Exponenciálne vyrovnanie - vyhladzovanie.

1. Exponenciálne vyrovnanie - vyhladzovanie.

2. Exponenciálne vyrovnanie je adaptívnym prístupom k analýze časových radov, ktorého základy položili Holt 1957  a Brown – Meyer1961 . Metóda kĺzavých priemerov vyrovnáva v časovom rade polynomickými funkciami krátke úseky, ktorých dĺžka je vopred stanovená. So subjektívnym určením dĺžky kĺzavých priemerov sú však spojené problémy v použití tejto metódy. Naproti tomu exponenciálne vyrovnanie tento problém odstraňuje, lebo výpočet každej vyrovnanej hodnoty je založený na všetkých dostupných minulých pozorovaniach časového radu. Základná metóda najmenších štvorcov sa pritom modifikuje tak, že váhy jednotlivých štvorcov v minimalizovanom súčte sa smerom do minulosti exponenciálne zmenšujú  odtiaľ názov metódy . Pre vyrovnané hodnoty časového radu musí byť minimalizovaný výraz tvaru: yt - Yt2 +yt-1 –Yt-12 + yt-2 – Yt-222 + . . .  2.1  • je tzv. vyrovnávajúca konštanta spĺňajúca podmienku • 0  1, • prakticky priraďujeme pozorovaniam starším stále nižšie váhy.

3. Exponenciálne vyrovnanie s jednou vyrovnávajúcou konštantou  nazývame tiež podľa jeho autora Brownovoexponenciálne vyrovnanie. Okrem neho poznáme dvojparametrické, Holtovo exponenciálne vyrovnanie a tiež trojparametrické, , Wintersovo exponenciálne vyrovnanie, ktoré na rozdiel od predchádzajúcich dvoch popisuje tiež sezónnu zložku analyzovaného časového radu. Predpokladajme, že v časovom okamžiku n, ktorý predstavuje pozorovanie v prítomnom čase, máme k dispozícii rad empirických hodnôt y t – k, k = 1, 2, . . . , n-1, kde jednotlivé hodnoty k interpretujeme ako vek pozorovaní z pohľadu časového okamihu n. Vyjdeme z aditívneho modelu, t.j. platí yn-k = Tn-k + n-k2.2  Hodnotu trendovej zložky Tn-k je možné pritom popísať funkciou Tn-k = 0 – 1 k + 2 k2 + . . . + -1 kkkk 2.3  Odhady parametrov tejto trendovej funkcie môžeme získať metódou najmenších štvorcov formulovanou v tvare = min.  2.4 

4. Pri tomto spôsobe vyrovnania zatiaľ ešte prisudzujeme každému empirickému pozorovaniu rovnakú váhu. Predpokladá sa, že pozorovania blízke časovému bodu n, t.j. súčasnosti, sú pre odhad parametrov k rovnako dôležité ako pozorovania pre pomerne vysoké hodnoty k . Pritom však musíme odôvodnene predpokladať, že pozorovania „mladšie“ budú ovplyvňovať vo väčšej miere budúci vývoj analyzovaného časového radu než pozorovania „staršie“. Preto je potrebné pozorovaniam aktuálnejším pri odhade parametrov prisudzovať väčšiu váha než pozorovaniam starším. Za tejto situácie je nutné podmienku 2.4  formulovať všeobecnejšie v tvare  2.5  wk= min. kde wk sú váhy, ktoré sú nepriamoúmerné veku pozorovaní t.j. zo vzrastajúcim vekom pozorovaní je váha nižšia. Ako sme uviedli vyššie je pritom váha wk exponenciálnou funkciou veku k, t.j. platí wk= k , 0  1, k = 0, 1, 2, . . . , n-1  2.6 

5. Keďže váhy wk sú exponenciálnou funkciou veku pozorovaní, vyrovnanie časových radov s uvedeným princípom sa nazýva exponenciálnym vyrovnaním. Odhady parametrov modelu  2.2  získame splnením požiadavky Druhou dôležitou otázkou je voľba vhodného typu trendu . Pokiaľ môžeme trend považovať v krátkych úsekoch radu za konštantný, hovoríme o jednoduchom exponenciálnom vyrovnaní niekedy tiež označovaný ako model bez trendu. Pokiaľ je možné trend v týchto úsekoch považovať zhruba za lineárny, pôjde o dvojité exponenciálne vyrovnanie, Ak by úseky mali kvadratický trend, hovoríme o trojitom exponenciálnom vyrovnaní.

7. kde  je vyrovnávajúca konštanta a výraz  2.10  má tvar nekonečného súčtu, pričom pri praktických úlohách budeme poznať len konečný počet hodnôt y1, . . . , yn,. Hypotetické predĺženie radu do minulosti však podstatne zjednodušuje príslušné vzorce, pretože odpovedá limitnému prechodu v týchto vzorcoch. Ak zderivujeme výraz  2.10  podľa a položíme túto deriváciu rovnú nule, potom dostaneme odhad b0t parametra v čase t alebo pre vyrovnanú hodnotu časového radu v období t Z výrazu  2.12  je vidieť, že vyrovnaná hodnota radu v čase t je akýmsi váženým súčtom hodnôt radu do času t s exponenciálne klesajúcimi váhami 1 - , 1-, 1-2, . . . , 2.13 

8. kde M je dĺžka jednoduchého kĺzavého priemeru, ktorý by bol pre vyrovnanie daného časového radu najvhodnejší. Druhý spôsob, doporučený napr. v monografii Bowermana1975alebo Johnsona a Montgomeryho1976 , kedy sa hodnoty  určujú simulačne t.j. možné hodnoty  sa preskúmajú postupne  = 0,7, 0,72, 0,74, . . . , 0,98  a vyberie sa tá hodnota, ktorá v danom rade poskytne najlepšiu predpoveď. Dnešné profesionálne štatistické balíky však tento prepočet plne automatizujú, pričom výsledkom je optimálna hodnota vyrovnávajúcej konštanty .

9. Príklad

10. Riešenie v SAS 9.2

15. 2.2 Dvojité exponenciálne vyrovnanie Dvojité exponenciálne vyrovnanie používame v prípade, kedy v krátkych úsekoch radu je možné trendovú zložku Ttv rozklade  2.2  považovať za lineárnu t.j. Tt = 0 + 1 t  2.15  Odhady parametrov 0 a 1 v čase t označme ako b0t a b1t získame minimalizáciou výrazu 2.16  =min kde opäť 0  1 je vyrovnávajúca konštanta. Riešenie sústavy 2.16vedie k sústave rovníc (2.17)

16. Pre zjednodušenie označenia zavedieme dve veličiny. Prvú budeme definovať ako jednoduchú vyrovnávajúcu štatistikua označovať St v tvare  2.18  Vzhľadom k 2.10  zodpovedá St vyrovnanej hodnota časového radu v čase t metódou jednoduchého vyrovnania. Druhou zavádzanou veličinou je tzv. dvojitá vyrovnávajúca štatistika definovaná: Pomocou oboch štatistík môžeme sústavu rovníc 2.17prepísať do tvaru

17. Príklad: PMM 01/1992 – 11/2011

26. Z tejto sústavy dostaneme hľadané odhady parametrov: 2.3 Trojité exponenciálne vyrovnanie

28. 2.4 Wintersova metóda Wintersova metóda pomenovaná podľa svojho autora Wintersa1960 je zovšeobecnením metódy exponenciálneho vyrovnania, ktorá okrem trendovej zložky Ttuvažuje aj so sezónnou zložkou St . Pri porovnaní s exponenciálnym vyrovnaním je pre časové rady vykazujúce sezónnu zložku Wintersova metóda vhodnejšia, lebo v jej rámci vykonáva okrem adaptívneho odhadu trendu aj adaptívny odhad sezónnej zložky. Pri popise Wintersovej metódy sa obmedzíme na prípad, kedy trendovú zložku analyzovaného časového radu je možné v krátkych úsekoch radu považovať za lineárnu v tvare:

42. Vyrovnávacie modely v Prognózovacom systéme SAS:

45. Vyrovnávacie modely je vhodné použiť pre prognózy s kratším horizontom.