla amplitud zespolonych:

Korzystając z tożsamości:

W rezultacie:

slide125

Całkując i stosując twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:

Rozdzielimy to równanie poszukując części rzeczywistej i urojonej:

Część rzeczywista:

lub

slide126

WARTOŚĆ ŚREDNIA MOCY

przesyłanej przez powierzchnię zamkniętą S

równa jest mocy przekazywanej przez pole

naładowanym cząstkom wewnątrz S.

Część urojona:

lub

WARTOŚĆ UROJONA ŚREDNIEJ MOCY

przesyłanej przez powierzchnię zamkniętą S

pozostaje w określonym związku z różnicą wartości średnich energii zmagazynowanych w objętości V w polu elektromagnetycznym.

slide127

WARUNKI GRANICZNE

GRANICA IDEALNA

GRANICA RZECZYWISTA

slide128

W granicy, gdy

2

ΔS

1

1

SKŁADOWE NORMALNE

lub

slide129

lub

stąd

Rozważmy pole

czyli

ale

czyli

slide130

SKŁADOWE STYCZNE

slide131

W granicy, gdy

jest gęstością liniową

prądu płynącego po

nieskończenie cienkiej

powierzchni

gdzie:

Uwzględniając:

slide132

stąd, ponieważ jest styczne do powierzchni granicznej,

ale wybrane arbitralnie:

Zauważamy, że

ale

czyli:

slide133

Przechodząc do wektora

stąd

więc

lub

W POLU ELEKTRYCZNYM

slide134

czyli

lub

CZAS RELAKSACJI

Zakładamy, że w V’ istnieje rozkład ładunków:

Chcemy znaleźć:

slide135

czas relaksacji

stąd

Inaczej:

slide136

Dobry przewodnik:

Dobry dielektryk:

slide137

WARUNKI GRANICZNE NA POWIERZCHNI

IDEALNEGO PRZEWODNIKA

  • brak ruchu ładunków wewnątrz
  • objętości idealnego przewodnika,

2. nie ma (w konsekwencji) pól ,

3. w stanie statycznym powierzchnia przewodnika

jest ekwipotencjalna

4. na powierzchni przewodnika może wystąpić ruch

ładunków opisywany prądem ,

5. na powierzchni przewodnika może istnieć rozkład ładunków

slide138

Pola nie mają składowej stycznej przy powierzchni

idealnego przewodnika.

idealny dielektryk

idealny przewodnik

czyli:

ale

czyli:

slide139

Pola nie mają składowej normalnej przy powierzchni

idealnego przewodnika.

ale

czyli:

Podobnie:

ale

czyli:

slide140

może mieć różną od zera

składową normalną

pole

może mieć różną od zera

składową styczną

pole

WNIOSEK:

przy powierzchni idealnego przewodnika: