第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

1. 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

3. 分析　　根据公理及推论作判断．

4. 解　①，②中的三点可能共线，故不能确定平面．③中的直线可能交于一点，故不能确定平面．⑤，⑧中的四边形可能为空间四边形．⑥，⑦中的两直线可能异面．应填④.解　①，②中的三点可能共线，故不能确定平面．③中的直线可能交于一点，故不能确定平面．⑤，⑧中的四边形可能为空间四边形．⑥，⑦中的两直线可能异面．应填④.

5. 规律总结　解决此类问题首先要理解平面的基本性质，在判断的过程中若要说明命题不正确，只要举出一个反例即可．若要说明一个命题正确，则要给出证明，即说明问题符合确定平面的公理或判断直线位置关系的条件．

6. 变式训练1 下列命题： ①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内； ②三条两两相交的直线在同一个平面内； ③有三个不同公共点的两个平面重合； ④两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】①中的直线可以为异面直线；②中三条直线交于一点时，三条直线可不在同一个平面内；③中，若三点共线，则两平面可以相交；④两两平行的三条直线，可能共面．故正确的个数为0. 【答案】A

7. 共点、共线和共面问题 如图所示，平面ABD∩平面BCD＝直线BD，M、N、P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形． 求证：三直线BD、MQ、NP共点．

8. 分析　先证两直线交于一点，再证该点在第三条直线上．

9. 证明∵四边形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰， ∴直线MQ、NP必相交于某一点O. ∵O∈直线MQ，直线MQ⊂平面ABD，∴O∈平面ABD. 同理，O∈平面BCD， 又∵平面ABD∩平面BCD＝直线BD， ∴O∈直线BD，从而三直线BD、MQ、NP共点．

10. 规律总结由已知条件，直线MQ、NP必相交于一点O，因此，问题转化为求证点O在直线BD上．由公理3，就是要寻找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线，同时点O是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题．规律总结由已知条件，直线MQ、NP必相交于一点O，因此，问题转化为求证点O在直线BD上．由公理3，就是要寻找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线，同时点O是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题．

11. 变式训练２　已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且 . 求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．

12. 【证明】 ∵E、H分别是边AB、AD的中点， ∴四边形EFGH为梯形，两腰EF、GH必交于一点P. ∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC， ∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC， ∴P在平面ADC和平面ABC的交线AC上， 故三条直线EF、GH、AC交于一点．

13. 如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．

14. 分析先由公理确定一个平面，再证E，F，G，H四点为两平面的公共点，则四点共线．分析先由公理确定一个平面，再证E，F，G，H四点为两平面的公共点，则四点共线．

15. 证明 　∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β. 又∵AB∩α＝E，AB⊂β， ∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点． ∵不重合的两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E，F，G，H 四点必定共线．

16. 规律总结在立体几何中，证明若干点共线时，常运用公理3，即先证明这些点都是某两平面的公共点，又由于这些点都在两平面的交线上，因此证明点共线．规律总结在立体几何中，证明若干点共线时，常运用公理3，即先证明这些点都是某两平面的公共点，又由于这些点都在两平面的交线上，因此证明点共线．

17. 变式训练３　已知，如图所示，△ABC的三边AB、BC、AC的延长线分别与平面α相交于E、F、G.求证：E、F、G三点共线．变式训练３　已知，如图所示，△ABC的三边AB、BC、AC的延长线分别与平面α相交于E、F、G.求证：E、F、G三点共线．

18. 【证明】∵AB∩α＝E，BC∩α＝F，连接E，F，则EF⊂α.【证明】∵AB∩α＝E，BC∩α＝F，连接E，F，则EF⊂α. ∵EF⊂平面ABC，∴α∩平面ABC＝EF. 又∵AC∩α＝G，∴G∈α，G∈平面ABC， 即G为α与平面ABC的公共点， ∴G∈EF，即E、F、G三点共线．

19. (12分)　已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．(12分)　已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．

20. 分析　分有三线共点和无三线共点两种情形．先确定一个平面，然后证明其余直线在该平面内．分析　分有三线共点和无三线共点两种情形．先确定一个平面，然后证明其余直线在该平面内． 证明(1)若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，但A∉d，如图所示． ∴直线d和A确定一个平面α.3分 又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α. ∵A，E∈α，A，E∈a，∴a⊂α.同理可证b⊂α，c⊂α. ∴a，b，c，d在同一平面α内.6分

21. (2)当四条直线中任何三条都不共点时，如图所示．(2)当四条直线中任何三条都不共点时，如图所示． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α. 设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α. 又H，K∈c，∴c⊂α.同理可证d⊂α. ∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内.12分

22. 规律总结　证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理2，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．规律总结　证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理2，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．

23. 变式训练４　已知：如图，a∥b，l∩a＝A，l∩b＝B.求证：a，b，l三线共面．变式训练４　已知：如图，a∥b，l∩a＝A，l∩b＝B.求证：a，b，l三线共面．

24. 【证明】　∵a∥b， ∴直线a，b确定一个平面α. ∵A∈a，a⊂α，∴A∈α，同理B∈α， 由公理1有：l⊂α，∴a，b，l三线共面于α.

25. 1．三个公理的理解 (1)公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，公理1的条件“线上不重合的两点在平面内”是公理的必要条件，结论是“线上所有点都在面内”．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内，二是直线上所有点在平面内． 其作用是：可判定直线是否在平面内、点是否在平面内．

26. (2)公理2主要用来确定一个平面，或证明“点线共面”．(2)公理2主要用来确定一个平面，或证明“点线共面”． (3)公理3的内容反映了平面与平面的位置关系，它的条件简而言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．对于本公理应强调，对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线． 其作用是：其一，它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二，它可以判定点在直线上，点是两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上．

27. 2．公理2的三个推论 推论1　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面． 其应用是：公理2和三个推论是确定平面的理论依据，也是将空间问题转化为平面问题的依据之一．

28. 3．关于异面直线 (1)异面直线是既不平行又不相交的两条直线． (2)异面直线所成角的判断和求解 平移法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得．

29. 分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是()分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是() A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面 错解 选B

30. 错解分析本题中没有限制交点的个数，解答时只考虑到有四个交点的情形，没有想到有三个交点的情形．避免出错的方法是熟练图形的画法，并具有图形运动的观念，如图乙中的点A在直线a上运动(其余三点不动)，就会出现点A与B重合的情形，如图甲所示．错解分析本题中没有限制交点的个数，解答时只考虑到有四个交点的情形，没有想到有三个交点的情形．避免出错的方法是熟练图形的画法，并具有图形运动的观念，如图乙中的点A在直线a上运动(其余三点不动)，就会出现点A与B重合的情形，如图甲所示．

31. 正解 若两条直线与两条异面直线有三个交点，则相交； 若两条直线与两条异面直线有四个交点，则异面，选D.