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2. 第二章 控制系统的数学模型 2.1 绪言 2.2 线性元件的微分方程及求解 2.3 控制系统复域数学模型 2.4 典型环节及其传递函数 2.5 控制系统的方块图 2.6 信号流图与梅逊公式 本章小结、重点和习题

3. 2.1 绪 言 数学模型 方框图和信号流图 状态空间模型 微分方程 传递函数 图 2-1 １．本章主要内容 本章主要讨论系统微分方程、传递函数和结构图，信号流图、梅逊公式及其应用。 ２．数学模型：是描述系统变量之间关系的数学表达式

4. 3．物理模型 ： 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。 4．数学建模：从实际系统中抽象出系统数学模型的过程 5.建立控制系统数学模型的方法有： a. 机理分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。 b. 实验辩识法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。

5. 实验法：基于系统辨识的建模方法 输出（已知） 输入（已知） 黑匣子 图2-2 • 已知知识和辨识目的 • 实验设计--选择实验条件 • 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 • 参数估计--最小二乘法 • 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近

6. 分析法建立系统数学模型的几个步骤： • 建立物理模型。 • 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等） • 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。

7. 2.2 线性元件的微分方程及其求解 一．微分方程：是一种输入----输出描述，给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统的输出. 二．列写线性系统微分方程的主要步骤 （1）确定系统的输入量和输出量 （2）将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。 （3）消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。

8. 三．举例说明线性元件微分方程的建立 (1) R 1 R 2 (2) U 1 C 1 C 2 U 2 (3) (4) 图2-3 RC组成的四端网络 (5) 例2-1: 图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。 解： 设回路电流i1、i2，根据基尔霍夫定律，列写方程组如下：

9. (1) (2) (3) (4) (5) 由④、⑤得： 由②导出： 将i1、i2代入①、③，则得

10. 这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。

11. 例2-2 试证明图2-4示(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。 图2-4 电机相似系统 K 1 R 2 C 2 B 1 X r R 1 U r U c C 1 K 2 B 2 X c (b)气电系统 （a）系机械统

12. K 1 B 1 X r K 2 B 2 X c （a）系机械统 解： • 对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式

13. 1 R 2 C 2 ② R 1 U r U c C 1 ③ ④ (b)气电系统 • 对电气网络(b)，列写电路方程如下：

14. 利用②、③、④求出 代入①将①两边微分得

15. 力-电压相似 机械 阻尼 B1 阻尼 B2 弹性系数 K1 弹性系数 K2 电气 电阻 R1 电阻 R2 1/C1 1/C2 图 2-5 • 机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为机系统的等效网络） • 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 • 为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统...... • 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。

16. 四 线性微分方程的求解 (.1.经典解法:ω(t) = ωp(t) + ωh(t) 特解通解 还可分为ω(t) = ω∞(t) + ωt(t) 稳态解 暂态解 2.数学工具－拉普拉斯变换与反变换 a2[s2 (s) – sω(0)- ]+a1[s (s) –ω(0)]+a0 (s) = b1[sUg(s) – ug(0)]+b0Ug(s) 整理，得 (s) = 1(s) + 2(s) = Ug(s)+ ∴ω(t) = ω1(t) + ω2(t) 零状态解 零输入解（自由响应）

17. 1。求解所用数学工具－拉普拉斯变换与反变换1。求解所用数学工具－拉普拉斯变换与反变换 线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理 ⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0 　　　　　② t>0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作： ⑵拉氏变换基本定理

18. 初值定理 微分定理 积分定理 ⑶ 拉氏反变换： F(s)化成下列因式分解形式： a．F(s)中具有不同的极点时，可展开为

19. b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为 c.F(s)含有多重极点时，可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同。

20. 2.3 控制系统的复域数学模型 一．传递函数 １．定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 系统微分方程的一般形式为： 设R(s) = L[r(t)], C(s) = L[c(t)], 当初始条件均为0时,有 (sn+a1sn-1 +…+ an-1s+an)C(s) = (b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s) 即传递函数:

21. 二．几点结论： （５）与微分方程的区别及联系 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。 （1）传递函数是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的 （2）如果已知系统的传递函数和输入信号,则可根据式（2-36）求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式C（S）,再求C（S）的拉氏反变换可得到系统的响应c(t)。所以传递函数和微分方程、传递函数与时域响应之间都具有密切联系 （3）传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式 （4）同一系统的输出对不同的输入量有不同的传递函数，但特征多项式相同

22. --》机械系统传递函数 例2-5求例2-2机械系统与电路系统的传递函数和 解： --》电系统的传递函数

23. 三．传递函数的几点性质 性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所具有复变量函数的所有性质。 性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。 性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。 性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。 性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述。 性质6 传递函数与微分方程之间有关系。

24. 性质7 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。 例2-6 在例2-1中，设当 输入为 单位阶跃函数,即 　时,求输出 解： 根据例1得到的微分方程。

26. 四．传递函数的极点和零点对输出的影响 为传递函数的零点 为传递函数的极点 极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。

27. 零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大 • 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小 • 如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。

28. 2.4 典型环节及其传递函数 由微分方程直接得出的传递函数是复变量s的有理分式。对于实际物理系统，传递函数的分子、分母多项式的所有系数均为实数，而且分母多项式的阶次n 不低于分子多项式的阶次m，分母多项式阶次为n的传递函数称为n阶传递函数，相应的系统称为n阶系统。 传递函数可表示成复变量s的有理分式: 传递函数可表示成零、极点表示：

29. 系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为：系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为： 　　可见，系统传递函数是由一些常见基本因子,如式上中的(js+1)、1/(Tis+1)等组成。即系统传递函数表示为上式时，系统传递函数是这些常见基本因子的乘积。这些常见基本因子代表的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以用若干典型环节构成。具有相同基本因子传递函数的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的运动规律。

30. 1.比例环节 • 比例环节又称放大环节，其输出与输入成比例关系 • K：比例系数或放大系数，增益 • 其传递函数：

31. 2．惯性环节 惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之间的关系可用下列微分方程来描述： 式中 T——惯性环节的时间常数 K——比例系数。

32. 3．积分环节 积分环节的动态方程为： 输出量与输入量的积分成比例，系数为K。积分环节的传递函数为： 　　积分环节具有一个零值极点，即极点位于S平面上的坐标原点处。T称为积分时间常数。从传递函数表达式易求得在单位阶跃输入时的输出为： C（t）=Kt 　　上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成比例地无限增加。

33. 4．振荡环节 振荡环节的微分方程是： 相应的传递函数为： 式中T——时间常数； ——阻尼系 数（阻尼比），且0＜  ＜1。 振荡环节的传递函数具有一对共轭复数极点,在复平面S上的位置见右图所示,传递函数可改写为： n=1/T——无阻尼自然振荡频率。共轭复数极点为：

34. 5．微分环节 　　微分是积分的逆运算,按传递函数的不同,微分环节可分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为 ： 相应的传递函数为：

35. 6．延迟环节 延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。延迟环节的输出是一个延迟时间后，完全复现输入信号，即： 　式中 ——纯延迟时间。 单位阶跃输入时，延迟环节的输出响应如右图示． 根据拉氏变换的延迟定理，可得延迟环节的传递函数为：

36. 2.5 控制系统的方块图 一．方框图的基本概念 １．控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。

37. 前述几种典型环节的方框图如下图所示 ：

38. 二． 方块图元素 r ( t ) c ( t ) G ( s ) R ( s ) C ( s ) 信号线 方块 图2-12方块图中的方块 （1）方块（Block Diagram）:表示输入到输出单向传输间 的函数关系。

39. Υ Υ + Υ 1 2 1 - R ( s ) R ( s ) + R ( s ) 1 2 1 + - Υ R ( s ) 2 2 注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。 Υ 3 Υ Υ Υ + Υ 1 - 2 3 1 - 图 2-13 Υ 2 （2）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。

40. (3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置 (4) 信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。

41. 三． 几个基本概念及术语 N ( s ) + E ( s ) C ( s ) + + R ( s ) G ( s ) G ( s ) 1 2 - B ( s ) H ( s ) 打 开 反 馈 图2-15 反馈控制系统方块图 (1)前向通道传递函数--假设N(s)=0 ,打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。等价于C(s)与误差E(s)之比 (2)反馈回路传递函数 假设N(s)=0, 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。

42. G ( s ) G ( s ) 1 2 N ( s ) + E ( s ) C ( s ) + + R ( s ) - B ( s ) H ( s ) 图2-15 反馈控制系统方块图 (3)开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。

43. (4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。 推导：因为 右边移过来整理得 即 请记住

44. ** G ( s ) G ( s ) 1 2 代入上式，消去G(s)即得： 将 N ( s ) + E ( s ) C ( s ) + + R ( s ) - B ( s ) H ( s ) 图2-15 反馈控制系统方块图 (5)误差传递函数 假设N(s)=0 误差信号E(s)与输入信号R(s)之比 。

45. ** G ( s ) G ( s ) 1 2 N ( s ) + E ( s ) C ( s ) + + R ( s ) G ( s ) N ( s ) C ( s ) 2 - 利用公式**，直接可得： - B ( s ) G ( s ) H ( s ) H ( s ) 1 图2-16 输出对扰动的结构 图2-15 反馈控制系统方块图 (6)输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0

46. ** G ( s ) G ( s ) G ( s ) N ( s ) E ( s ) H ( s ) - 1 1 2 2 ＋ G ( s ) 1 图2-17 误差对扰动的结构图 N ( s ) + E ( s ) C ( s ) + + R ( s ) - B ( s ) H ( s ) 图2-15 反馈控制系统方块图 （7）误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0 利用公式**，直接可得：

47. 　　线性系统满足叠加原理，当控制输入Ｒ(Ｓ)与扰动Ｎ(Ｓ)　　线性系统满足叠加原理，当控制输入Ｒ(Ｓ)与扰动Ｎ(Ｓ) 同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为： • 注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。

48. 四．方块图的绘制 （1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。 （2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。 系统方块图-也是系统数学模型的一种。

49. R u u C i o i （ a ） 图2-18 一阶RC网络 例１：画出下列RC电路的方块图。 解：由图2-20，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得： 对其进行零初始条件下的拉氏变换得：

50. U ( s ) I ( s ) i I ( s ) U ( s ) o U ( s ) （ c ） o （ b ） 图 2-19 U ( s ) I ( s o U ( s ) i － ) U ( s ) o （ d ） 图 2-20 将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。