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台中市立居仁國民中學

透視. 圓的性質. 台中市立居仁國民中學. 許皓程. 做徽章. 如何在圓裡面做出一個內接星形正六角形 !! 如下圖. 作法. 作圖時，只能利用圓規及直尺 !!. 先找出圓心. 將圓周分段. 連接六個點. 先畫出正六角形，利用圓的半徑將圓周分段。. 連接這六個點，則星形正六角形即完成。. 先畫出兩條弦，然後分別畫出兩條弦的中垂線，他們的交點即為圓心。. 動動腦. 如何在圓裡面做出一個內接星形正五角形 !! 如下圖. 恩 ~ 將圓周分成五等分就可以了 ……360 度除以 5 ，等於 72 度。頂角 72 度的等腰三角形的底角為 54 度。.

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Presentation Transcript

  1. 透視 圓的性質 台中市立居仁國民中學 許皓程

  2. 做徽章 如何在圓裡面做出一個內接星形正六角形!!如下圖

  3. 作法 作圖時，只能利用圓規及直尺!! 先找出圓心 將圓周分段 連接六個點 先畫出正六角形，利用圓的半徑將圓周分段。 連接這六個點，則星形正六角形即完成。 先畫出兩條弦，然後分別畫出兩條弦的中垂線，他們的交點即為圓心。

  4. 動動腦 如何在圓裡面做出一個內接星形正五角形!!如下圖 恩~將圓周分成五等分就可以了……360度除以5，等於72度。頂角72度的等腰三角形的底角為54度。 不能用量角器喔!!想想看還有什麼方法??

  5. A x 1 D x 1-x B C x 動動腦 A B C

  6. C C O O A A B B D D 作法 (1) (2) E

  7. C E A B O F D C E B A O F H G D 作法 (3) (4)

  8. 作法 (5) 推廣:試想想任何半徑之圓是否能用同種方法畫出正五邊形?

  9. A B F E B O O E C D C D 試看看 例:半徑為1的園內接五角形、正六角形，求其面積? A (1) (2)

  10. P P P O A B P P O O O P B B B A A A 圓周角定理 設AB弧所對的點為P，所對的∠APB稱為「圓周角」 ， ∠AOB為「圓心角」，則一個弧所對的園周角大 小是固定的，剛好是此弧所對之圓周角的一半。 說明，如下圖所示，先分三種情形 (一)圓心O在∠APB邊上的情形 (二)圓心O在∠APB內部的情形 (三)圓心O在∠APB外部的情形 (二) (三) (一)

  11. P O B A 圓心在邊上

  12. P O B A C 圓心在內部

  13. O C P B A 圓心在外部 結論:不論什麼情形，圓周角為圓心角的一半。

  14. P B Q A A D 對角 內角 外角 E B C 內對角定理 ∠APB為對應AQB弧的圓周角，∠AQB為對應APB弧的圓周角，如圖(一)，將圖(一)的點A、點B及圓心O連接，則四角形PAQB內接於圓O之中，如圖(二)，令圓周角∠APB所對應的圓心角為∠a，圓周角∠AQB所對應的圓心角為∠b 由圓周角定理，可得∠APB=1/2∠a－(1) ∠AQB=1/2∠b－(2) (1)+(2)∠APB+∠AQB=1/2(∠a+∠b)=1/2×360°=180° 結論:圓內接四邊形，其對角之和為180度 (一) 由前面已知∠A+∠BCD=180° 而且∠BCD+∠DCE=180° 所以∠A= ∠DCE 整理(1) 「圓內接四角形，其對角和為180度」， 即∠A+∠BCD=180° (2) 「圓內接四角形，任一個外角的大小等於 相對應的內角之對角」，即∠A= ∠DCE

  15. P 90° O A B 180° 試試看 問題:找出圓心的常用方法大都是利用尺規作圖，如先畫出兩條弦， 然後分別畫出兩條弦的中垂線，它們的交點即為圓心，試問是否可 以不用尺規作圖方法找出圓心呢? 答:可以，只需要一張長方形的紙(或三角板)就可以了 (1)根據圓周角定理，∠APB=1/2∠AOB (2)AB弧剛好變成半圓時，點A、O、B成 一直線， 為直徑 (3)則∠AOB=180°，∠APB=90°

  16. A G A B F E 圓心 B H D C D C 作法

  17. 動動腦 索隆不小心在大海迷路了，身邊剛好有隻電話蟲，於是打電話 跟娜美聯絡，索隆說，他會看到三座島(如圖A島、B島、C島)， A島在最左邊，B島在中間，C島在最右邊。距離則全然不知。 娜美這時候拿了島附近的地圖，便問索隆看向兩島的視角為幾 度？索隆說，島A、B的視角大約40度，島B、C的視角大約70度，請問娜美可以用什麼方法找到索隆呢?

  18. A B M 50° O A B M 50° N O 20° O’ C P 作法

  19. A B 80° O’ O 140° 40° 70° C P 說明 圖中，∠AOB為40度×2等於80度，所以，根據圓周角定理，圓周角∠APB為40度。這個角度與索隆看向A、B島的視角40度大小相同。同理，∠BO’C為70度×2，即140度，所以圓周角∠BPC為70度。這個角度與索隆看向B、C島的視角70度大小相同。因此，P點正好是索隆所在的位置。

  20. D D F A A C C O O’ O O’ E B B F 試試看 如下圖1、2，兩圓O、O’的交點為A、B。分別通過A、B點，與兩圓 相交的直線CD、EF。試回答下列問題: 圖2 圖1

  21. B C O T A B a C O 2a y b x A T 切弦定理 (一) 結論:切線AT和通過切點A的AC弦所做出的角等於 此角內部之弧AC所對的圓周角，即∠TAC=∠ABC (二)

  22. 動動腦 看這張圖，池畔的A村有道路銜接；B村與A村之間架了一座橋， 現在，我想要在AB弧之間，建造新村落C，使AC弧=BC弧，並 架一座橋AC，請找出這個新村落及橋在什麼位置及方位﹖

  23. B C A T B x C x x T A 作法 作法: (1)作∠TAB之角平分線交圓於C點 (2)則C點即新村落的位置，AC即橋的位置 說明: (1)令∠TAC=∠CAB=x°(AC線段為角平分線) (2)根據切弦定理，則∠ABC=∠TAC=x° (3)所以，AC弧=BC弧(等圓周角對等弧)

  24. A A A D P B P B D C B C C P 圓冪定理 外冪定理或切割線定理 外冪定理或割線定理 內冪定理或相交弦定理

  25. A B C P 切割線定理

  26. A B P D C 割線定理

  27. A D P B C 相交弦定理

  28. A B M Q P 動動腦

  29. C C C P C T P A B B B(P) A A B A P S 整理 圓周角定理、內對角定理、切弦定理都跟角度有關。 那這三個定理之間應該有某種關係囉?! (一) (二) (三) (四) 我們可以發現到一個東西，一個動點P在圓周上慢慢往下方移動， 依據P點的移動，從圓周角定理，如圖(一)，類推出切弦定理，如 圖(三)，然後，內對角定理也跟著出現了，如圖(四)。

  30. A A A B B B P P P D D C C(D) C D A A C B P B P C D 整理 三種圓冪定理之間應該也有某種關係?! (二) (三) (一) (五) (四)

  31. A A A B B P(B,D) P P D D C C C P A P(A,D) D A B B B D C C C 整理 (一) (二) (三) (六) (四) (五) P

  32. A A A D P B P B D C B C C P 整理 結論:利用點的移動這種思考方式，圓冪定理雖然有下 列三種情形，但最終的結果還是一樣。

  33. 畫出 的長度 a C 1 B A C B A D E B A D C F (一) (二) (三)

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