§3-3 QR 法 —— 相似变换法

第三章 §3-3 QR法——相似变换法（特别适合求上Hessenberg阵和对称三对角阵）第3节 QRi法功能：求任意矩阵[A]的全部特征解。针对：标准特征问题基本思想：由变换矩阵求出特征向量矩阵直接求出n个特征值

, 第三章一、任意矩阵的QR法（主要介绍思想）任意满阵。设第3节 QRi法基于在第一章讲过：矩阵的QR分解，则QR法过程如下： — 上三角阵 — 正交阵

第三章 第3节 QRi法可见：相似矩阵！可以证明：当时，的对角线以下元素收敛于零。成为上三角阵。注意：每次相似变换前，先要对新矩阵进行一次QR分解。通过n-1次H变换实现QR分解。

即的对角元素将收敛于 A的特征值。且最右下角先收敛于最低阶特征值。第三章即第3节 QRi法而特征向量：思考：为什么？即特征向量矩阵 = 每次变换矩阵的乘积。

每步所需乘法运算量是相当大的（ 数量级，），由第一章讲过QR分解知，这里的变换矩阵可用Householder 第三章变换矩阵的乘积得到，即：第3节 QRi法因为Householder变换可以使可见：当一般方阵（即满阵）时，QR方法这样大的计算量将使该方法对一般矩阵失去实用价值。因此，一般不对“满阵”直接用QR方法，而是对一些特殊的矩阵（上Hessenberg阵，对称三对角阵）QR方法求全部特征解—可使计算量大大减少！

对称三对角矩阵 上Hessenberg矩阵（也称拟上三角阵----次对角元以下元素为零。）第三章因此，用QR方法求全部特征解最适合用于: 第3节 QRi法实际的做法：一般方阵再用QR方法求特征解下边分别介绍这两种特殊矩阵的QR法求全部特征解。

第三章 二、对称三对角阵的QR法求全部特征解 1、基本思想第3节 QRi法设 [A]——对称三对角阵原问题化为对角阵新问题 2、基本迭代过程 ——上三角阵 ——正交矩阵

第三章 第3节 QRi法第 k+1 次QR分解！

第三章 要进行可见：每次迭代后（或变换后，对新的一次QR分解，目的是得到新的正交相似变换矩阵。第3节 QRi法从第一章知：对于对称三对角阵用Givens旋转变换矩阵实现QR分解最有效。计算量小！将上述迭代过程写成一个式子，即

0 0 0 0 原对称三对角阵对角阵第三章 ——正交矩阵可以证明：当时，第3节 QRi法对角阵即对角阵对称三对角阵即：

第三章 即第3节 QRi法上式两边左乘，得与原问题：比较即：求得了原系统的全部特征解。

第三章 说明： ①QR形式上是正交相似变换，但本质上是“多个向量第3节 QRi法的同时反迭代”，因此它是逐阶收敛的，且最低价先收敛，（为什么？）并出现在的右下角。 ②为了加速收敛，也可采用带移位量的QR方法，使最接近移位量μ的特征值最先收敛。下面介绍对称三对角阵带移位量的QR法，特别注意移位量μ的选取方法。

第三章 3、对称三对角阵带移位量的QR方法可加速收敛！ ①迭代公式第3节 QRi法设 ——移位量（每次迭代都要变化！） ——对称三对角阵 ——用Givens实现QR分解！移位思考? ——对称三对角阵相似变换

第三章 对角阵。时当第3节 QRi法则原特征标准问题！全部特征解：其中：

即 0 0 第三章另外，在相似变换中：不会改变对称三对角阵的对称特点。第3节 QRi法的带宽不会超过三对角，且只会减少，这是由相似变换算法本身决定的。可见：带移位量的QR法与带移位量的反迭法相当，但是移位量是在变的。可以证明，它具有三阶收敛。 ②移位量的选取

0 0 第三章 ∵当第3节 QRi法因此，为了使右下角元素最先成为特征值，移位量的值用右下角2×2阶矩阵的两个特征值中接近的一个，即另法：也可直接取

注：正交变换过程中， 求出对应的算法本身决定！不会然后取中最改变[A]的形式，即的λ值作为接近移位量仍为三对角阵！（划行划列得到）收缩矩阵再收缩第三章第3节 QRi法这样取后，采用移位QR法，结果使的右下角元素最先收敛为低价特征值。 ③在具体迭代过程中，当右下角元素成为特征值时，以后的迭代只要考虑

第三章 ④另外，如在迭代过程中，如出现某个非对角元为零时，即第3节 QRi法则以后的迭代中，将分块处理：先考虑此矩阵的右下角子矩阵，当右下角子矩阵对角化后，再对左上角的子矩阵迭代，使左上角子矩阵也成为对角阵。这样处理可节省迭代时间，减少计算量。

第三章 4、对于对称三对角阵，一般采用旋转变换实现（即Givens变换） [A]的QR分解（每一次迭代都必须做！），第3节 QRi法这样计算量小！而Givens变换矩阵的选取如下： ——对称的三对角阵，每次迭代不影响对称形式。设为了使所有下三角元素为零，必须用n-1次旋转变换！

第三章 即三角阵经n-1次G ivens变换,使第3节 QRi法的n-1个上、下次对角元素均为零！因为对称！或写成即用G ivens变换实现了的QR分解！其中旋转变换矩阵如下：

第三章 第3节 QRi法角由下式确定：

第三章 三、上Hessenberg矩阵的QR法（多采用带移位量的双步QR法）第3节 QRi法设一般矩阵对于上Hessenberg矩阵用移位QR法求全部特征解与求对称三对角矩阵QR法有如下不同之处：（1）所有相似矩阵都是上Hessenberg阵；注：它是非实对称矩阵！特征根可能出现复根！

因为移位量 是根据“小方阵”的特征根定！第三章可能趋向拟上三角阵，（2）当时，第3节 QRi法即：其对角线可能出现某些二阶小方阵，每个小方阵具有一对实特征值或一对共轭复特征值。个别对角元下方元素不为零。若无重特征值或共轭复特征值时，趋向于上三角阵。（3）由于[A]可能具有复特征值，而且移位量也可能是复数，因此将可能出现复数运算。

第三章 为了避免复数运算和减少计算量，实用中往往采用双步QR法。——把QR法的二步并成一步计算。第3节 QRi法具体计算公式如下： 1、一般带移位量的双步QR法过程推导（即把复数运算设原带移位量QR法的二步迭代公式为：第一步迭代公式＊第二步迭代公式

第三章 其中移位量和是的右下角2×2阶矩阵的特征值，即第3节 QRi法可能为实数，也可能为一对共轭复数。由数学上拉梅定理（矩阵相似变换不变量的特性）得：显然，当为实矩阵时，也为实矩阵，其元素为实数，则α与β 也为实数。

第三章 另外，由＊式可得第3节 QRi法设令

第三章 经过上述两步法公式及拉梅定理，可推出第3节 QRi法由于是实矩阵， α，β为实数，所以[B]是实矩阵，并可由，α，β直接求出。即求[B]成为实数运算！这就避免了复数运算（避免了移位量为复数时复数运算！）当 [B]求出后，再对[B]进行QR分解即可。

第三章 2、一般双步带移位量的QR法的基本步骤是：（1）计算 ——计算量为第3节 QRi法实数运算（2）对[B]进行QR分解，从而求出即（3）计算矩阵双步迭代并为一步！这就完成了一次双步QR法计算，（相当于两步迭代计算）

当时，使成为上三角阵， 第三章当完成一次双步QR法后，求得再对进行新的下一次双步QR法：第3节 QRi法如此进行下去。即可求得全部特征解。且完全避免了复数运算，但计算[B] 工作量大。因此，在实际运算时，采用改进双步QR法。即：FrancisQR法。

第三章 3、改进的双步QR法（即：FrancisQR法）第3节 QRi法这种方法的基本思想是：不直接计算而是直接对用Householder矩阵进行相似变换得到一个新的上Hessenberg矩阵[H]

第三章 即第3节 QRi法这里：[P]——变换矩阵！即： [P]是 n-2 个Householder矩阵的乘积。在原双步QR法：其中 ——变换矩阵

第三章 的第一列相同，根据有关定理，只要[P]和第3节 QRi法即 ——单位向量。同时[H]的下次对角中无零元时，存在即完成两步迭代过程！ FrancisQR法具体做法：见教材:p64。不详细讲了。

第三章 小结 1、QR法表面是一种相似变换法，实质是多个向量的同时反迭代！请思考！第3节 QRi法 2、 QR法适合求“对称三对角阵”和“上Hessenberg矩阵”的标准特征问题，计算量小。

4、为什么最低阶收敛在 右下角。第三章思考第3节 QRi法 1、QR法的基本思想；功能？ 2、QR法是怎样避免复数运算？ 3、什么情况下会出现复数运算？ 5、在移位QR方法中如何选择移位量？ 6、双步QR法主要解决什么问题？

§3-3 QR 法 —— 相似变换法

§3-3 QR 法 —— 相似变换法

Presentation Transcript