利用空间向量求距离

利用空间向量求距离

一、如何用向量法求点到平面的距离：

z x y 1、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 G D C F A B E

z x y G D C F A B E

P N C D M A B 2:

z P N C D y M A B x

3、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,∠ACB=90°, • 求B1到面A1BC的距离. z C1 A1 B1 C A B x y

解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得 • n=(- ,0,1). • ∵ , • ∴ • 或∵ , • ∴ • 或∵ , • ∴ • 可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.

z x y 二、求直线与平面间距离 4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。 G D C F A B E

x • 5、四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ∠ABC=60°, 侧棱PA⊥底面AC且PA= 4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离. z P E A D B F y C

解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F • 为CD的中点,于是 • A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 ,0), C(2, 2 ,0), • D(-2, 2 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2). • 设面BED的法向量n=(x,y,z),由 • 得 • n=(1, ,2). • ∵ • ∴n· 2+6-8=0，故PC∥面BED, • ∴PC到面BED的距离就是P到面BED的距离, • ∵ • ∴.

三、求异面直线的距离 A a M n N b a B

方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 B b n a A

z y x C1 A1 B1 C A B E

z 即取x=1,z则y=-1,z=1,所以 y x C1 A1 B1 C A B E

z • 7、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离. A1 D1 C1 B1 A y D C B x

解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得 • n=(-1,-1,2). • ∵ , • ∴异面直线AC1与BD间的距离

z C1 D1 F N A1 E M B1 D y C A B x 四、求平行平面与平面间距离 8、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。

利用空间向量求距离

利用空间向量求距离

Presentation Transcript