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两个平面垂直的判定 和性质

两个平面垂直的判定 和性质. 1 、定义：. 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直。. 记作 α⊥β. 性质 :. 1 、凡是直二面角都相等. 2 、两个平面相交 , 可引成四个二面角 , 如果其中有一个是直二面角 , 那么其他各个二面角都是直二面角. 想一想. 两个平面相交，如果其中一个平面内 有一条 直线垂直于另一个平面，能否得到两个平面垂直？. 已知： AB ┴ β AB 求证： ┴ β. A. a. D. a. B. C. 证明：. ┴. ┴.

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两个平面垂直的判定 和性质

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Presentation Transcript

  1. 两个平面垂直的判定 和性质

  2. 1、定义： 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直。 记作α⊥β 性质: 1、凡是直二面角都相等 2、两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角

  3. 想一想 两个平面相交，如果其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，能否得到两个平面垂直？ 已知：AB┴β AB 求证： ┴β A a D a B C

  4. 证明： ┴ ┴ 设垂足为B，过B点在平面 内作BE ┴ CD 则∠ABE是二面角 的平面角 AB ┴ ∴∠ABE是直角 A D ┴ B E C

  5. α A 已知：AB α， AB ⊥β ∪ D E B β C 两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 求证： α ⊥β

  6. 例1、设AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上的任意点，求证：面PAC ⊥面PBC P C A B O

  7. 例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， ∠ DAC = ∠ BAC = ∠ BAD = 600， 求证：平面 BCD ⊥平面ADC A B D O C

  8. α γ a β 例3、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直 已知：a // α， a ⊥β 求证： α ⊥β b

  9. 例4、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA = AD，M、N分别是AB、PC的中点， 求证：（1）MN // 平面PAD； （2）平面PMC ⊥平面PDC P Q N A D M B C

  10. 练习 1、已知△ABC中，O为AC中点， ∠ ABC=900，P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面PAC ⊥平面ABC 2、PD ⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？ P P D O C A C A B B

  11. 2、判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 A D B C 面面垂直 线面垂直

  12. 练习： 在如图长方体AC1中，判断下列结论的正误并说明理由 ①平面ADD1A1 ┴ 平面ABCD ②D1A ┴ AB ③D1A ┴ 平面ABCD D1 C1 B1 A1 D C A B 想一想： 平面ADD1A1┴平面ABCD，过点A在平面ADD1A1内的直线满足什么条件才能与平面ABCD垂直呢？

  13. 3、性质定理(1)： 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 在β内引直线BE⊥CD,垂足为B, A D 则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角 E B 由α⊥β知,AB⊥BE C 又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线 所以AB⊥β 面面垂直 线面垂直

  14. 面面垂直的性质定理（2）： 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。  C  c b A O D O  

  15. 小结： 线面垂直   面面垂直  关键 在一平面内找另一平面的垂线

  16. 例1、已知：四面体ABCD，AB=AD， AB⊥BC，AD⊥DC，E为BD中点； 求证：（1）平面AEC⊥平面ABD； （2）平面AEC⊥平面BCE。 A C B E D

  17. 例2、 已知矩形ABCD中AB=2AD，E为AB的 中点，将△AED沿DE折起， （1）如果AB=AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE。 （2）如果二面角A-DE-C是直二面角， 求证：AB=AC。 A D C C D Q P B E B A E

  18. 例4.如图：AD为锐角三角形ABC的高，E是AD上一点，且AE=1/2ED，过E作直线MN//BC，交AB，BC于M，N，沿MN将AMN折起到AMN ,使AED=60，求证：平面AMN平面ABC A B N D E A C M

  19. 例4.如图：AD为锐角三角形ABC的高，E是AD上一点,且AE= 1/2 ED，过E作直线MN//BC，交AB，BC于M，N，沿MN将AMN折起到AMN ,使AED=60，求证：平面AMN平面ABC 面面垂直 线面垂直 线线垂直 A B N D E A C M

  20. 例5.如图，平面平面=a，平面，  平面，和又同时平行直线b，求证：（1）a  (2)b    2 1  d c  B n C m A

  21. 如图，ABCD是正方形，PA平面AC，BE PC，E为垂足。 （1）求证：平面BDE 平面PBC； （2）当PA=a PB= a时，求二面角E-BD-C的正切值 (3)若求二面角B-PC-D 又如何求？ （4）试求PC与BD的 距离 O （5）试问平面PBC 是否与 平面PDC垂直？

  22. 如图，平面平面=a，平面，  平面，和又同时平行直线b，求证：（1）a  (2)b    2 1  d c  B n C m A

  23. 南师讲义P.103 6题 D D C C M N M N O O B A B A

  24. 小 结： 1、两个平面互相垂直的定义 2、两个平面互相垂直的判定定理 3、两个平面互相垂直的性质定理

  25. 作业: 1、书P40 习题12、13、14 2、教测P119 例1、例2

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