第四章弱耦合系统的玻尔兹曼分布律的简单应用 Boltzman Distribution

College of Physics 第四章弱耦合系统的玻尔兹曼分布律的简单应用Boltzman Distribution Dr. Feng Song Photonics Center, College of Physics Sciences http://physics.nankai.edu.cn/grzy/fsong.htm fsong@phys.nankai.edu.cn

目录 • 4.1 弱耦合系统的玻尔兹曼分布律 • 4.2 重力场中微粒按高度分布 • 4.3 麦克斯韦速度分布律 • 4.4 能量按自由度均分定理

§4.1 弱耦合系统的玻尔兹曼分布律Boltzman Distribution Law • 4.1.1 弱耦合系统(Infirm-coupling system) 理想气体分子：无相互作用实际气体分子：可以是弱耦合的 • 什么样的气体分子可以视作弱耦合？ • 系统中粒子数密度足够低; • 平均自由程比相互作用距离足够长. • 例如:稀薄气体.

4.1.2 玻尔兹曼分布 • 在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子按状态的分布，即：在某一状态区间的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量E有关，而且与e-E/kT成正比。----玻尔兹曼分布律。 • 玻尔兹曼分布律是统计物理中适用于任何系统的一个基本定律，e-E/kT就叫玻尔兹曼因子。 • 此定律说明：能量越大的状态区间内，粒子数越少；而且，随着能量增大，大小相等的状态区间内的粒子数按指数规律急剧减少。

在N个粒子中，能量为的粒子数是，则 其中，为2f维体积元。

例如：

§4.2 重力场中微粒按高度分布Particles distribution depending on the height in gravity field • 4.2.1重力场中微粒分布函数 • 4.2.2 等温大气压公式 • 4.2.3 等温大气标高 • 4.2.4 悬浮微粒按高度的分布

无规热运动——均匀分布 海拔越高，大气越稀薄重力——Z越低，越大 • 4.2.1 重力场中微粒分布函数

H升高，温度急剧上升 外逸层热层 85Km h升高，温度降低中间层平流层非均质层 50Km 对流层 20Km：-50℃ h继续升高，温度继续上升 80Km 均质层 9～17Km 成分基本相同 -6.5℃/Km 地面 • 大气分布示意图

p+dp 系统 z+dz z r,g p • 4.2.2 等温大气压公式 (Isothermal air-pressure formula) • 该系统达到平衡的条件为：

4.2.3 等温大气标高 • 定义大气标高为： • 大气标高是粒子按高度分布的特征量，它反映了气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。 • 引入大气标高后，

F（在悬浮体中的浮力） mg • 4.2.4 悬浮微粒按高度的分布 (Suspended articles’ distribution depending on the height)

皮兰实验 • 1909年，法国科学家皮兰曾数了显微镜下悬浊液内不同高度出悬浮粒子数目。结果证实了重力场中粒子按高度分布的定律“ ”；并求出了阿伏伽德罗常数NA。这个实验结果，在物理学史上最后确立了分子存在的真实性。 • 1926年Perrin获得诺贝尔物理奖。皮兰实验

§4.3 麦克斯韦速度分布律The Maxwell Velocity Distribution • 4.3.1 麦克斯韦速度分布 • 4.3.2 麦克斯韦速率分布 • 三种速率

：分子总数 0 复习与回顾：分子速率分布图 ∆N为速率在v→v+∆v区间内的分子数。 ∆S＝ ∆N/N 表示速率在v→v+∆v区间内的分子数占总数的百分比。

归一化条件： 复习与回顾：速率分布函数表示在温度为T的平衡状态下，速率在v附近单位速率区间的分子数占总数的百分比 . 表示速率在v→v+∆v区间的分子数占总分子数的百分比 .

复习与回顾：应用计算 • 速率位于v→v+dv区间内的分子数： • 速率位于v1→v2区间内的分子数： • 速率位于v1→v2区间内的分子数占总分子数的百分比：

复习与回顾：玻尔兹曼分布

4.3.1 麦克斯韦速度分布Maxwell velocity distribution • 分子按速度分布,而不考虑空间分布,则将(4.1.2)对整个空间积分: • 再利用(3.1.10)和上式:

麦克斯韦速度分量分布函数 考虑到分子无规运动的各向同行，利用公式（3.1.11)和上式，有：

麦克斯韦速度分布函数：

4.3.2麦克斯韦速率分布 • 麦克斯韦速率分布律： • 由(3.1.15)和(4.3.2)得到:

三种统计速率 最概然速率平均速率方均根速率

最概然速率 vp 物理意义：气体在一定温度下分布在最概然速率附近单位速率间隔内的相对分子数最多 .

平均速率 (离散型) (连续型)

方均根速率 root mean square speed

同一温度下不同 气体的速率分布 N2 分子在不同温度下的速率分布

三. 误差(error)函数

四.例题（书P149页，例4.3.1）

四. 应用举例 1. 多普勒展宽(Doppler Spectra Broadening) 静止发光频率，沿方向运动，则：由于不同发光原子的不同，所以导致不同频率的光，致使谱线展开。的分子数比率为：

2. 泻流(Effusion) • 热分子压力差 • 同位素(Isotope)分离(比如: U238 和 U235) • 分子射线(Molecular ray)

实验验证 • 间接验证 • 直接验证

接抽气泵 实验装置 Hg 金属蒸汽狭缝显示屏分子射线束实验

§4.4 能量按自由度均分定理Equipartition of Energy in Classical Statistical Mechanics • 4.4.1 理想气体的内能 • 4.4.2 定容热容量 • 4.4.3 自由度 • 4.4.4 分子热运动平均能量 • 4.4.5 理想气体摩尔内能 • 4.4.6 能量按自由度均分定理

4.4.1 理想气体的内能 • 内能=分子动能+相互作用势能+电子能+核能+… • 对气体:

(Molar heat capacity) 4.4.2 定容热容量 • 1. 热容 • 改变单位温度,与外界交换的热量.

2. 热容与下列因素有关 • 物质本身 • CR(T) • 与T变化历程有关 • 内能与热容的关系

描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标称为该物体的自由度。而决定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为自由度数。描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标称为该物体的自由度。而决定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为自由度数。质点 4.4.3 自由度(Degrees of Freedom)

2. 分子自由度(Degrees of Freedom of Molecules): • 单原子分子(He, Ar, C…) t=3 • 双原子分子(H2,O2,CO…) t=3,r=2(刚体); t=3,r=2,v=1(非刚体) • 三原子分子(CO2,H2O) CO2:r=2; H2O :r=3. • 多原子分子自由度<=3n (若是刚体<3;若非刚体=3)

[例] 由 N个独立的粒子组成的质点系的自由度 (一般性讨论) ● 每个独立的粒子各有3个自由度系统最多有3N个自由度 ●基本形式平动 + 转动 + 振动 tr s 随某点平动 t = 3 过该点轴的转动 r = 3 其余为振动 s = 3N-6

4.4.4 分子热运动平均能量(Energy of the Thermal movement of Molecules )

一个分子总能量: • 1mol分子总能量:

4.4.5 理想气体摩尔内能

4.4.6 能量按自由度均分定理(Equipartition of energy according to the degrees of freedom) • 重新定义自由度： • 一个二次项为一个自由度 • 举例： • 双原子刚体 t=3,r=2,v=1 • 但是现在认为自由度为7

能量按自由度均分定理（简称能量均分定理）：能量按自由度均分定理（简称能量均分定理）： • 处于温度为T的平衡态的气体中，分子热运动动能平均分配到每一个分子的每一个自由度上，每一个分子的每一个自由度的平均动能都是kT/2。

能量均分定理的理解 • 各种振动、转动自由度都应是确实对能量均分定理作全部贡献的自由度。 • 只有在平衡态下才成立。 • 它是对大量分子统计平均所得结果。 • 它不仅适用于理想气体，而且也适用于液体和固体。 • 气体靠分子间大量无规则的碰撞来实现；液体、固体靠分子间强相互作用来实现。

由能均分定理看经典物理学困难: • ① 韦恩和瑞利-金斯近似 (The Wien and Rayleigh-Jeans Approximation) • ② 黑体辐射的吸收与发射 (Emission and Absorption of Black-Body Radiation)

7/2 振动 5/2 CV,m / R 转动 3/2 平动 0 25 100 500 1000 5000 T / K 氢气CV,m---T曲线 • 能量均分定理的局限自由度的冻结: 1、能量均分定理的局限 2、自由度的冻结

第四章弱耦合系统的玻尔兹曼分布律的简单应用 Boltzman Distribution