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实际问题与二次函数

实际问题与二次函数. 回味无穷 :. 二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 的性质. 顶点式 , 对称轴和顶点坐标公式 :. 对称轴 :. 顶点坐标 :. 利润 = 售价 - 进价. 总利润 = 每件利润 × 销售数量. y. 2 、图中所示的二次函数图像的解析 式为 ：. 6. 4. 2. ⑴ 若－ 3≤ x ≤3 ，该函数的最大值、最小值分别为 （ ）、（ ）。. x. 0. 2. -4. -2.

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实际问题与二次函数

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  1. 实际问题与二次函数

  2. 回味无穷: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质 • 顶点式,对称轴和顶点坐标公式: 对称轴: 顶点坐标: • 利润=售价-进价. • 总利润=每件利润×销售数量.

  3. y 2、图中所示的二次函数图像的解析 式为： 6 4 2 ⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）。 x 0 2 -4 -2 ⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）。 求函数的最值问题，应注意什么? 1、求下列二次函数的最大值或最小值： ⑴ y=－x2＋2x－3; ⑵ y=－x2＋4x 55 5 55 13

  4. 来到商场 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 请大家带着以下几个问题读题 （1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？ 构建二次函数模型解决 一些实际问题

  5. 来到商场 探究 即 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖件，实际卖出件,单位利润为元因此，所得利润 10x (300-10x) （60-40+X） y=(300-10x)(60-40-x) 怎样确定x的取值范围？ (0≤X≤30)

  6. 可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标. (0≤X≤30) 5 5 当x = ________时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价____元， 即定价_________元时，利润最大，最大利润是___________. 65 6250 (5,6250)

  7. 答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6125元 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。 解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，单位利润为（60-40-X）元，因此，得利润 y=（300+20x)(60-40-x)即y= -20x²+100X+6000

  8. 总结 ： 运用函数来决策定价的问题: 构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式. 求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值)

  9. 练 习 旅行社何时营业额最大 2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？ 解： 设旅行团人数为x人,营业额为y元,则

  10. 归纳小结： 运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 : • 求出函数解析式和自变量的取值范围 • 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。 • 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。

  11. 拓展与实践 y 2.52a+k=2.25 ? (4－2.5)2a+k=3.05 3.05米 2.25米 x o 4米 篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。求： ⑴球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围； ⑵球在运动中离地面的最大高度。 解: ⑴设函数解析式为: y=a(x－2.5)2+k,根据题意，得： 则：a=－0.2,k=3.5 ∴解析式为:y=－0.2x2+x+2.25, 自变量x的取值范围为：0≤x≤4. ⑵球在运动中离地面的最大高度 为3.5米。

  12. (4,3) (0,1.5) o x(m) 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。（1）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取值范围。（2）铅球的落地点离运动员有多远？ y(m)

  13. x x y 何时窗户通过的光线最多 • 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?

  14. A D F B C 积累就是知识 E 练习1：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC上的 点，F是CD上的点，且EC=AF，EC=x，ΔAEF的 面积为y。 （1）求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围 ； （2）画出函数的图象。

  15. D A F E G C B 巩固 2、如图，正方形ABCD的边长是4， E是AB上一点，F是AD延长线上一点， BE=DF。四边形AEGF是矩形，则矩 形AEGF的面积y随BE的长x的变化而 变化，y与x之间可 以用怎样的函数来 表示？

  16. D C Q A B P 范例 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm， BC=12cm，点P从A开始向B以1cm/s的 速度移动，点Q从B开始向C以2cm/s的 速度移动。如果P、Q分别从A、B同时 出发，设△PBQ的面积为 S(cm2)，移动时间为t(s)。 (1)求S与t的函数关系；

  17. 6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方). (1)求A、B两点的坐标； （2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S 与t的函数表达式； (3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？

  18. 例3、有一个抛物线形的拱形桥，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的解析式为 y＝－ x2－1。 y x B A （1）求拱顶离桥面的高度。 （2）若拱顶离水面的高度为27米，求桥的跨度。 o

  19. 寄语 生活是数学的源泉，探索是数学的生命线. 作业: P25 2. 3. P26 9.

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