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Infografía 1. Modelización. La modelización trata de los formalismos matemáticos y las estructuras de datos que constituyen los modelos que sirven para representar objetos en infografía.  Crear un modelo: buscar una representación matemática o algorítmica que funcione como el original

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Presentation Transcript
infograf a 1

Infografía 1

Modelización

© 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

introducci n
La modelización trata de

los formalismos matemáticos y

las estructuras de datos

que constituyen los modelos que sirven para representar objetos en infografía. 

Crear un modelo:

buscar una representación matemática o algorítmica que funcione como el original

de forma real o

de forma aparente

Los objetos

son de una complejidad notable

requieren modelos matemáticos y estructuras de datos específicos para la computación gráfica.

Existen diversas posibilidades de representar un mismo objeto.

Cuál usemos dependerá de

los objetivos del proyecto

de otros factores relacionados con el

rendimiento

la calidad del resultado.

Introducción

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

introducci n3
Algunos de estos aspectos son:

Precisión

Necesidad de almacenamiento

Aplicabilidad de los algoritmos de trazado

Realismo del resultado.

En muchos casos no es posible cumplimentar todos los requisitos que un modelo ha de cumplir para representar eficientemente un objeto.

Ello obliga a veces de establecer un compromiso en cuanto al modelo que se va a utilizar.

Introducción

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos ambiguos
Vistas 2D

Representación en

Planta

Alzado

Perfil

Complicado el cambio de representación.

Especialmente a 3D

Requiere la participación del usuario.

Se crean interactivamente

Puede producir sólidos no válidos.

Alambres

Guarda

vértices

ligaduras (aristas)

Muy usado

Puede producir sólidos no válidos

Genera vistas, planos, etc.

No permite cálculos volumétricos, momentos, etc.

Modelos Ambiguos

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos de alambre wireframe
los objetos se representan mediante un conjunto de vértices unidos por aristas.

aspecto poco realista

extremada simplicidad

trazado muy rápido

no requieren muestreo,

ideales para tareas en las que no es imprescindible el realismo.

Hacerse una idea de una escena complicada

Preparar una animación

Ambiguo

Modelos de AlambreWireframe

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos de alambre wireframe6
Estructuras de datos:

Una lista contiene todos los vértices del polígono

otra lista contiene los índices que apuntan a los vértices que forman una arista del objeto.

Ejemplo.

Rectángulo

(0,1,0)

(1,1,0)

(0,0,0)

(1,0,0)

Modelos de AlambreWireframe

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos poligonales
Modelos poligonales
  • Los modelos de alambre son útiles pero poco realistas.
  • Más realismo: objetos descritos mediante las superficies que los limitan.
  • La mayoría se puede representar mediante polígonos.
  • Sirven tanto para trazado de rayos como para proyección.

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos poligonales8
Modelos poligonales
  • Estructuras de datos:
    • Listas enlazadas
  • Típicamente 4 listas.
    • Lista con el número de polígonos,un apuntador a la lista de vértices y otro a la lista de polígonos.
    • Una lista de vértices
    • Lista de polígonos, cada uno apuntando a la lista de vértices del polígono
    • otra lista contiene los índices que apuntan a los vértices que forman una arista del objeto.

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos poligonales9
Modelos poligonales
  • La lista de vértices está accesible desde:
    • La lista principal.
      • Para poder aplicarles transformaciones geométricas y/o proyectivas
    • los índices de las aristas
      • para poder trazar los polígonos
  • La lista de vértices puede cambiar en la fase de recortado

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos poligonales10
Modelos poligonales
  • Con el esquema anterior en el caso de proyección de los objetos sobre la pantalla, cada arista se está considerando dos veces en la fase de recortado.
  • Para suplir este problema, inexistente en el método de trazado de rayos, se suelen utilizar otras estructuras de datos en las que existe también una lista de aristas. 

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos poligonales11
Lista de

polígonos,

aristas

vértices.

La lista de aristas contiene para cada una de ellas apuntadores a los vértices que lo componen y a los polígonos Pol.1 y Pol.2 que la comparten.

Modelos poligonales

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos poligonales12
El hardware especializado prefiere a menudo determinadas estructuras para especificar polígonos:

Tiras (strips)

GL_LINE_STRIP

GL_TRIANGLE_STRIP

GL_QUAD_STRIP

Abanicos (fans)

GL_TRIANGLE_FAN

Habitualmente se utilizan triángulos como aproximación poligonal.

Tira

Abanico

Modelos poligonales

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

carteleras billboards
La modelización de primitivas es cara en tiempo de CPU

Cartelera: Rectángulo con la imagen del objeto

Puede tener imágenes del objeto

según la orientación del mismo

según el estado de movimiento del objeto

Muy usado en juegos

Transparente

Carteleras (Billboards)

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelado de s lidos
Muchas veces es necesario modelar sólidos de forma que:

Se puedan calcular propiedades

Volumen

Masa

Densidad

Propiedades físicas

Se comprueben

Colisiones

Interferencias entre objetos

Las representaciones poligonales no necesariamente representan sólidos

Pueden tener la apariencia

Pero son ambiguos.

Modelado de Sólidos

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

propiedades deseables de un modelo requicha
Dominio de representación: el conjunto de objetos que se pueden representar mediante el modelo. Ha de ser suficientemente amplio.  

Completitud (no ambigüedad) y unicidad: una representación ha de ser claramente identificable y representar un y sólo un objeto.

Unicidad: Una representación es única si cualquier sólido se puede representar de una única forma, dentro del marco del modelo. Imprescindible para poder decidir si dos objetos son iguales.

Precisión: Un modelo es preciso si no es necesario realizar aproximaciones, como por ejemplo líneas curvas aproximadas por una series de segmentos rectilíneos.

Validez : Un modelo no debiera permitir crear una representación inválida. Por ejemplo si estamos modelando sólidos, no debiera ser posible crear un objeto que no sea sólido. 

Propiedades deseables de un modelo (Requicha)

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

propiedades deseables de un modelo requicha16
Facilidad: Debe ser fácil crear representaciones válidas y precisas.

Clausura: Las operaciones definidas sobre objetos válidos deben producir otros objetos válidos. Por ejemplo bajo rotaciones, transformaciones geométricas, etc.

Compacidad: El uso de memoria debe ser lo más pequeño posible.

Eficiencia: Los algoritmos necesarios para representar sus propiedades y apariencia gráfica han de ser eficientes en términos de tiempo de cálculo.

No es fácil crear modelos que cumplan todas estas especificaciones.

Propiedades deseables de un modelo (Requicha)

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos de fronteras
Modelos de fronteras

División jerárquica

Objeto

Superficie

Polígonos

Aristas / Vértices

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos de fronteras18
Modelos de Fronteras

Objeto

Superficie

Superficie

Superficie

Polígono

Polígono

Polígono

Polígono

Polígono

...

Arista0

Arista1

Arista2

Arista3

Aristan

...

Vert0

Vert1

Vert2

Vert3

Vertn

Según Alan Watt 2000

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelo de fronteras
Describen los objetos en función de las fronteras de sus caras

Vértices

Aristas

Caras

Las superficies curvas

se aproximan por polígonos

o se utilizan directamente (notable complicación)

Poliedros

Sólidos

cuya frontera es un conjunto de polígonos

cuyas aristas son miembros de un número par de poligonos

Simple: el que es topológicamente equivalente a una esfera.

Modelo de fronteras

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

extrusi n o barrido sweep
El barrido de un objeto siguiendo una trayectoria en el espacio se denomina extrusión o barrido (sweep)

Traslacional: un área 2D a lo largo de una trayectoria rectilinea siguiendo la normal al área

El volumen es el área del objeto por la distancia de barrido

Rotacional: de una figura en torno a un eje.

Extrusión o barrido (Sweep)

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

extrusi n o barrido sweep21
Operación

Crear cara + vector traslación

Calcular la cara opuesta

Generar las caras laterales.

Estructura de datos

Objetos

1ª Cara

Numero de caras

Caras

3 normales a la cara

apuntador al 1r poligono

Polígonos

Tipo (Frontera o Agujero), 1ª arista, numero de aristas, poligono siguiente

Aristas

numeración consecutiva

Puntos

x, y, z

Caras

Normal x

Normal y

Normalz

Primer pol.

Poligonos

Num aristas

Pol. siguiente

Tipo

1ª arista

Extrusión o barrido (Sweep)

(0,5,0)

(10,5,0)

Objetos

3

1ª Cara

Nº Caras

2

(0,0,0)

3

6

(10,0,0)

Puntos

x

y

z

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

extrusi n o barrido sweep22

Aristas

1

2

3

Objetos

Puntos

4

1

10

0

0

0

5

Poligonos

0

5

0

Caras

6

Fr

1

4

2

10

5

0

0

0

-1

1

7

Ag

5

4

0

10

0

0

0

0

1

3

8

Fr

9

4

4

3

2

0

1

0

0

5

9

Ag

13

4

0

6

2

0

0

-1

0

6

12

Fr

17

4

0

6

3

0

0

1

0

7

11

Fr

21

4

0

3

3

0

-1

0

0

8

10

...

...

...

...

0

0

4

-1

0

0

9

16

...

...

...

...

0

5

4

0

1

0

10

15

10

5

4

1

0

0

11

14

10

0

4

0

-1

0

12

13

3

2

4

...

6

2

4

6

3

4

3

3

4

Extrusión o barrido (Sweep)

(0,5,0)

(10,5,0)

3

2

(0,0,0)

3

6

(10,0,0)

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelo de fronteras poliedros
El modelo de fronteras de un poliedro simple cumple la fórmula de Euler.

V-A+C=2

V=Vértices

A=Aristas

C=Caras

La formula de Euler es condición necesaria, pero no suficiente para un sólido

podríamos tener caras sueltas que cumplieran Euler

Adicionalmente

cada arista debe conectar 2 vértices

debe estar compartida por dos caras

al menos 3 aristas deben concurrir en cada vértice

las caras no se deben interpenetrar

Modelo de fronterasPoliedros

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelo de fronteras poliedros24
Para poliedros con agujeros en las caras

V-A+C-F=2(P-G)

V=Vértices

A=Aristas

C=Caras

F=Anillos en las caras

P=Partes o Cáscaras

G=Agujeros pasantes

Modelo de fronterasPoliedros

V-A+C-F=2(P-G)

24-36+15-3=2(1-1)

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelo de fronteras poliedros25
Modelo de fronterasPoliedros
  • Operadores de Euler
    • Son un conjunto de operadores que satisfacen las fórmulas de Euler
    • Permiten transformar unos objetos en otros que siguen cumpliendo las formulas añadiendo, quitando o dividiendo las caras, vértices o aristas

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

operadores booleanos
Interesa combinar objetos para producir otros.

Operadores booleanos

Union 

Intersección 

Diferencia -

Los operadores booleanos tradicionales

pueden no dar otro sólido como resultado.

Operadores booleanos

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

operadores booleanos regularizados
Un objeto puede considerarse definido por puntos

interiores

de la frontera

los puntos frontera son aquellos cuya distancia al complemento del objeto es 0

no tienen por qué pertenecer al objeto.

Un conjunto cerrado contiene a sus puntos frontera

un conjunto abierto no contiene ninguno

La unión de un conjunto con su frontera se llama clausura del conjunto.

La regularización de un conjunto se define como la clausura de sus puntos interiores.

Un conjunto que es igual a su regularización se denomina regular

Podemos definir una operación regularizada

A op* B = clausura(interior(A op B))

Operadores booleanos regularizados

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

regularizaci n

Interior del Objeto

Objeto con puntos frontera (gris oscuro) que no son parte del mismo. Puntos frontera en negro si pertenecen

Regularización (clausura del interior)

Regularización

Clausura del Objeto

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

operadores booleanos vs regularizados

Arista extra

Intersección regularizada

Incluye la frontera si ambos están del mismo lado (1-2), la excluye si están en lados opuestos (3-4).

La común (2-3) siempre se incluye.

1

2

3

4

Operadores booleanos vs regularizados

Sección de dos objetos

Antes de la intersección

Intersección booleana

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

operadores booleanos regularizados30
Introducimos

* Unión regularizada

* Intersección regularizada

-* Diferencia regularizada

Operadores booleanos regularizados

Operaciones regularizadas en función de las no regularizadas

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

operadores booleanos regularizados31

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

AiBi

Ai-B

Bi-A

AfBi

Af-B

Bf-A

AfBf (=)

AfBf ()

Operadores booleanos regularizados

Operaciones regularizadas en función de las no regularizadas

BfAi

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

geometr a constructiva de s lidos csg
Los objetos se guardan como árboles

con operaciones

booleanas regularizadas como nodos internos

geométricas

con sólidos primitivos en los nodos externos (hojas)

Como las operaciones no son conmutativas en general el arbol tiene un orden explícito de recorrido

*

-*

Geometría constructiva de Sólidos (CSG)

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

slide33
Para representar los sólidos se recorre el árbol ordenadamente realizando las operaciones.

Puede que se pretenda calcular

la representación gráfica

propiedades como

centro de masas

volumen

momentos de inercia...

La complejidad depende

de la forma en que estén guardadas las primitivas

de si el sólido final en la raíz del árbol se ha de representar o si sólo interesan algunas de sus partes

CSG

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

representaciones csg
Algunas representaciones sólo admiten primitivas sólidas

Cualquier árbol representa otro sólido

Realizar cortes obliga a utilizar otro sólido, cuando sólo se necesitaría un semiespacio.

Otras utilizan

Primitivas sólidas

Semiespacios

Hacer un corte resulta más sencillo

Ciertas construcciones son más complejas

Un cubo es la intersección de 6 semiespacios

Introduce problemas de validez. Determinadas operaciones no dan un sólido

Representaciones CSG

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

representaciones csg35
Representaciones CSG
  • Aplicaciones
  • Se ha popularizado en CAD 3D
    • Permite visualizar los sólidos a medida que los construyen
    • Los planos se generan solos
    • Cálculos volumétricos, de áreas, momentos de inercia, etc.
  • En modelizadores, para construir sólidos que después se trazan por otros medios (ray tracing…)

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modelado de s lidos36
Modelado de sólidos

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

instanciaci n de primitivas
En el sistema hay definidas una serie de primitivas.

Parametrizadas en una serie de propiedades

Sujetas a las transformaciones geométricas habituales.

En CAD es habitual definir piezas como

engranajes, tornillos, etc

parametrizables

Muchos sistemas de instanciación no permiten la combinación booleana.

Suele existir una jerarquía de primitivas.

Si se quiere realizar otra primitiva hay que escribir el código necesario.

Instanciación de primitivas

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos de descomposici n celular
El sólido es descompuesto en

una colección de sólidos

adyacentes

no intersectantes

más primitivos que el original

no necesariamente del mismo tipo que el original

Modelos de descomposición celular

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modelos de descomposici n celular enumeraci n espacial
Se divide el espacio en una serie de celdas

idénticas

distribuidas en una malla regular

el sólido se representa mediante la enumeración de las celdas

que están ocupadas

las que no

Modelos de descomposición celular: Enumeración espacial

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos de descomposici n celular quadtrees
Arboles cuaternarios

Caso particular Arbol de enumeración espacial

Para reducir la memoria los voxels cambian de tamaño en función de las características del sólido a representar.

Modelos de descomposición celular: Quadtrees

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modelos de descomposici n celular quadtrees41
Modelos de descomposición celular: Quadtrees

Copyrigyht Principles of Computer Graphics, Foley, Van Damm et al

0

Nivel

1

2

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modelos de descomposici n celular octrees
Un Octree es un Quadtree tridimensional

La numeración es fundamental

Se suele utilizar la numeración adjunta.

pero no existe un esquema estándar.

Escala=2nivel

Modelos de descomposición celular: Octrees

Copyrigyht Principles of Computer Graphics, Foley, Van Damm et al

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

modelos de descomposici n celular octrees43
Octree(x,y,z,escala){

escalaq=escala/2;

for (i=0, i<=7,i++){

determinar_origen(i);

if (fuera (nodo(i) ) guarda(blanco);

else if (dentro(nodo(i) guarda(negro);

else if escalaq >1 {

guarda(gris);

Octree(x1,y1,z1, escalaq);

}

else guarda(negro);

}

Modelos de descomposición celular: Octrees

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modelos de descomposici n celular octrees44
Aplicaciones

Medicina

Tomografía axial computerizada

Resonancia Magnética Nuclear

Radiología

Análisis de materiales por rayos X

Modelos de descomposición celular: Octrees

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comparaci n de modelos
Comparación de modelos

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