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CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA. 03 DE SETEMBRO DE 2008. REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES. ENGENHARIA DE PROCESSOS. Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos. 1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS. O conjunto de ações desenvolvidas. Até

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CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

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  1. CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 03 DE SETEMBRO DE 2008

  2. REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES

  3. ENGENHARIA DE PROCESSOS Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos

  4. 1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS O conjunto de ações desenvolvidas Até Um plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial. DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico  É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!

  5. Calcular o consumo de utilidades Estabelecer o número e o tipo dos reatores Investigar mercado para o produto Calcular a vazão dascorrentes intermediárias Definir o número e o tipo dos separadores Calcular as dimensõesdos equipamentos Investigar reagentesplausíveis Definir o número e o tipo de trocadores de calor Calcular o consumo dos insumos Investigar disponibilidade das matérias primas Estabelecer malhas de controle Calcular o consumo de matéria prima Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados Definir o fluxogramado processo Avaliar a lucratividadedo processo SELEÇÃO DEROTAS QUÍMICAS SÍNTESE ANÁLISE

  6. 1.3 SISTEMAS 1.3.3 Projeto Denominação genérica atribuída ao conjunto numeroso e diversificado de atividades associadas à criação de um sistema. Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem: SÍNTESE (a) escolha de um elemento para cada tarefa. (b) definição da estrutura do sistema. ANÁLISE (a) previsão do desempenho do sistema. (b) avaliação do desempenho do sistema. PROJETO = SÍNTESE  ANÁLISE

  7. RM RT DS DE Aquecedor Resfriador Trocador deIntegração Reator demistura Reator tubular Coluna de destilaçãosimples Coluna de destilaçãoextrativa T R A MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor. Um problema com multiplicidade de soluções!

  8. EXPLOSÃOCOMBINATÓRIA !!!

  9. MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Cada par (x1,x2)é uma solução viável Problema: determinar o melhor par de valores Dificuldade: infinidade de soluções viáveis!

  10. 1.3 SISTEMAS 1.3.6 Otimização O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização. Nível Tecnológico:determinar a melhor rota química. Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima. Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes. A multiplicidade de soluções, tanto na Síntese como na Análise, conduz ao conceito de Otimização. através da Exige a busca da Multiplicidadede Soluções Solução Ótima Otimização

  11. Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados ? P ? ? A,B P,C D,E P,F A+B P+C D+E P+F ?? ?? 4 A 1 P 2 D 3 P A P D P x x B C E F x x B C E F T D M D T A M E ? ? ? ? L L L L 6 8 10 7 x* x* x* x* x x o = 3 x o = 4 x o = 6 x o = 5 x x x Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima:Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4

  12. ? P ? ? D,E P,F D+E P+F ?? D 3 P x E F ? L 10 4 x Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Vantagem Varre todas as soluções sem repetiçõessem omitir a ótima Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Desvantagem Explosão Combinatória(outros métodos) Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima:Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4  demais dimensões.

  13. INÍCIO DO CAPÍTULO 5

  14. ORGANIZAÇÃO DA DISCIPLINA ANÁLISE SÍNTESE 2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 6 INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 4 3 5 AVALIAÇÃOECONÔMICAPRELIMINAR OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 8 7 SÍNTESE DE SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA SISTEMAS DE SEPARAÇÃO FINALIDADE DO CAPÍTULO Apresentar alguns conceitos básicos de Otimização, o método analítico e métodos numéricos simples com aplicações em processos químicos.

  15. MISTURADOR RESFRIADOR CONDENSADOR W14T*14 W12T*12 W9T*9 14 12 9 13 10 Benzeno W13T13 W10T10 Ar Ac W11T*11 11 W8T*8 8 Benzeno Água Água W5T*5 W15T15 15 W3x1,3 T3f1,3f2,3 5 EXTRATOR BOMBA EVAPORADOR Ae 3 1 Vd Extrato * r* W*1x*1,1 T*1f1,1f3,1 W6T*6 7 6 W2 x12 T*2f12f32 W7T7 Vapor W4x*1,4 T4f1,4f2,4 2 4 Condensado Alimentação Rafinado Produto Relembrando o Processo Ilustrativo

  16. Dimensionamento com G = 0 (solução única) W1 x1,1,x1,4 T1,T2,T5,T6,T8,T9,T11,T12,T14, r,  VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W4,W6,W8,W11,W14 AVALIAÇÃO MODELOMATEMÁTICO Vd,Ae,Ac,Ar INCÓGNITAS ECONÔMICA PARÂMETROS L

  17. Dimensionamento com G > 0 (otimização) W1 x11,x14 T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,  VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W4,W6,W8,W11,W14 Vd,Ae,Ac,Ar MODELOMATEMÁTICO AVALIAÇÃO INCÓGNITAS ECONÔMICA L r,T9,T12 OTIMIZAÇÃO VARIÁVEIS DE PROJETO Ausência de r, T9 e T12 na lista deMetas de Projeto O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até encontrar o valor máximo do Lucro.

  18. Resumoda Análise de Processos Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais 2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 3 4 5 ESTRATÉGIAS AVALIAÇÃO OTIMIZAÇÃO DE CÁLCULO ECONÔMICA Variáveis Especificadas Parâmetros Econômicos ParâmetrosFísicos MODELO MATEMÁTICO Dimensões Calculadas Lucro MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis de Projeto 

  19. Otimizar Processo Simular Extrator Dimensionar Extrator Simular Evaporador Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Simular Condensador Resolver Problema Dimensionar Resfriador Simular Resfriador Dimensionar Misturador Simular Misturador Dimensionar Processo Simular Processo Calcular Lucro

  20. OTIMIZAÇÃO Palavra com dois significados: Ação debuscar a solução ótima de um problema Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de métodos de busca da solução ótima de um problema

  21. Comentário Todo problema de Otimizaçãoencerra um conflito A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes.

  22. Exemplo No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucrode forma conflitante. W kg B/h ? B: benzeno (solvente) 60 Q = 10.000 kgA/h x kgB/kgA A : água EXTRATOR 50 xo= 0,02 kg AB/kg A rafinado AB: ácido benzóico (soluto) y kg AB/kg B 40 (extrato) 30 20 Lo=15,6 10 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Wo = 1.973,6 Com o aumento da vazão: - aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita. R - aumenta o consumo de solvente. Logo,aumenta o Custo operacional. C L,R,C $/a L = R - C Vazão ótima  Lucro máximo W kg/h Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui. A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

  23. 5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.1Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

  24. - metas estritamente suficientes G = 0 soluçãoúnica - metas insuficientes G > 0infinidade de soluções viáveis - metas inconsistentes ou em excesso G  0 solução impossível y y y paralelas coincidentes x x x 5.1 CONCEITO DE OTIMIZAÇÃO Do Capítulo 2: na resolução de qualquer problema: Graus de Liberdade G = V - N - E V : número de variáveis N : número de equaçõesE:número de variáveis especificadas (E = C + M) C = condições conhecidas M = metas de projeto Em problemas de dimensionamento, ocorre uma das três situações:

  25. Exemplo simples: dimensionamento de um extrator W kg B/h ? B: benzeno (solvente) Q = 10.000 kgA/h A : água x = 0,01 kgAB/kgA EXTRATOR rafinado xo= 0,02 kg AB/kg A AB: ácido benzóico (soluto) y kg AB/kg B extrato (a) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA como meta Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C= 2, M = 1 (solução única) G= 0 y = 0,04; W = 2.500 kg/h

  26. (b) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA e y = 0,03 kgAB/kgB como metas. W kg B/h ? B: benzeno (solvente) Q = 10.000 kgA/h A : água x = 0,01 kgAB/kgA EXTRATOR rafinado xo= 0,02 kg AB/kg A AB: ácido benzóico (soluto) y = 0,03 kg AB/kg B extrato Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Identidade! Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C= 2, M = 2 G= - 1 (metas em excesso) Metas incompatíveis na (Eq.2): o valor de y compatível com x = 0,01 é 0,04. solução impossível!

  27. (c) Dimensionamento sem especificação de metas W kg B/h ? B: benzeno (solvente) Q = 10.000 kgA/h A : água x kgB/kgA EXTRATOR rafinado xo= 0,02 kg AB/kg A AB: ácido benzóico (soluto) y kg AB/kg B extrato Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C= 2, M = 0 G= 1 (infinidade de soluções) Neste caso(G > 0)é imperioso buscar a melhor de todas as soluções: Otimização Solução Ótima Insuficiência de metas gera graus de liberdade

  28. 5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.1 Conceito de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização

  29. 5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquer que seja a sua área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável

  30. W1 x11,x14 T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,  VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W4,W6,W8,W11,W14 Vd,Ae,Ac,Ar MODELOMATEMÁTICO AVALIAÇÃO INCÓGNITAS ECONÔMICA L r,T9,T12 OTIMIZAÇÃO VARIÁVEIS DE PROJETO 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima. Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto. Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

  31. Exemplo x1 x7 1 y x2 x4c 2 coincidentes x5c x3 x 3 x6m V = 7 C = 2 E = 3 N = 3 M = 1 G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1 Metas insuficientes, incógnitas em excesso Sistema consistente indeterminado(infinidade de soluções)

  32. G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1 x1 x1 x7 x7p 1 1 x2 x2 x4c x4c 2 2 x5c x5c x3 x3 3 3 x6m x6m Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas. Não havendo imposições, o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x7. A variável escolhida é denominada variável de projeto. O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional, abordado no Capítulo 3 (Algoritmo de Ordenação de Equações).

  33. Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto. x1 x7p 1 x2 x4c 2 x5c x3 3 x6m A cada valor corresponde uma solução viável e um valor para o Lucro. Se a variável for contínua, haverá uma infinidade de soluções viáveis (indeterminado). Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima). Qualquer outro valor atribuído como meta produziria uma solução pior do que a ótima.

  34. As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas. Exemplo: otimização do extrator W kg B/h Q = 10.000 kgA/h x kgB/kgA rafinado xo= 0,02 kg AB/kg A y kg AB/kg B extrato Modelo Matemático 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação V = 5, N = 2, C = 2, G = 1 (candidatas: x, y, W)

  35. Qualquer escolha resulta na solução ótima 60 50 R 40 C L,R,C 30 $/a 60 20 xo* xo* 50 Lo = 15,6 R L y 10 40 y W W xo = 0, 01118 C 0 L,R,C 30 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 $/a x x kgAB/kg A Q* Q* x 20 L = R - C Lo=15,6 10 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Wo = 1.973,6 W kg/h 2 2 1 1 Variável de Projeto:W 1.Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto:x 1.Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Wo = 1.972,3 xo = 0,01118 yo = 0,04472 Lo = 15,6 $/h xo = 0,01118 yo = 0,04472 Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h

  36. Qualquer escolha resulta na solução ótima xo* xo* y y W W x Q* Q* x 2 1 2 1 Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização Variável de Projeto:W 1.Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto:x 1.Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Escolha infeliz ! Sequência de cálculo cíclica Otimização com cálculo iterativo Escolha feliz ! Ciclo aberto porx (o mesmo p/ y) Sequência de cálculo acíclica: 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada

  37. 5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Função Objetivo 5.2.3 Restrições 5.2.4 Região Viável 5.2.2 Critério Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução do problema

  38. 5.2.2 Critério A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério. O critério mais comum é econômico: 500 R C 400 300 L L 200 500 100 400 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x7o x7o 300 L 200 Minimização do Custo(produção fixa  Receita constante) Maximização do Lucro 100 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

  39. 500 400 300 L 200 100 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 m p x x 7 7 5.2.2 Critério Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade. A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo um outro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a mais segura. E vice-versa. Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesos diferentes (otimização com objetivos múltiplos)

  40. 5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.5 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.2.3 Função Objetivo

  41. 5.2.3 Função Objetivo É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema. Pode assumir formas das mais simples às mais complexas. A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização. Pode ser classificada quanto à: (a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta. (b) Modalidade: unimodal, multimodal. (c ) Convexidade: côncava ou convexa.

  42. Função Contínua Função Contínua com descontinuidade na derivada Função Descontínua Função Discreta 5.2.3 Função Objetivo (a) Continuidade

  43. Função Unimodal em 1 Dimensão Função Unimodal em 2 Dimensões 5.2.3 Função Objetivo (b) Modalidade

  44. Função Bimodal em 1 Dimensão Função Bimodal em 2 Dimensões 5.2.3 Função Objetivo (b) Modalidade

  45. 5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) y y[(1-a) x1 + a x2] 0,5 0,4 (1-a) y(x1) + a y(x2) 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x1 x2 0  a  1 (1-a)x1+ ax2 x Função côncava:o valor dado pela função é superior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)

  46. 5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) y 0,5 0,4 0,3 (1-a) y(x1) + a y(x2) 0,2 0,1 y[(1-a) x1 + a x2] 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x2 x1 x (1-a)x1+ ax2 0  a  1 Função convexa:o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)

  47. Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pela segunda derivada da função no ponto extremo.

  48. 5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus Valores Característicos, que são as raízes da sua Equação Característica. Exemplo: para uma função qualquer de duas variáveis, existem: Matriz Hessiana: Equação Característica: 2 – (f11 + f22)  + (f11f22 – f12f22) = 0 Os Valores Característicos são as raízes desta equação.

  49. 5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Ilustração: Funções Quadráticas

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