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§3 二元函数的连续性

§3 二元函数的连续性. 一 二元函数的连续性概念. 二 有界闭域上连续函数的性质. 一、二元函数的连续性概念. 若 f ( X ) 在 D 上每一点都连续 , 则称 f ( X ) 在 D 上连续, 记为 f ( X )  C ( D ). 易知 , 例 2 中 f ( x , y ) 在 (0, 0) 间断 ( 极限不存在 ),. 每一点都间断. 设. 显然 f 在原点处不连续. 但. 所以 f ( x , 0 ) 在 x =0 连续. f ( 0, y ) 在 y =0 连续.

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§3 二元函数的连续性

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Presentation Transcript

  1. §3 二元函数的连续性 一 二元函数的连续性概念 二 有界闭域上连续函数的性质

  2. 一、二元函数的连续性概念

  3. 若 f (X) 在 D上每一点都连续, 则称 f (X) 在 D 上连续, 记为 f (X)  C (D). 易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)间断(极限不存在), 每一点都间断.

  4. 设 显然 f在原点处不连续. 但 所以 f ( x, 0 ) 在 x =0 连续. f ( 0, y ) 在 y =0 连续.

  5. 与一元函数的性质类似，若二元函数在某一点连续，与一元函数的性质类似，若二元函数在某一点连续， 那么在这一点也有局部有界性、局部保号性、 有理运算的各个法则以及复合函数的连续性.

  6. 例1求极限 解 是多元初等函数。 定义域： （不连通） 于是，

  7. 例2 解

  8. 例3讨论函数 在(0,0)处的连续性． 解 取

  9. 当 时 故函数在(0,0)处连续.

  10. 例4讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 极限不存在． 其值随k的不同而变化， 故函数在(0,0)处不连续．

  11. 二元连续函数的几何意义: 定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 "空洞", 没有 "裂缝" 的连续曲面. 这里条件 "D 是一区域" 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.

  12. z 1 o y x 例. 设 D = {(x, y) | x, y均为有理数} R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上无定义的函数, 即 1, 当(x, y)  D时, 如图 f (x, y) = 无定义, 当(x, y)  D时. 可知,  (x0, y0)  D, 但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.

  13. 二、有界闭域上连续函数的性质

  14. 1 若 在某一区域 内对变量 为连续，对变量 满足李普希兹条件，即对任何 有 其中 为常数，则此函数在 内连续。 练习

  15. 小结 多元函数的定义 多元函数极限的概念 （注意趋近方式的任意性） 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质

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